投資組合約束下分離交易可轉債的定價

胡昌生，程志富，陳 晶，熊德超,3

(1.武漢大學經濟與管理學院， 湖北 武漢 430072；2.交通銀行甘肅省分行， 甘肅 蘭州 7300703.長江證券資金營運部， 湖北 武漢 430015)

投資組合約束下分離交易可轉債的定價

胡昌生1，程志富1，陳 晶2，熊德超1,3

(1.武漢大學經濟與管理學院， 湖北 武漢 430072；2.交通銀行甘肅省分行， 甘肅 蘭州 7300703.長江證券資金營運部， 湖北 武漢 430015)

分離債是近十年來在投融資領域中的創新金融工具之一，本文試圖從結構化模型角度對這一產品進行定價。通過引入市場限制條件并加以刻畫，建立新的分離債定價模型。具體而言，先參照Tsiveriotis和Fernandes(1998)等的思路將分離債拆分為權證和債券兩部分，再借鑒Karatzas和Kou(1996)和Karatzas和Shreve(2004)的方法分別推導兩者在投資組合約束下的無套利價格上界和下界，進而得出分離債的無套利價格區間。由于投資組合約束在現實市場中普遍存在，因此建立這種結構化模型是具有實際意義的。該模型不僅能反映現實市場對投資組合的約束，還可以捕捉到公司杠桿的實時變化。

分離債;結構化模型;投資組合約束;期權價值狀態

1 引言

分離債的全稱是“認股權和債券分離交易的可轉換公司債券”，它是一種附認股權證的公司債，可分離為債券和認股權證兩部分[1-2]，給予了上市公司一次發行兩次融資的機會。自從2006年5月《上市公司證券發行管理辦法》正式實施以來，分離債這一創新品種因其兩次融資、發行便利、成本低等特點，不僅滿足上市公司的融資需求，也符合金融市場的發展方向，因而受到上市公司的青睞，正成為大型上市公司后續融資的一種重要工具。

從定義來看，分離債屬于可轉債(下簡稱轉債)的范疇。因此，無論是實務界還是理論界，基本上都是沿用轉債的定價方法為分離債定價。而根據Constantinides[3]，Philips[4]，Ferris等[5]，以及劉娥平等[6]的觀點，分離債和轉債至少在票面利率、債券期限、轉股價(或轉股比率)以及其他附屬條款(贖回、回售、擔保和轉股價修正)等方面存在較為顯著的差異。不僅如此，由于國內市場長期以來都存在著不同程度的投資組合約束(即投資者在投資產品上所面臨的頭寸限制)，使得分離債和轉債在價格形成機制上的差異進一步凸顯?？梢?，要探討分離債的價值特性，至少應該將其自身的條款設置(內因)與市場客觀存在的投資組合約束(外因)這兩方面因素結合起來進行分析。

從分離債自身的條款設置上來講，它具有如下幾個特點：第一，分離債的票面利率不僅低于同期銀行定存利率，也普遍低于同類型轉債的利率。說明其債券部分更接近于零息債特點，并且久期和凸度要高于同類型的轉債，對利率和公司違約風險更為敏感。第二，不同于轉債，分離債通常都沒有設立贖回條款、轉股價修正條款，而且其回售條款對投資者的保護程度不大,也形同虛設?？梢姺蛛x債中的權證部分等同于該公司發行的一份普通股本認購權證。第三，大部分的分離債都不需要附加擔保條件,因而其債券部分的價值更依賴于公司資產負債的狀況。盡管分離債普遍都以最高的評級AAA 發行,但由于國內評級機構的水平參差不齊,評級機構對發行人具有一定的依賴性,評級不能對債券的信用水平做很好的說明。

再來考慮外部因素，即市場上客觀存在的投資組合約束。由定義可知，分離債的實質相當于其權證部分和債券部分的簡單加總，因此，可以分別從權證和債券的定價來考察投資組合約束對分離債市場價格造成的影響。

綜合上述分析，我們對分離債價值模型進行重新構建。先來看權證部分，根據條款設置上的第二個特點，分離債的權證部分相當于股本認購權證，因此，市場對股票交易的約束(即買空約束)勢必會對權證價值造成沖擊。如市場對保證金、杠桿率以及持倉限額等方面的規定，顯然會影響投資者在其組合中的股票頭寸，而這些摩擦因素又可能進一步地導致權證市場價格偏離Black-Scholes[7]公式對應的期權價值(下簡稱BS價格)。再來看債券部分，結合條款設置上的第一點和第三點可知，分離債中債券部分的價值與其他公司債券價值本質上是一致的。Merton[8]最早在無約束的條件下對公司債券進行了結構化建模[9]，而Huang Jingzhi和Huang Ming等[10]經驗研究則發現結構化模型的估值會顯著高于債券市價。有學者認為這可能是由于現實市場上存在的約束(即賣空約束)所導致的[10-12]。其邏輯是，如果模型是正確的，那么當市場價格低于理論價格時，投資者可通過買入公司債券同時賣空公司資產和無風險證券以獲取無風險收益。然而，現實中上述策略的實施將面臨賣空約束。一方面，公司資產不可交易，投資者得借助股票(相當于公司資產的看漲期權)等工具復制出公司資產再間接做空，不過該策略在股票這一期權處于深度虛值時將可能失效。另一方面，即使復制策略有效，市場對于股票的做空同樣有所限制。因此，債券套保同樣會面臨投資組合上的約束，進而使得其價格低于由Merton模型得出的理論價值。

迄今為止，國內外關于轉債的定價理論和經驗研究已經取得了諸多成果，如Ingersoll[13]和Brennam和Schwartz[14]分析了贖回條款和轉換策略等因素的影響，楊大楷等[15]則重點討論了國內轉債的定價及相關條款設計的問題。不過，鑒于轉債與分離債的差異，上述理論和成果對于后者可能未必適用。而有關投資組合約束方面的研究，除了理論上的進展,如Kraft和Steffensen[16]，Fahim和Huang[17]等，經驗研究上也有了新的證據，徐楓等[18],發現賣空限制對于證券的設計與發行是不容忽視的市場力量，方立兵和曾勇[19]的結論則進一步證明了現實市場中的限制賣空不會因為融資融券的推出而消失，這與Hong和Stein[20]的關于美國股票市場上的賣空交易亦存在諸多約束的觀點也是一致的。在此背景下，本文從分離債所獨有的性質出發，并考慮投資組合約束(買空約束、賣空約束)所帶來的沖擊，為分離債設計出一個更為合理的定價模型。

2 定量建模

為便于分析，本文的模型將重點考慮現實市場對資產的約束，而忽略其對借貸的約束。其中，分離債的權證部分主要受到標的股票買空約束的影響，而債券部分則主要受到公司資產賣空約束的影響。

2.1買空約束對權證部分的影響

在研究投資組合約束對期權價值的影響時，Karatzas和Kou[21]將投資組合中標的股票可行集設定為[-l,u],l>0,u>0，它表示投資者買空和賣空的股票市值最多分別為個人財富總和的u和l倍。他們發現歐式看漲期權的價值與l無關，只與u有關，據此，本文將其中的股票可行集[-l,u],l>0,u>0定義為買空約束集。具體而言，當0

圖1 買空約束下歐式看漲期權的價值

設當前時刻為0，根據BS經典假設的推論，公司股票收益率服從如下過程

dlnS=(μ-σ2/2)dt+σdw

(1)

其中μ和σ為常數，w為現實測度下的標準維納過程，S為公司股票價格。

在到期時刻T，如果分離債持有人行使轉股權，則可以將債券按事先約定的轉股比率η換算成公司股票。同時，這一轉股行為還會對公司原有流通股本造成稀釋，假設公司總流通股本數為N，直到分離債行權該總數變為N+n，則稀釋因子ρ=N/(N+n)。將這兩個因素納入到Karatzas和Shreve[11]的模型中，便得到買空約束下分離債中的權證價值上界：

(2)

φ(ST)=

(3)

其中，r為市場無風險利率，F為截至當前時刻的信息集，Eq為風險中性測度q下的數學期望，X為分離債的面額(相當于期權協議價格)，ST為到期日行權前瞬間的股價。

聯立式(1)～(3)并求解，便得到如下命題：

命題1u約束下分離債權證部分無套利價格上界為：

(4)

其中

證明

對式(1)在[0,T]上求積分得：

lnST=(μ-σ2/2)T+σ(wT-w)

取上式的指數形式，再根據Girsanov[22]中的定理，將現實測度轉換到風險中性測度q可得：

(5)

將式(5)代入式(3)，然后將結果代回式(2)，再對式(2)求積分得(其中h(·)為正態分布密度，參數d1的定義與前述一致)：

證畢

接下來，我們來討論投資組合約束下分離債中債券部分的價值。

2.2賣空約束對債券部分的影響

由上文對分離債的第一和第三條定性描述可知，將分離債的債券部分視為依賴于市場利率和公司資產狀況的零息債是一種較合理的簡化。

在衍生資產定價的經典理論[23]中，通常認為衍生資產與原生資產風險同源。又由于考察期內公司負債水平不變，結合式(1)可知，公司資產負債比的增長率將大致服從如下過程：

(6)

其中，μv和σv分別表示公司資產負債比增長率的預期值和波動率，由Ronn和Verma[24]的推論可知：

σv=σdlnv/dlnS

(7)

與前文分析股票看漲期權的思路類似，可以得到如下命題：

命題2 在賣空約束下，一份標的價值為v、協議價格為1、到期日為T的歐式看跌期權，其無套利價格上界為：

(8)

其中：

證明

與看漲期權類似，看跌期權價值及其到期盈虧分布如下：

將兩式聯立，并代入d2，有：

命題3 賣空約束下的分離債債券部分的價值下界為：

(9)

證明

(10)

則投資人可以通過構造一個投資組合∏來實施無風險套利，即買入一份債券B和X份協議價格為1的歐式看跌期權p，并賣空一份面額為X的無風險債券，組合中的所有證券均在時刻T時到期。于是，該投資人在期初的現金流為：

∏=e-rTX-Xp-B

(11)

(12)

聯立式(10)～(12)，利用不等式的傳遞性可知：

(13)

即該投資者在期初有正的現金流入。

在到期時刻T，上述組合的價值變為：

∏T=min(vTX,X)+Xmax(1-vT,0)-X=0

(14)

即該投資者在期末沒有現金流入或流出。

可見，∏確實是一個可行的無風險套利組合。這種情形下，市場上的套利力量將會建立大量的∏多頭以實施套利，直到市場恢復至∏的期初現金流也為0的狀態時為止。這與無套利均衡原則相悖，故原假設不成立，從而期初的現金流∏也必然為0。

因此，直接將∏=0代入式(11)并聯立式(12)，便得到市場均衡的條件：

(15)

即公司債券的價格下界：

證畢

2.3投資組合約束下的分離債模型

令無約束時基于BS公式得到的分離債價格為WBBS，由上文分析得知，WBBS必然也是有約束時分離債的一個價值邊界，不妨將此時異于WBBS的另一個價格邊界設為WBuL。由于分離債的價值完全由權證部分和債券部分構成，根據命題1～3，聯立式(4)、(7)、(8)和(9)便得到其在投資組合約束下異于WBBS的無套利價格邊界WBuL，即：

(16)

其中

σv=σdlnv/dlnS

3 算例分析

假定某上市公司期初的杠桿水平為40.00%，并且在考察期內其負債水平不變，當前股價為15.00元/股，經估計得到其股票和公司資產收益率的波動率分別為0.30和0.22，公司發行的零息分離債的面額為100.00元，轉股價為16.67元/股，分離債和公司其他債務的剩余期限均為6.00年，全部分離債對股本潛在的稀釋效應為0.96。交易所6.00年期國債到期年化收益率為2.90%。在市場的投資組合約束下，投資該公司股票的可行集上界及其資產的投資可行集下界絕對值均為2.00(即u=L=2.00)。據此，我們來確定該分離債的合理價格區間。

將上述數據依次代入分離債模型(16)，計算結果為116.24元，而利用BS得到的無約束下的價格為109.64元。因此，該分離債的無套利價格區間就為[109.64,116.24](元)。

回顧第二節中的圖1可知，不同的約束程度對應的無套利區間也不一樣。為了比較兩類約束(即買空約束和賣空約束)對分離債價格影響的差異，我們考察u∈(1.00,2.00],L∈(0,1.00]時，無套利區間的變化規律。結果見圖2。

圖2 不同約束下分離債價格區間的變化

與上文一致，圖中的WBBS表示無約束時的分離債價格(下同)，WBuL表示有約束時的分離債異于WBBS的價格邊界。從圖2可以看到，有約束的分離債價格邊界WBuL會隨著u的增加(即股票買空約束弱化)而減小，顯然這與圖1所呈現的結果也是一致的；相反，WBuL會隨著L的增加(即公司資產賣空約束弱化)而增加，這主要是由于分離債的債券部分相當于包含了公司資產看跌期權空頭。另外，還可以看到有約束的分離債價格是u的凸函數，而又是L的凹函數，這顯然也是由分離債中的權證部分和債券部分對應的期權頭寸差異所引起的。

由于分離債的行權價是事先約定的，因此，當股價變化時，分離債中的權證就處于不同的價值狀態(Moneyness)，從而對應的有約束價格也會發生相應的變化。現假定股價在[1.00,50.00](元)的區間內變動，我們分別來考察買空約束下和賣空約束下的價格變化規律。代入算例中的其他數據，運算的結果見圖3。

圖3 分離債價值隨權證價值狀態的變化(杠桿為40.00%)

圖中，WBu表示只考慮買空約束時的分離債的價格下界，WBL表示只考慮賣空約束時的分離債的價格上界。通過觀察發現，當權證處于深度實值狀態(Deep in-the-money)時，兩類約束對應的無套利價格區間都會顯著縮小(即有約束價格上界/價格下界與無約束價格(WBBS)之間的差距在減小)；當權證處于深度虛值狀態(Deep out-the-money)時，只有買空約束的無套利價格區間在縮小，而賣空約束的無套利價格區間相對于其在值狀態(At-the-money)時所發生的變化不顯著。造成這種差異的主要原因是權證價值狀態更依賴于標的股價而非公司價值，為了驗證這一點，我們不妨考察一下其他杠桿水平下的情形。

圖4 分離債價值隨權證價值狀態的變化(杠桿為20.00%)

將算例中的杠桿水平調整為20.00%，我們便得到如圖4所示的結果。比較圖3和圖4不難發現，杠桿水平下降以后，賣空約束的無套利價格區間顯著縮小，而買空約束的無套利價格區間幾乎不變。這是由于，賣空約束主要是通過影響債券部分的價值進而改變分離債價格區間，而債券部分的價值又要受到杠桿水平的影響，因此，賣空約束下的無套利價格區間必然與杠桿因素息息相關。

4 結語

依據分離債的自身特點，并結合市場客觀存在的交易限制，本文建立了適用于投資組合約束下分離債定價的結構化模型。在此基礎上，得到關于分離債的一個無套利價格區間，而在該區間內的套利策略都將是有風險的(投資組合約束的風險)。本文的研究結論主要有以下三點：

其一，由于分離債的權證部分相當于公司股票看漲期權多頭，而債券部分相當于包含了公司資產看跌期權空頭，使得有約束時分離債異于無約束價格的價格邊界隨股票買空約束程度的弱化而減小，二者表現為凸函數的變化關系。顯然，這種函數凹凸性的背后所反映的其實是期權的頭寸差異。

其二，當分離債權證處于深度實值狀態(Deep in-the-money)時，投資組合約束下的無套利價格區間會顯著縮??；當權證處于深度虛值狀態(Deep out-the-money)時，只有買空約束的無套利價格區間在縮小，而賣空約束的無套利價格區間相對于其在值狀態(At-the-money)時所發生的變化不顯著。造成上述差異的主要原因是權證價值狀態更依賴于標的股價而非公司價值。

其三，當公司杠桿水平發生變化時，賣空約束的無套利價格區間會發生顯著的同向變化，而買空約束的無套利價格區間幾乎不變。這是因為，賣空約束主要是通過影響債券部分的價值進而改變分離債價格區間的，而債券部分的價值又要受到杠桿水平的影響。

上述結論表明，利用有約束的模型不僅可以從現實價格中得出傳統模型無法得到的投資組合約束的大小，還可以捕捉到公司杠桿的實時變化，從而使投資者獲取投資組合約束及公司財務等方面信息的效率得以提高。不過，在刻畫分離債中權證部分的價值時，由于本文將其視為到期行權的情形，因此，當存在引發投資人提前行權的潛在因素(如較高的分紅，其他附屬條款的約束等)時，本文模型將不再適用。

從引言的描述中可知，分離債的附屬條款往往比轉債要少，這也意味著后者的定價問題相對而言要更為復雜。本文對簡單情形下的投資組合約束做了初步探索，也為未來涉及更為復雜的情形(如多附屬條款、多關聯資產等情形)的研究提供了參考。

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Abstract： Warrants bond is one of innovative financial instruments on investment and financing markets in recent years.The traditional approach to model warrants bond is to copy the pricing theory of convertible bond.In this paper,theory is combined with practice in real life to compare the terms and conditions of warrants bond and convertible bond and it is found that there are many differences between those two bonds,including coupon,maturity,exercise price,put and call provisions and credit etc.Therefore,it is necessary to build a more suitable pricing model for warrants bond.

Learning from Tsiveriotis and Fernandes(1998),it is recognized that equity and debt components of warrants bonds are also subject to different default risk and derived a pair of coupled differential equations that can be solved explicitly.Basic value of warrants bond includes two parts,warrant’s value and bond’s value,where the latter is proved to be equivalent to a risk-free bond minus corresponding quantity put options.Dilution rate when conversing should be the dilution rate of equity ration.Besides,considering the domestic market still exists some investment restrictions currently,warrants bond is valued within the framework of structure models and a new pricing model is established under portfolio constraints in the markets.Based on those,contingent claims are modelled under this market hypothesis,and the assumptions of Black and Scholes(1973) pricing model is relaxed,introducing more realistic factors,studying warrants bond pricing problem under different market conditions in depth.

The pricing of warrants bonds which in unconstrained case is presented.The pricing of warrants bonds and investment portfolios under prohibition of short-selling and borrowing are discussed.

As portfolio constraints obviously exist in reality,it is meaningful to build such a structure model.It shows that the model not only can reflect portfolio constraints in the markets,but also can capture the real-time changes on financial lever of the company very well.

Keywords： warrants bond;structure model;portfolio constraints;moneyness

Pricing Warrants Bonds under Portfolio Constraints

HUChang-sheng1,CHENGZhi-fu1,CHENJing2,XIONGDe-chao1,3

(1.Economics and Management School of Wuhan University,Wuhan 430072,China；2.Gansu branch,Bank of Communications,Lanzhou 730070,China；3.Capital Operation Department of Changjiang Securities,Wuhan 430015,China)

F830.91

A

1003-207(2017)09-0011-08

10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2017.09.002

2016-10-24；

2017-04-02

國家自然科學基金資助項目(71671134)

程志富(1986-)，男(漢族)，湖南株洲人，武漢大學經濟與管理學院博士研究生，研究方向：行為金融與資產定價，E-mail:jefchan@whu.edu.cn.