非阿基米德2-賦范空間的等距問題

馬玉梅

(大連民族大學 理學院，遼寧 大連 116605)

非阿基米德2-賦范空間的等距問題

馬玉梅

(大連民族大學 理學院，遼寧 大連 116605)

推廣了Mazur-Ulam定理和Aleksbndrov 問題到非阿基米德2-賦范空間。 證明了兩個非阿基米德空間的任何2-等距是仿射的；一個單位距離保持映射是2-等距當且僅當它保持零距離。

Mazur-Ulam定理；Aleksandrov 問題；等距；非阿基米德空間

Abstract:This paper generalizes the Mazur-Ulam theorem and the Aleksandrov problem on non-Archimedean 2-normed spaces. It proves that any 2-isometric mapping between two non-Archimedean 2-normed spaces is affine; and a one-distance preserving mapping is 2-isometric if and only if it has zero-distance preserving property.

Keywords:Mazur-Ulam theorem; Aleksandrov problem; isometry; non-Archimedean spaces

1 研究的理論背景

設X和Y是度量空間，稱映射f:X→Y為等距映射，對任意x,y∈X有dX(x,y)=dY(f(x),f(y))。

1932年Mazur 和 Ulam 在賦范空間給出了“滿”等距算子必為仿射算子[1]。此后“非滿”等距延拓為線性或仿射的問題一直是80多年以來研究的熱點。1970年Aleksandrov提出度量空間中保持單位距離的映射是否為等距映射[2]，1987年J. Baker 得到嚴格凸空間的等距單映射必為仿射的[3]。

針對以上問題的研究主要在兩類空間展開。

(1) 賦范空間。W. Benz 推廣了Aleksandrov 問題,給出了保持兩個常數距離的映射為等距的條件[2]。T. M. Rassias 證明了滿足Lipschitz 條件的強保持單位距離(雙射均保持單位距離(SDOPP))映射是等距算子[4]。馬玉梅推廣了T. M.Rassias 和W. Benz的結論到嚴格凸賦范空間去掉了滿射條件,給出滿足Lipschitz 條件的保持距離1的映射(DOPP)可以等距延拓到全空間[4]。

(2) n-賦范空間。2004年起，H.Chu,C.Park, T.M. Rassias，高金梅、任衛云、靖陽平等將Aleksandrov 問題推廣到2-賦范和n-賦范空間[5-22]；C. Park 和 T.M. Rassias 給出了n-距離下滿足n-DOPP,n-Lipschitz 以及保持m-colinear (m=2,n)等條件的映射是n-等距的[6-7]。H. Gunawan 和 M. Mashadi 給出了范數降維理論[18,20]，為進一步解決n-賦范空間中維數限定問題提供了重要依據。基于此理論馬玉梅得到了n-賦范空間中保持單位距離為等距的充要條件是該映射保持零距離。

1897年, Hensel發現在復分析中起重要作用的了p-adic 數。p-adic 導出的范數稱為非阿基米德范數。最近三十年非阿基米德分析引起了物理學家的廣泛注意。2008年起Mohammd S與 Ghardir, 給出了非阿基米德n-賦范空間的Mazur-Ulam定理，在不同的條件下證明三角形的重心保持不變性[20]。

本文將著重闡述非阿基米德2-賦范空間中的最新結果，將n-賦范空間的結果推廣到非阿基米德2-賦范空間。

2 基本術語

K是一個非阿基米德值域，如果|·|na為K 到[0,∞)的映射，滿足對任意r,s∈ K,

(1) |r|na= 0 當且僅當r= 0;

(2) |rs|na= |r|na|s|na;

(3) |r+s|na≤ max{|r|na,|s|na}。

自然數集N上的非阿基米德域顯然有：|1|na= |-1|na= 1 且|n|na≤ 1 (任意n ∈ N)。

N上的另外一個平凡的非阿基米德值域K ：|·|na將0映為0，將非0映為1[16]。

非阿基米德2-賦范空間的研究依賴于非阿基米德值域。

定義1[17]：設X是值域K上的向量空間，k是X上的非阿基米德范數k:X→ [0,∞)，對任意r∈K 以及x,y∈X,有

定義2[17]：設X是實向量空間且dimX≥ 2，x1,x2∈X,r∈K，||·,·||na是一個函數，滿足

注2：本文設非阿基米德域Ω[18]滿足如下條件: (r∈Ω,

設X和Y是域Ω上的非阿基米德2-賦范空間(dimX≥ 2)。

定義 6[17]：稱f:X→Y為2-等距(2-isometry)，如果對任意x1,x2,y1,y2∈X,‖x1-y1,x2-y2‖=‖f(x1)-f(y1),f(x2)-f(y2)‖。

定義 7[17]：稱f:X→Y為2-距離1保持(2-DOPP), 如果‖x1-y1,x2-y2‖=1 則‖f(x1)-f(y1),f(x2)-f(y2)‖=1。

定義 8[17]：稱f:X→Y為保持2-共線(2 -collinear),如果對x,y,z∈X:存在t∈R，使得z-x=t(y-x)，那么存在s∈R使得f(z)-f(x) =s(f(y)-f(x))。

3 主要結果

證明：

設x0,x1∈X。由于dimX≥ 2,那么存在x2∈X滿足x1-x0,x2-x0是線性無關的。這樣‖x1-x0,x2-x0‖≠0。令：z2=x0+‖x1-x0,x2-x0‖(x2-x0)。

于是‖x1-x0,z2-x0‖=|‖x1-x0,x2-x0‖|na·‖x1-x0,x2-x0‖=1。因為f有w-n-DOPP,所以‖f(x1)-f(x0),f(z2)-f(x0)‖=1。

可見f(x0)≠f(x1)，所以f是單射。

(1)

式中,i=0,1,…,k。

根據注1得到

(2)

(3)

由于ui,ui-1,ui+1是2-共線，并且f保持2-共線,則必存在α∈R,使得

f(ui+1)-f(ui)=α(f(ui)-f(ui-1))。

(4)

既然f保持w-n-DOPP,那么

‖f(ui+1)-f(ui),f(vk)-f(ui)‖=1,‖f(ui)-f(ui-1),f(vk)-f(ui)‖=1。

于是,‖α(f(ui)-f(ui-1)),f(vk)-f(ui)‖=1。Thus|α|na·‖(f(ui)-f(ui-1)),f(vk)-f(ui)‖=1,于是|α|=1。

由于f是單射，根據公式(3)、(4)有α=1,

f(uk)-f(x0)=k(f(u1)-f(x0))。

(5)

根據式(1),‖u1-x0,x2-x0‖=1，這樣,‖f(u1)-f(x0)),f(x2)-f(x0)‖=1。

引理2：如果f:X→Y滿足w-2-DOPP和保持2共線，那么f保持有理數距離。

證明：

(6)

由于dimX≥2,那么存在x1∈X使得‖y-x,x1-x‖≠0。

令：w=x+‖y-x,x1-x‖(x1-x)。于是

‖y-x,w-x‖=1,且‖f(y)-f(x),f(w)-f(x)‖=1。

(7)

由式(6)可得‖f(z)-f(x),f(w)-f(x)‖=|s|。

(8)

根據y-x=x-z得到‖z-x,w-x‖=1,以及

‖f(z)-f(x),f(w)-f(x)‖=1。

(9)

由于f是單射,比較式(8)與式(9)得到s=-1，意味著

令g(x)=f(x)-f(0)。顯然對任意x∈X以及任意有理數r、p,有g(rx)=rg(x),g(rx+py)=rg(x)+pg(y)。

(10)

引理3：設X假設f:X→Y滿足w-2-DOPP并且保持2-共線,這樣f是仿射的。

證明：

可參見文獻[22]。非阿基米德范數不影響使用相同的方法，該方法是對文獻[16]的修正。

定理1：假設f:X→Y滿足w-2-DOPP并且f是仿射的,那么f保持0-距離;f保持2-DOPP;f是2等距。

證明：

令g(x)=f(x)-f(0),那么g(x)是線性映射。

(1)假設‖y1-x1,y2-x2‖=0,這樣{y1-x1,y2-x2}是線性相關的。于是存在不全為零的兩個元素a1、a2，使得a1(y1-x1)+a2(y2-x2)=0,這樣a1(g(y1)-g(x1))+a2(g(y2)-g(x2))=0。

顯然‖g(y1)-g(x1)g(y2)-g(x2)‖=0,于是‖f(y1)-f(x1),f(y2)-f(x2)‖=0。

(2)假設x1,x2∈X,‖y1-x1,y2-x2‖=1,任取x0∈X, 令zi=x0+yi-xi,那么‖z1-x0,z2-x0‖=1。

這樣：‖f(z1)-f(x0),f(z2)-f(x0)‖=1以及‖g(z1)-g(x0),g(z2)-g(x0)‖=1。

由于g是線性的，意味著‖g(y1)-g(x1),g(y2)-g(x2)‖=1，于是‖f(y1)-f(x1),f(y2)-f(x2)‖=1。

(3)假設x1,x2,y1,y2∈X,‖y1-x1,y2-x2‖≠0，

令：y=x1+‖y1-x1,y2-x2‖(y1-x1)

(11)

那么‖y-x1,y2-x2‖=1且‖f(y)-f(x1),f(y2)-f(x2)‖=1。

因此‖g(y)-g(x1),g(y2)-g(x2)‖=1。

(12)

由g的線性性質可得|‖y1-x1,y2-x2‖|na‖(g(y1)-g(x1)),g(y2)-g(x2)‖=1。

這樣：‖|y1-x1,y2-x2‖|na‖(f(y1)-f(x1)),f(y2)-f(x2)‖=1。推得‖f(y1)-f(x1),f(y2)-f(x2)‖=‖y1-x1,y2-x2‖,于是f是一個等距。

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(責任編輯 王楠楠)

TheIsometricProblemonNon-Archimedean2-normedSpaces

MAYu-mei

(School of Science, Dalian Minzu University, Dalian Liaoning 116605, China)

O177.3

A

2017-05-06；

2017-07-22

中央高校基本科研業務費專項資金資助項目(DC201502050301)。

馬玉梅(1962-)，女，遼寧海城人，教授，博士，主要從事泛函分析理論及其應用研究。

2096-1383(2017)05-0474-04