基于稀疏重構的共形陣列穩(wěn)健自適應波束形成算法

陳 沛 趙擁軍 劉成城

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基于稀疏重構的共形陣列穩(wěn)健自適應波束形成算法

陳 沛*趙擁軍 劉成城

(解放軍信息工程大學導航與空天目標工程學院 鄭州 450001)

針對共形陣列天線自適應波束形成中存在的通用性差、主瓣保形困難、計算復雜度高等問題，該文提出一種基于稀疏重構的穩(wěn)健自適應波束形成算法。該算法通過引入漸進最小方差準則，實現了干擾加噪聲協方差矩陣的稀疏重構，并得到期望方向上的導向矢量估計，進而求得波束形成器的最優(yōu)權矢量。該算法無需復雜的子陣分解或虛擬映射變換，適用于任意陣列形狀。仿真實驗驗證了該算法不僅保證了期望的主瓣響應，同時對指向誤差有較好的穩(wěn)健性。與現有算法相比，該算法所需采樣快拍數少，計算復雜度低，收斂速度快，在較大的輸入信噪比范圍內達到了較好的陣列輸出性能。

穩(wěn)健自適應波束形成；共形陣列；漸進最小方差準則；稀疏重構

1　引言

共形陣列是指與載體外形保持一致的天線單元構成的陣列[1]，它的出現極大地節(jié)約了載體上的布陣空間，降低了天線對載體運動產生的附加氣動阻力，提高了空域掃描范圍，增強了隱蔽性，具有廣闊的應用前景[2,3]。但共形陣列導向矢量的建模較傳統(tǒng)平面陣列更加復雜[4]，自適應波束形成方法的實現難度增大。

共形陣列陣元一般不具有全向輻射方向圖，陣列方向圖不滿足方向圖乘積原理[5]，傳統(tǒng)自適應波束形成算法的應用性能不佳。限制于共形陣列的復雜性，當前的研究主要集中于固定波束形成[6,7]。為數不多的共形陣列自適應波束形成算法主要分為兩類，其中一類基于子陣劃分的思想，將完整的共形陣列天線拆分成若干個子陣，再結合傳統(tǒng)平面陣的處理方法，實現各子陣覆蓋空域內的波束形成。如文獻[8]利用改進的最小方差無畸變(Minimum Variance Distortionless Response, MVDR)算法，解決了規(guī)則圓柱陣列在柱面母線方向上的波束形成，但該類方法受到陣列布陣形狀限制。另一類方法基于虛擬陣列思想，將共形陣列向傳統(tǒng)平面陣列進行映射。如文獻[9]利用空間內插變換，將有向陣元組成的共形陣變換成陣元為全向的均勻直線陣，降低了方向圖不一致帶來的影響，但變換矩陣的選取需要求解復雜的優(yōu)化問題，實現難度較大。文獻[10]采用陣列流型分離技術(Manifold Separation Technique, MST)，將共形陣列的陣列流型表示為一個陣列采樣算子作用在一個僅與信號來波方向有關的矢量上的形式，使得變換后的虛擬陣列具有均勻直線陣的特性。該算法對可用于任意陣列結構，但需要精確的校準測量以及理想的采樣數據。

近年來，稀疏重構技術在陣列信號處理中的應用受到了研究者的重視[11,12]，其對任意陣列形狀的適應性更好，需求數據量更少。而共形陣列由于空域覆蓋范圍廣，接收信號在空域更容易滿足稀疏性條件。另一方面，基于干擾加噪聲協方差矩陣重構的自適應波束形成算法[13,14]能夠在采樣數據中含有期望信號且期望信號輸入信噪比較高的情況下，顯著改善陣列的輸出信干噪比(Signal to Interference plus Noise Ratio, SINR)，并提高算法對于陣列誤差的穩(wěn)健性，但該類算法計算復雜度較高，且需要大量的采樣數據。

本文根據信號在空域的稀疏性，將稀疏優(yōu)化與干擾加噪聲協方差矩陣重構算法相結合，有效解決了共形陣列對遠場窄帶信號的自適應波束形成問題。首先通過對目標空域進行網格劃分，利用導向矢量構造過完備基。然后根據干擾加噪聲協方差矩陣的結構特點，將信號和噪聲功率作為稀疏系數，從漸進最小方差準則的角度出發(fā)，將稀疏系數的求解問題轉化為無約束優(yōu)化問題，并設計迭代求解方案。最后利用稀疏系數中的非零值及其位置，實現干擾加噪聲協方差矩陣的重構，以及期望信號方向上導向矢量的估計，進而得到波束形成器的最優(yōu)權系數。仿真實驗和結果分析將證明本文算法的有效性和穩(wěn)健性。

2　共形陣列接收數據模型

由于載體曲率的影響，共形陣列的單元方向圖存在不一致性，對導向矢量進行建模得到

(4)

實際系統(tǒng)中，由于快拍數有限，常利用采樣數據得到協方差矩陣的統(tǒng)計一致估計，即。式中，表示快拍數。

3　基于干擾加噪聲協方差矩陣稀疏重構的自適應波束形成算法

3.1 干擾加噪聲協方差矩陣重構波束形成算法

文獻[13]針對均勻直線陣，提出了基于干擾和噪聲協方差矩陣重構的解決方案。首先假設期望信號分布在目標區(qū)間，干擾信號分布在目標區(qū)間的補空間。然后對干擾區(qū)間進行Capon空間譜估計，在整個干擾區(qū)間內利用所得Capon譜[15]進行積分，則可重構出干擾和噪聲協方差矩陣的估計值：

該方法對整個干擾區(qū)間的譜估計和積分運算將消耗大量的運算資源，由于通常假設信號數目小于陣元數目，信號在共形陣列空域觀測范圍內是稀疏分布的，考慮利用稀疏信號處理的方法對上述算法進行改進。

3.2 基于漸進最小方差準則的協方差矩陣稀疏重構

實際環(huán)境下，信號的數目和來向一般未知，基于能量的信號方位估計算法通常將整個空間進行網格劃分，每個方位網格上均存在出現信號的可能性。網格的密集程度將遠遠大于實際信號存在的數目，即僅有極少方位網格上的能量是非零值，而其他均接近零值。因此，當前的稀疏重構類算法可以被應用到對接收信號能量和位置的估計中[16]。要利用采樣數據獲取對接收信號功率和噪聲功率的估計，當滿足稀疏優(yōu)化的可行性條件時，稀疏系數的求解可以轉化為優(yōu)化問題，在此考慮根據漸近最小方差準則(Asymptotic Minimum Variance, AMV)，推導迭代計算公式，實現問題的求解[17]。

假設期望信號與干擾信號之間，信號與噪聲之間均相互獨立，則令,，其中，為單位陣；為Kronecker函數；，對角線元素為第個入射信號的功率，和為待求參數。協方差矩陣可改寫為。若構造向量，對矩陣矢量化，等價為未知參數矢量中元素的線性組合，即，其中，為矢量化運算符，為系數矩陣。

(7)

其中，

(9)

(12)

再將式(10)代入式(12)，得

(14)

(16)

(18)

式(19)將不再出現負值，且兼顧迭代收斂性與標準Capon譜估計的準確性。噪聲功率的估計也可簡化為

(20)

3.3 穩(wěn)健的自適應波束形成算法

利用基于AMV準則的稀疏重構算法進行迭代，設置終止條件為達到預設最大迭代次數。去除接收采樣協方差矩陣中的期望信號成分，僅利用干擾方向附近的非零值和噪聲估計值，重構出干擾加噪聲協方差矩陣：

算法的具體步驟可總結為表1。

3.4 計算復雜度分析

與文獻[13]方法相比，本文算法大幅減小了協方差矩陣重構步驟中的數值積分運算量，僅需少量非零值點的簡單求和即可重構干擾和噪聲協方差矩陣的估計值。在本文算法的迭代求解步驟中，每步迭代只需進行一次協方差矩陣求逆運算，且每步迭代后，估計值中將產生大量的零值，在下步迭代中無需重復運算。與基于協方差準則迭代的稀疏估計算法(SParse Iterative Covariance-based Estimation, SPICE)相比[18]，本文算法在每步迭代中的計算量也有效降低。具體地，假設各算法空域網格劃分相同，本文算法迭代次數為,為每步迭代中非零值的數目，和為文獻[14]中的離散化取值點數，分析本文算法、MVDR算法與文獻[13]算法、文獻[14]算法、SPICE算法的計算量，對比結果如表2所示。通過表2可以看出，當迭代次數和空間信號數目不大時，本文算法計算量低于文獻[13]算法、文獻[14]算法和SPICE算法。

表1 基于AMV準則稀疏重構干擾加噪聲協方差矩陣的自適應波束形成算法步驟

表2 計算復雜度分析

另一方面，通過分析迭代計算式可以發(fā)現，本文算法不要求陣列流型矩陣具備特定結構，只需根據不同的陣列布陣形狀和陣元的單元方向圖特性得到相應的陣列流型矩陣，如式(2)所示，即可執(zhí)行迭代運算，且該陣列流型矩陣無需隨迭代式更新。因此，迭代算法本身不受陣列形狀的影響，且既不需要對共形陣列進行分解，也無需復雜的陣型映射，對于任意形狀的共形陣列具有較強的通用性。

4　仿真結果及分析

為便于驗證本文算法的有效性，考慮一個18陣元圓柱形共形陣，假設圓柱半徑為，陣元在圓周上均勻排布，相鄰陣元夾角為，各陣元在局部坐標系下的單元方向圖設置為[19]

為表述簡單，僅分析其在空間方位角域的波束形成性能(假設俯仰角)。需要強調的是，對于其他陣型設置，同時考慮方位角和俯仰角的2維波束形成也有類似結果。期望信號來波方位角為, 4個干擾信號分別從,,方向入射，干擾噪聲比均為30 dB，空間噪聲為零均值加性高斯白噪聲。期望信號和干擾信號都為窄帶隨機信號，并且極化方向都沿圓柱軸向。將本文所提算法與MVDR算法[8]，對角加載算法(Diagonal Loading, DL)[20], MST算法[10]、SPICE算法以及文獻[13]所提干擾加噪聲協方差矩陣重構算法進行比較。期望信號所在角域區(qū)間假定為，空域以間隔均勻劃分網格，即。對角加載算法中的對角加載因子設置為噪聲功率的兩倍[20]。MST算法中的模式數取為20[10]。仿真結果均由500次Monte-Carlo實驗統(tǒng)計得到。

實驗1 算法陣列響應性能分析 假設期望信號輸入SNR為20 dB，采樣快拍數設置為10，本文算法的迭代次數取為20次?？紤]不存在指向誤差的條件下，對本文算法、MVDR算法、DL算法、MST算法和文獻[13]算法得到的波束形成方向圖進行仿真，所得結果如圖1所示。

通過仿真結果可以看到，由于共形陣列的陣列流型結構復雜，且采樣快拍數較少，采樣數據中包含期望信號污染且功率較大，對于直接利用采樣協方差矩陣的傳統(tǒng)平面陣波束形成算法，包括MVDR算法，DL算法，均無法形成可靠的主瓣，MST算法雖然解決了共形陣列的陣列流型結構的轉換問題，但仍受采樣數據非理想情況的影響，在期望方向上也形成了零陷。本文算法不僅使得主波束準確指向期望信號方向，且在每個干擾信號的位置均形成了較深的零陷，零陷較文獻[13]算法更低，對干擾信號的抑制能力更強，且主瓣更窄，旁瓣水平也與文獻[13]算法接近。

實驗2 算法穩(wěn)健性分析 為驗證本文自適應波束形成算法對指向誤差的穩(wěn)健性，分析存在指向誤差條件下的波束形成方向圖。假設期望信號的指向誤差為，其他實驗條件與實驗1相同。對本文算法、MVDR算法、DL算法、MST算法和文獻[13]算法進行仿真，所得結果如圖2所示。

仿真結果顯示，本文算法在存在指向誤差的情況下，仍然可以將主瓣對準真實的期望信號方向，文獻[13]算法由于無法估計期望信號來向信息，出現了一定的偏移。而MVDR算法、DL算法、MST算法均將期望信號當作干擾而形成零陷，無法實現無失真接收。這是由于本文算法進行稀疏信號功率估計的同時，利用網格位置可具備一定的方位角估計功能。估計誤差主要受到網格疏密程度的影響，因此，在網格劃分較密集的情況下，本文算法可以較準確地估計期望信號來向，較好地克服先驗信息中指向誤差對波束形成算法性能的影響。

圖1 無指向誤差時各波束形成算法所得方向圖對比 圖2 指向誤差時各波束形成算法方向圖對比 圖3 各算法輸出SINR與指向誤差的變化關系

實驗3算法輸出SINR隨期望信號SNR變化情況分析 分別考慮無期望信號指向誤差和存在指向誤差條件下的算法輸出性能。存在指向誤差時，假設每次Monte-Carlo實驗中期望信號的指向誤差在的角域內服從均勻分布。采樣快拍數設置為10，本文算法的迭代次數取為10次，期望信號SNR變化范圍為。比較各算法輸出SINR隨期望信號SNR的變化關系，仿真結果如圖4所示。

通過圖4可以看出，本文算法的輸出SINR在整個SNR變化區(qū)間內，均更接近于陣列的最優(yōu)輸出SINR性能，相對于文獻[13]算法輸出性能提升了近1 dB，且受指向誤差影響很小。而MVDR算法、DL算法和MST算法在期望信號較強的情況下，均出現了性能的下降，這是由于當輸入SNR較高時，其自適應算法將期望信號誤視為干擾信號，且更容易受到指向誤差的影響而在期望方向上形成零陷，無法保持無失真接收所造成的。SPICE算法由于對空間譜的估計精度不及本文算法，尤其在共形陣列空域覆蓋廣和低信噪比條件下，協方差矩陣重構誤差所造成的性能損失更大。

實驗4算法輸出SINR隨采樣快拍數變化情況分析 期望信號SNR分別設置為0 dB和20 dB，采樣快拍數變化范圍設置為，其他實驗條件與實驗3相同。比較算法輸出SINR隨采樣快拍數的變化關系，仿真結果如圖5所示。

從圖5可以得出結論，在輸入信噪比為0 dB和20 dB的情況下，隨采樣快拍數的增加，各算法輸出性能均得到提高。當采樣快拍數大于5時，本文算法即可達到接近于陣列最優(yōu)輸出SINR的性能。與現有算法相比，本文算法在實際應用中有著更大的優(yōu)勢，這是稀疏信號處理技術本身的特性決定的，算法對數據量的需求更低，更適用于接收信號變化較快而采樣速率不足的實際場景，且較SPICE算法輸出SINR更優(yōu)。

實驗5算法輸出SINR隨迭代次數變化情況分析 設置期望信號SNR為20 dB，采樣快拍數為10，迭代次數變化范圍為，討論本文算法與SPICE算法輸出SINR隨迭代次數的變化關系，仿真結果如圖6所示。

由圖6的變化曲線可以得到，本文算法的輸出SINR隨迭代次數的增加而升高，與SPICE算法相比，本文算法收斂速度更快，輸出SINR更優(yōu)。當迭代次數高于10次時，本文算法即可達到收斂，輸出性能不再有明顯改善，這是由于空域網格的劃分限制了信號功率估計精度的進一步提高。實際應用中可結合具體要求，通過對迭代次數的適當選取，實現輸出性能與計算復雜度的折中，使得本文算法的應用更加靈活，適用范圍更加廣泛。

圖4 各算法輸出SINR隨期望信號SNR的變化關系

圖5 各算法輸出SINR隨采樣快拍數的變化關系

圖6 輸出SINR隨迭代次數的變化關系

5 結論

本文針對共形陣列提出了一種基于干擾加噪聲協方差矩陣稀疏重構的穩(wěn)健自適應波束形成算法。該算法考慮到基本的干擾加噪聲協方差矩陣重構算法存在計算量大的問題，引入漸進最小方差準則，通過對目標空域進行網格劃分，建立稀疏重構問題的過完備基，推導得到求解稀疏系數即信號和噪聲功率值的迭代算法，僅利用稀疏系數中的非零值即可實現對干擾加噪聲協方差矩陣的準確重構，降低了計算量。同時，根據期望信號功率對應的非零值位置估計期望信號方向上的導向矢量，無需額外求解優(yōu)化問題。最后利用重構的干擾加噪聲協方差矩陣和估計的導向矢量實現自適應波束形成。仿真實驗表明，本文算法與現有方法相比能夠達到更好的輸出性能，尤其在較高的輸入信噪比和采樣快拍數較少的情況下，優(yōu)勢更加明顯。本文算法對指向誤差有較好的穩(wěn)健性，需要的先驗信息更少，僅需已知陣列布陣形式與單元方向圖特性，迭代收斂速度快，較傳統(tǒng)方法適用范圍更廣。

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Robust Adaptive Beamforming Algorithm for Conformal Arrays Based on Sparse Reconstruction

CHEN Pei ZHAO Yongjun LIU Chengcheng

(,450001,)

Adaptive beamforming techniques for conformal arrays suffer from poor universality, difficulty to maintain the main beam and high computational cost.A novel robust adaptive beamforming algorithm for conformal arrays based on sparse reconstruction is proposed to alleviate the existing problems. Firstly, by introducing the Asymptotic Minimum Variance (AMV) criterion, the Interference-Plus-Noise (IPN) covariance matrix reconstruction is realized in a sparse way. Secondly, the Steering Vector (SV) of the Signal Of Interest (SOI) is estimated. Finally, the optimal weight coefficients are achieved. Simulation results demonstrate the effectiveness and robustness of the proposed algorithm and prove that this algorithm can achieve superior output performance over the existing adaptive beamforming methods for conformal arrays in a large range of Signal to Noise Ratio (SNR) of the SOI. Moreover, the proposed algorithm needs fewer snapshots with a lower computational cost and has a faster convergence rate.

Robust adaptive beamforming; Conformal arrays; Asymptotic minimum variance; Sparse reconstruction

TN911.7

A

1009-5896(2017)02-0301-08

10.11999/JEIT160436

2016-04-29；改回日期：2016-11-10；

2016-12-29

陳沛 clevercpei@126.com

國家自然科學基金(61401469)

The National Natural Science Foundation of China (61401469)

陳 沛： 男，1989年生，博士生，研究方向為陣列信號處理.

趙擁軍： 男，1964年生，教授，研究方向為新體制雷達系統(tǒng)、陣列信號處理.

劉成城： 男，1986年生，講師，研究方向為數字波束形成技術.