基于雙指數跳躍擴散模型的長壽債券定價研究

巢 文，鄒輝文

(1.福州大學經濟與管理學院，福建 福州 350116；2.福州大學投資與風險管理研究所，福建 福州 350116)

基于雙指數跳躍擴散模型的長壽債券定價研究

巢 文1，鄒輝文2

(1.福州大學經濟與管理學院，福建 福州 350116；2.福州大學投資與風險管理研究所，福建 福州 350116)

伴隨著人均壽命的延長，人口老齡化帶來的長壽風險問題成為世界各國必須面對的重要課題。長壽風險對各國的社保部門、壽險公司和政府造成了嚴重影響，如何有效地管理長壽風險成為學術界研究的焦點。鑒于已有長壽債券研究模型在考慮人口死亡率正負向不對稱跳躍方面的不足，本文在Lee-Carter模型的基礎上，采用雙指數跳躍擴散模型對死亡率的正負向不對稱跳躍進行刻畫，并運用經典的CIR利率模型對長壽債券進行貼現，然后通過引入風險中性定價法給出不完全市場中的債券定價，使得定價更貼近真實市場。對人口死亡數據進行實證分析的結果表明，本文模型度量長壽風險的能力要明顯優于已有模型。因此，應用本文模型進行債券定價，不僅可以提供更合理的定價，還可以提高壽險公司應對長壽風險的能力，從而促進壽險業在我國的進一步發展。

長壽債券；CIR利率模型；雙指數跳躍擴散模型；風險中性

1 引言

隨著社會的進步，醫療衛生條件和經濟生活水平的改善，人類的死亡狀況不斷好轉，壽命呈現不斷延長的趨勢。長壽風險使得各國的壽險業、養老機構等的金融壓力變大，面臨嚴重的支付危機，其造成的社會影響已經引起各國的廣泛關注。傳統的風險管理方法很難實現長壽風險的轉移，需從新型的金融衍生工具中尋找出路。而長壽債券是一種有效管理風險的方法，它通過債券交易方式，將壽險公司承保的長壽風險傳遞給資本市場的廣大投資者。它的出現，既可以對沖長壽風險，又能活躍資本市場。

長壽風險對社會各領域帶來嚴峻挑戰，如何對沖該風險引起學術界的關注。如曾燕等[1]在長壽風險對沖框架下，通過引入外生的產品價格，構建了基于價格調整的自然對沖模型；汪偉和劉玉飛[2]探討農民工進城對養老保險體系的養老賬戶繳費、養老基金給付等方面的短期和長期影響，最后給出了政府應承擔農民工長壽風險，在財政上做好兜底工作等政策啟示。另外，國內外有許多的研究者從長壽債券角度對長壽風險進行了研究，主要從死亡率預測研究、長壽債券的定價研究以及長壽證券衍生品的研究。Cairns等[3]認為，一個好的死亡率模型需要能夠使預測結果與未來實際結果相吻合。為改善以前模型對死亡隨機性刻畫的不足，Wills和Sherris[4]用實證方法表明：死亡率的相關效應對長壽債券定價的影響較大。Wang和Yang[5]在傳統Lee-Carter的基礎上，用中國人口死亡數據進行同年出生死亡率相關性的拓展研究。然而在研究壽險產品定價時，只有不多的研究會強調死亡率的跳躍性。尚勤等[6]考慮到中國人口老齡化具有基數大、速度快的特點，運用OU跳隨機過程刻畫死亡強度。Bauer等[7]研究長壽債券時，在連續時間框架下，利用仿射跳躍擴散模型刻畫死亡率。Cox等[8]提出了同時描述長壽跳躍和死亡跳躍的模型。Deng等[9]基于雙指數跳躍擴散模型采用風險中性定價方法對壽險產品進行定價研究。田夢和鄧穎璐[10]采用雙指數跳躍擴散模型，對中國人口死亡率進行預測，并得到了壽險衍生品q遠期的中國定價。從已有研究來看，目前還未看到將雙指數跳躍擴散模型應用到長壽債券定價中的成果。

長壽債券合理定價受死亡率的刻畫和利率期限結構的影響，但很多的研究者僅將注意力集中于死亡率的預測，對利率風險重視不夠。本文在前人研究的基礎上，考慮到死亡強度正負向跳躍的不對稱性，采用雙指數跳躍擴散模型刻畫死亡強度。同時考慮利率期限結構和市場的不完全性，用CIR利率模型描述利率，然后通過風險中性定價給出長壽債券的價格。最后，進行參數敏感度分析，找到影響債券價格的主要因素。

2 長壽債券的構造原理

長壽債券是傳統保險業和證券行業結合的產物，它通過債券交易方式，將本該由壽險公司承擔的長壽風險，轉移到資本市場。SPV是壽險公司和投資者的交易中介，它向壽險公司購買再保險，再向投資者發售無違約債券。在交易期內，當生存指數高于雙方約定的程度時，SPV用發行債券的收益優先向壽險公司賠付，剩余資金再向投資者發放息票，生存指數決定了各方的收益和風險。因此，準確預測死亡強度是長壽債券合理定價的關鍵。此外，由于長壽債券期限較長，一般為25年或者30年，它的價值受利率波動影響較大，在給其定價時，利率期限結構不可忽視。長壽風險的產生和分散過程圖如圖1所示。

圖1中，壽險公司用固定年金的方式向SPV支付再保險費，SPV再以浮動年金的形式賠付給保險公司。同時，對于投資者來說，他們向SPV支付固定的息票債券，得到浮動的息票債券。SPV和投資者都承擔了風險，好處是得到了較高風險的報酬。明顯的，死亡率的預測是長壽風險管理的關鍵。

圖1 長壽風險產生和分散過程圖

3 DEJD模型下的死亡強度

研究長壽債券定價，首先要刻畫生存指數，而生存指數需要通過計算死亡強度得到。本文考慮死亡強度具有正負向跳躍的不對稱性，同時又兼顧良好的運算性質，將采用雙指數跳躍擴散模型(DEJD模型)來刻畫死亡率。模型的基本結構為：

(1)

式中kt是整體死亡率，又叫時間序列因子；Wt為標準布朗運動；N(t)是帶跳的泊松過程(跳躍頻率是λ)，α和σ分別表示瞬時期望漂移率和波動率；Vi是服從獨立同分布的非負隨機變量。若令Y=ln(V)，則Y服從不對稱的雙指數分布，其密度函數為：

fy(y)=pη1e-η1y1{y≥0}+qη2eη2y1{y<0},η1,η2>0,p,q≥0,p+q=1,

(2)

根據Kou 和 Wang Hui[11]，一個風險中性的DEJD模型結構如下，其中帶*號表示表示各參數經過風險中性調整：

(3)

且

(4)

整理得到第t年x年齡組的死亡率mx*(t)[9]:

(5)

其中，ax為各年齡組死亡率自然對數的平均水平，bx表示各年齡組死亡率對數變化的偏差情況。

4 長壽債券定價模型

4.1債券設計

假設lx表示x歲的人數，lx+t表示lx個x歲的人活到x+t歲的人數(lx+t

(6)

令V為長壽債券價格，T年期的面值為F,SPV支付給投資者的息票是Dt，V和Dt的關系滿足：

(7)

其中，d(0,t)是基于無風險利率r(t)下的折現因子，

(8)

4.2利率期限結構

在過去的30年中，經濟學家提出了大量的利率模型，大致可以分為單因子和多因子利率。單因子利率變量少，具有易處理和參數易估計的優勢。在長壽債券的研究中，我們注重的是對死亡率隨機特征的刻畫和定價模型的可操作性，因此，選擇單因子利率模型。基本的單因子利率模型有Merton模型，Vasicek模型和Cox-Ingersoll-Ross模型。Merton模型不能描述利率均值回復和保證利率恒正，而Vasicek模型雖有均值回復項，但不能保證利率恒正，只有CIR模型才能同時體現這些特征。因此，本文采用CIR模型來描述利率的波動形態：

(9)

式中，α、β和θ為參數；W(t)為標準布朗運動。

根據Cox，Ingersoll和Ross[12]的相關結論，在CIR模型下零息債券的風險中性價格p(0,t)可寫成如下形式：

(10)

要求債券價值V的值，關鍵是求E*(Dt),其中帶*表示參數經過風險中性調整，由(6)式可得：

Dt=lb-(lx+t-lat,0)++(lx+t-lat-lb,0)+

則：E*(Dt)=lb-E*[(lx+t-lat)+]+E*[(lx+t-lat-lb)+]

(11)

(12)

(13)

(14)

根據φ′(t)=-tφ(t)，由分部積分

(15)

可得：

(16)

(17)

將(16)(17)兩式代入式(11)，得到

(18)

(19)

5 實證研究

5.1參數估計

5.1.1 參數ax和bx估計

本文采用美國國家健康統計中心提供的1900-2004年的死亡率數據，并應用矩陣奇異值分解法(SVD法)進行ax和bx的估值。首先，進行正態化假設：

mx,t=exp(ax+bxkt+εx,t)

(20)

仿真結果表明，在2～4 GHz的頻帶范圍內，低噪聲放大器的輸入回波損耗小于-8 dB，輸出回波損耗小于-10 dB。頻率為2 GHz時，增益取得最小值為30.6 dB，頻率為3.15 GHz時，增益取得最大值為31.9 dB，增益的平坦度小于等于1.3 dB。噪聲系數的最小值為0.75 dB，此時頻率為3 GHz。噪聲系數的最大值為1 dB，此時的頻率為2 GHz，即在工作頻帶內，噪聲系數的取值不大于1 dB。根據前面的分析可知，穩定系數μ大于1時，低噪聲放大器處于絕對穩定的工作狀態，通過仿真的結果可知，在整個頻帶范圍內，穩定系數大于2.6，因此保證放大器不會被自激等不理想因素所影響。

上述的計算過程可用Matlab軟件編程實現，結果見表1。

表1 年齡效應參數回歸結果

5.1.2 DEJD模型參數估計

用C={k0,k1,…,kT}表示死亡率時間序列，并記一個時期的增量ri=Δki=ki-ki-1(i=1,2,…,T),則ri的無條件密度函數f(r)為：

f0,0(r),f0,n(r)和fm,n(r)計算過程類似，這里不再給出。下一步，由ri的獨立性可得對數似然函數為：

其中λ=λ1+λ2,p=λ1/λ。最后編程得到參數的極大似然估計值，結果見表2。

表2 死亡率其他參數估計值

5.1.3 CIR利率模型參數估計

通過選取2008-12-31～2012-12-31的1年期Shibor數據，估計CIR利率模型中的參數。利用極大似然估計法估計式(9)中的參數[13]，α=0.0045，β=0.0298，θ=0.056。

5.2定價示例

下面，將本文的計算結果與不同模型的定價方法給予比較分析，為長壽債券研究提供進一步參考。如表3。

表3 不同模型刻畫死亡率方法的結果比較

由表3比較可知，由帶跳的OU過程和Feller過程刻畫死亡強度，得到的長壽債券價格要低于DEJD模型的結果，即不考慮死亡率正負向跳躍的情況下，長壽債券價格會被低估。這是因為，當考慮死亡率的正負向跳躍，且正向跳躍強度比負向跳躍強度更大(η1*<η2*)時，死亡率的正向跳躍會使投資者有更大收益，使其愿意為持有長壽債券支付更高的價格。若壽險公司不能有效的管理長壽風險，向投資人收取的債券價格低于“公平”價格，將導致壽險公司不堪重負，甚至破產。因此，準確預測人口死亡率，從而制定合理的債券價格，是壽險公司穩定經營的關鍵所在。

表4 DEJD模型中參數敏感度測試表

5.3參數敏感度分析

參數敏感度分析有助于在長壽債券定價時，根據具體情況調整參數。首先，分析死亡率模型的參數敏感度。

同樣，對CIR利率模型中參數進行敏感度測試，如表5。參考表5中數據，設定每個參數的取值范圍，取不同的值并繪圖，得到圖7-9。綜合表5和圖7-9，可以看出，若保持其他參數不變，隨著參數α和θ的增大，長壽債券價格而變小；而當β增大時，長壽債券的價格也增大。其中，參數α的敏感度最顯著，其他兩個敏感度較弱。可見，對于期限較長的長壽債券而言，期限結構對長壽債券的價格具有密切的影響。因此，利率模型的選取和參數的估計十分重要，不容忽視。長壽債券作為一種新興的金融衍生品，其到期期限一般較長，因此相較于短期利率的影響，長壽債券的定價模型更應重視遠期利率的影響。

表5 CIR利率模型中參數及參數敏感度測試

圖2 參數α*與V的關系

圖3 參數σ*與V的關系

圖4 參數λ*與V的關系

圖5 參數與V的關系

圖6 參數與V的關系

圖7 參數α與V的關系

圖8 參數β與V的關系

圖9 參數θ與V的關系

6 結語

隨著全球人口老齡化社會的迅速形成，導致領取養老金保險金的人數逐年增加，而納稅人口一路減少，養老金賬戶的供需缺口越來越大，以致于影響了社會的發展。長壽問題已經成為不容忽視的重大社會問題，發行長壽債券，不僅可以減緩社會保障部門的金融壓力，還可以為壽險業對沖長壽風險提供新思路。

本文在Lee-Carter模型的基礎上，利用雙指數跳躍擴散模型來刻畫死亡率正向和負向跳躍的不對稱性，從而更準確的度量長壽風險。并且在處理年齡別的參數時，利用線性插值法，既提高了死亡率預測的精度，又避免了多而繁瑣的統計工作量。此外，用經典的CIR利率模型進行貼現，從示例和數據分析結果可以得出，增加利率期限結構是有必要的，而且對長壽債券的合理定價也有較大影響。

隨著我國資本市場的發展，精算技術的不斷成熟，人口數據的不斷完善和規范，長壽債券的設計會更加符合實際，長壽債券也勢必將在管理長壽風險中發揮重要作用，因此本文的研究具有重要的現實意義。

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Abstract： With the extension of life expectancy,the countries in the whole world must face the fact that aging population brings longevity risk.Longevity risk has put severe impacts on security departments,insurance companies and the governments in the world.Therefore how to manage it effectively has become the focus of study by the academic society.In view of the fact that the research model of longevity bonds has not considered the positive and negative asymmetry jump of population mortality,and in order to hedge the risk of longevity,based on Lee-Carter framework,a double exponential jump diffusion model is introduced to measure the positive and negative asymmetry jump of mortality rates,the interest rate is described with CIR.And in order to make the pricing of bonds closer to the real market,the risk neutral pricing is used to price the bond in the incomplete market.Empirical analysis with the population death data shows that the ability of this model is significantly better than the existing model when measuring longevity risk.Therefore,the use of this model for bond pricing,not only can provide a more reasonable pricing,but also can improve the life insurance companies to deal with the risk of longevity,then can promote the further development of life insurance industry in China.

Keywords： longevity bonds;CIR model;double exponential jump diffusion model;neutral risk

Pricing Longevity Bonds based on Double Exponential Jump Diffusion Model

CHAOWen1,ZOUHui-wen2

(1.Institute of Investment and Risk Management,Fuzhou University,Fuzhou 350116,China;2.School of Economics and Management,Fuzhou University,Fuzhou 350116,China)

F830.91

A

1003-207(2017)09-0046-07

10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2017.09.006

2015-10-17；

2017-02-25

福建省自然科學基金資助項目(2017J01794)

巢文(1988-)，女(漢族)，江西宜春人，福州大學經濟與管理學院博士生，研究方向：金融資產定價，E-mail:chaowen2014@163.com.