基于等距線陣的四種DOA估計算法性能分析

馬怡

（河海大學 計算機與信息學院，江蘇 南京 211100）

基于等距線陣的四種DOA估計算法性能分析

馬怡

（河海大學 計算機與信息學院，江蘇 南京 211100）

陣列信號處理技術在遠場信號DOA的估計方面的研究成為熱點。本文就四種經典的DOA估計算法：MUSIC算法、ESPRIT算法、TLS-ESPRIT算法和Toeplitz矩陣重構算法進行對比研究，目的是為工程實現算法的選擇提供了一個參考的理論依據。就筆者所知，對這4種算法性能比較分析的公開報道較少。通過MATLAB軟件仿真的方法，分析了各算法的優缺點，并總結出各算法適用范圍和其理論依據。

DOA估計；MUSIC算法；ESPRIT算法；Toeplitz算法

Abstract:The research of array signal processing technology in the estimation of the far field signal DOA has become a hot spot.To provide a reference to the theoretical basis for the engineering implementation algorithm selection，we compare the four classical DOA algorithms in this paper:MUSIC algorithm，ESPRIT algorithm ，TLS-ESPRIT algorithm and Toeplitz matrix reconstruction algorithm.Just as I know，the comparison and analysis of the performance of the four algorithms are rarely publicly reported.Through the MATLAB software methods，we analyzed the advantages and disadvantages of each algorithm，and then summarized the applicable range of each algorithm and its theoretical basis.

Key words:DOA estimation；MUSIC algorithm；ESPRIT algorithm；Toeplitz algorithm

陣列信號處理是信號處理技術領域內的一個重要分支。運用陣列信號處理技術來實現波達方向（DOA）估計的研究在近年取得了豐碩的成果。DOA估計的基本問題是確定多個信號到達陣列參考陣元的方向角。

常規波束形成算法（CBF法）[1]是公認的較早的DOA估計方法。20世紀70年代之后，多種DOA估計算法興起，如最大似然（ML）算法[2]、子空間擬合（SF）算法[3]等。同屬特征結構的子空間方法[4]的算法也有很多，其中最著名的是MUSIC方法和ESPRIT方法。 MUSIC（multiple signal classification）算法是Schmidt在1979年提出的，于1986年重新發表[5]。ESPRIT （estimating signal parameters via rotationalinvariance techniques）算法是由Roy等人于1986年提出的[6-7]。

ESPRIT算法和MUSIC算法對相干信源DOA估計的思想方法各不相同。MUSIC算法的基本思想是利用信號子空間和噪聲子空間這兩個互補空間之間的正交特性估計空間信號的方位。而ESPRIT算法的基本思想是通過空間旋轉將向量x（n）經過旋轉后變成向量y（n），保持兩個向量對應的信號子空間的不變性，后求解旋轉不變矩陣，最后得出DOA估計。其中TLS-ESPRIT算法是在ESPRIT算法的基礎上改進而來，其算法思想與ESPRIT算法基本一致。

利用ESPRIT算法對相干信源波達方向進行估計的時候會產生陣列孔徑損失的問題，因此之后有學者提出可用Toeplitz矩陣重構算法完成相干信源DOA估計[8-9]，這是一種非降維類處理算法，類似的方法還有很多[10]。Toeplitz矩陣重構算法的基本思想是首先分別對陣元和參考陣元的接收數據的相關函數進行排列得到Hermitian Toeplitz矩陣，之后再進行奇異值分解，進而得到相干信源的DOA估計。

文中以等距線陣為研究背景，對MUSIC算法、ESPRIT算法、TLS-ESPRIT算法以及Toeplitz矩陣重構算法的性能進行綜合對比研究，為工程實現算法的選擇提供理論依據。

1 4種算法DOA估計理論實現

1.1 經典MUSIC算法DOA求解

MUSIC算法是一種基于矩陣特征空間分解的方法[11]。從幾何角度講，信號處理的觀測空間可以分解為相互正交的信號子空間和噪聲子空間。協方差矩陣中與信號對應的特征向量組成信號子空間，所有最小特征值對應的特征向量組成噪聲子空間。

具體的MUSIC算法估計步驟如下：

1）根據N個接收信號矢量得到協方差矩陣RXX，并對其進行特征值分解。

2）將得到的特征值按照大小排序，然后分解出信號子空間和噪聲子空間，得到噪聲矩陣E。

3）根據公式

計算譜函數，其中θ是自變量。MUSIC算法是通過尋找峰值來得到相干信源波達方向的估計值。

1.2 ESPRIT算法DOA求解

ESPRIT算法，又可稱為LS-ESPRIT算法。這個算法的優點是可以直接通過特征值得到信號參數，而不需要進行繁瑣的譜峰搜索過程，思想核心是求旋轉矩陣y（n）[12]。在實際應用中，把同一陣列分解成2個子陣列，這兩個子陣列的陣元數目完全相同，兩個子陣列僅相差一個旋轉矩陣。

ESPRIT算法有兩種估計方法，本次實驗設計采用后向平移的ESPRIT算法。

具體的ESPRIT算法實現步驟如下：

1）由兩個子陣的接收數據分別得到兩個子陣的數據協方差矩陣xx。將矩陣進行特征值分解

并將ψ進行特征值分解得到N個特征值，就可得到對應的N個信號的波達方向。

1.3 TLS-ESPRIT算法DOA求解

基本ESPRIT算法可以看成是一種最小二乘算子。現已廣泛認識到，奇異值分解（SVD）[13]和總體最小二乘（TLS）的應用可以解決在求解廣義特征值問題的時候，最小二乘算子導致的一些問題。

TLS-ESPRIT算法求解步驟如下：

2）由分解得到的Us構造矩Us12陣，并按照式

進行特征值分解得到矩陣E。

然后按照公式（5）將矩陣分為4個小矩陣。

3）按照式：

得到ψTLS并對其特征值分解，得到N個特征值，就可以得到對于N個信號的波達方向。

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1.4 Toeplitz矩陣重構算法DOA估計

通過構建Toeplitz矩陣，其基本思想是將接收相干信源的協方差矩陣恢復為滿秩矩陣，然后去相干。該算法較之于TLS-ESPRIT等算法的優勢在于不需要損失陣列孔徑，但是仍然需要進行特征值的分解。

由式

可知協方差矩陣Rxx具有Toeplitz性質，它的秩不受信號相干性的干擾[14]。該算法首先對各個陣元的接收數據和第一個陣元的接收數據的相干函數進行排列，得到Hermitian Toeplitz矩陣，通過奇異值分解可以得到信號子空間和噪聲子空間，從而實現DOA估計。

具體步驟如下：

1）由協方差矩陣RXX得信號子空間和特征值。

2）按式：

構造矩陣B，抽取矩陣B的前m-1行構造矩陣B1，抽取后m-1行構造矩陣B2。

3）按式

4）得到矩陣D后進行特征值分解，由特征值就可以得到對應的N個信號的到達角。

2 仿真實現及結果分析

2.1 4種算法運行所需時間

當輸入2個信號，陣元數分別為10時，snr=0，d=λ/2，入射角度為 30°和 60°，快拍數設置為 512，將4種算法計算相干信源波達方向所需的時間進行比較，如表1所示。

表1 不同算法的運行時間

可見雖然MUSIC算法比較精確，但是因為需要進行譜峰搜索的繁雜過程，所以運算所需時間是4種算法中最長的。TLS-ESPRIT算法所需時間最少。

2.2 陣元數對4種算法估計精度的影響

輸入單信號源，入射角度為分別為50°時，快拍數同樣設置為 512，陣元間距 d=λ/2，信噪比snr=0。對在不同陣元數情況下，4種算法的估計均方根誤差進行比較，進行100次試驗后結果如圖1所示。

圖1 不同陣元數情況下均方根誤差

因為陣元數必須大于2，才能正確的描述波達方向。同時將陣元間距設置為2，因為陣元等間距，DOA估計越精確[15]。從圖中可以看出，陣元數越多，四種算法估計結果越精確，且誤差大小皆趨于穩定。從圖中同樣可以看出，在陣元間距小于4的時候，計算結果偏差較為嚴重，不能作為參考數值。很明顯，MUSIC算法的計算結果最為精確，誤差一直是最小的。

2.3 信噪比對4種算法估計精度的影響

輸入單信號源，d=λ/2，入射角度為 50°，陣元數設為10，快拍數為512，實驗100次時，不同信噪比情況下，4種算法的估計均方根誤差進行比較，結果如圖2所示。

圖2 不同信噪比情況下均方根誤差

此次仿真考慮信噪比SNR分別為-10 dB至10 dB，將各個算法算出的DOA估計均方根誤差進行比較分析，可知總體上隨著信噪比的增大，估計誤差越來越小，即估計精度越來越高。對-10 dB和10 dB之間離散化取值，可見在-10 dB的時候，4種算法的估計誤差差距較大。在-10 dB和10 dB之間，雖然4種算法的誤差都是越來越小，但是仍然可以清晰的看出4種算法估計誤差的精確程度。在10 dB的時候，4種算法的估計誤差很小。Toeplitz矩陣重構算法的估計誤差相較于其他兩種算法的誤差更小，估計結果更精確。MUSIC算法次之，而ESPRIT算法和TLS-ESPRIT算法的估計誤差一直不相上下。

2.4 快拍數對算法估計精度的影響

當輸入 2信號源，陣元數為 10，snr=0，d=λ/2時，入射角度為30°和60°時，進行100次實驗，快拍數對Toeplitz矩陣重構算法對DOA的估計誤差的影響如圖3所示。

設置快拍數等間距為20，是為了估計結果更精確。圖中表明，快拍數對算法估計結果的影響也很明顯。當快拍數較少時，估計誤差明顯較大，估計結果越不精確，已經失去了數值的參考價值?？炫臄翟酱?，估計誤差越小，精度越高。快拍數增大到一定程度之后，估計誤差趨于穩定。可見快拍數亦是算法對相干信源DOA估計精確程度的一個不可忽略的重要因素。

圖3 不同快拍數情況下估計誤差

3 結 論

本文分別從陣元數、信噪比和快拍數等方面比較分析了MUSIC算法，ESPRIT算法，TLS-ESPRIT算法以及Toeplitz矩陣重構算法各自的優缺點。理論分析和仿真研究表明，MUSIC算法適用于高分辨譜估計，缺點是需要特征值分解以及繁雜的譜搜索過程，所以計算時間最長速度最慢，由此如果芯片的處理速度較快，精度要求較高的時候可以考慮MUSIC算法。ESPRIT算法適用于較高分辨率的譜估計，較之于MUSIC算法而言不需要譜搜索的過程，計算速度得到提高，但是仍需要進行特征值分解步驟，所以適用于芯片處理速度較慢，精度要求高的情況。TLSESPRIT算法是在ESPRIT算法的基礎上改進得到的算法，解決了最小二乘法在求解廣義特征值問題上潛在的數值困難，且計算時間比ESPRIT算法快，所以適用于芯片處理速度慢，精度要求高的情況。而Toeplitz矩陣重構算法有很好的研究前景，其優勢在于不需要損失陣列孔徑，并且算法的分辨性能更優越，有更好的實用性，所以應用的范圍也就更廣泛。

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Performance analysis of four kinds of DOA estimation algorithms based on uniform linear array

MA Yi
（College of Computer and Information，Hohai University， Nanjing211100，China）

TN911.7

A

1674－6236（2017）19-0127-04

2016-08-15稿件編號201608105

馬 怡（1993—），女，江蘇常州人，碩士研究生。研究方向：陣列信號處理。