魔方里的數學密碼

魔方于1974年由匈牙利人魯畢克發明。它能征服全世界，與匈牙利眾多偉大的數學家（例如馮·卡門、馮·諾伊曼以及5位獲得過沃爾夫獎和阿貝爾獎的數學家）有很大關系——匈牙利的數學家們通過1978年的世界數學家大會，把魔方推廣到了全世界。那么，這個小小的立方體到底與數學有怎樣的關系呢？一起來看看吧！

魯畢克是布達佩斯工藝美術學院的教師，主要講授外形研究與畫法幾何學。為培養學生的三維想象力，他于1974年設計、制造了三階魔方，并將其稱為Magic Cube。Magic Square（即幻方）是數學的一個分支，所以Magic Cube早年被譯為幻立方體。1979年后，Magic Cube改為Rubiks Cube，成為現在數學中的專有名詞。

魔方起源—15子棋

追溯魔方的起源，不免要談到1880年時美國的15子棋。15子棋棋子和魔方小塊運動的數學原理是相同的。如圖①～③所示，通過滑動周圍的棋子，棋盤中的空格可以沿著圖示的線路轉動起來，這和魔方小塊的轉動是一樣的。

延伸閱讀：重排九宮圖

15子棋的前身是重排九宮圖，重排九宮游戲棋最早出現在元代。在宋代，九宮圖被叫作縱橫圖（即幻方）。楊輝是南宋研究縱橫圖的著名數學家。《易傳·系辭》曰：“河出圖，洛出書，圣人則之。”洛書是中國5000年前的產物，是幻方的先祖。

“離家”和“回家”

魔方一路走來，能風靡全球、經久不衰，和其中蘊藏的數學密碼有密切關系。那么，魔方里到底有什么數學密碼呢？

我們先簡單討論魔方的“離家”和“回家”問題。當你拿著一個處于原始狀態的魔方（即魔方處于復位狀態），我們說魔方是在“家里”。如果你是個新手，扭轉魔方時，不要讓魔方“離家”太遠，可以靠直覺使魔方“回家”。

首先，隨便選擇一面，轉動魔方1步，轉角可以是90°或180°或270°。對于魔方“離家”1步遠的情況，不難計算其狀態共有6×3=18個。換句話說，即每個面分別轉動90°或180°或270°，6個面共有18個狀態。為了敘述方便，我們分別用F、R、U、B、L、D表示魔方的前面、右面、上面、后面、左面和下面。

然后，讓魔方“離家”2步遠，即先轉動一個面，再轉動另外一個面。如果用符號表示就是：

F（R、U、B、L、D）；R（F、U、B、L、D）；U（F、R、B、L、D）；

B（F、R、U、L、D）；L（F、R、U、B、D）；D（F、R、U、B、L）。

上面的組合共有30組，每個字母有3個可選擇的轉角，共有30×3×3=270個狀態。需要強調的是，我們是在計算魔方的狀態數，這涉及魔方的幾何問題。例如，組合FB和BF給出的魔方狀態是完全相同的。因為F面和B面平行，轉動的先后次序不影響魔方的狀態。因此，FB和BF，RL和LR，UD和DU分別相同，要去掉3個，剩下27個組合。那么，27×3×3=243，即魔方“離家”2步遠，共有243個狀態。魔方“離家”2步遠時，我們也可以輕松讓魔方“回家”。

按照以上組合操作和比較魔方狀態的方法，可以計算出：

魔方“離家”3步遠，共有3，240個狀態；

魔方“離家”4步遠，共有43，239個狀態；

魔方“離家”5步遠，共有574，908個狀態。

如果隨意讓魔方離家5步遠，而你僅僅用5步就能把它復位，那么你就是地地道道的天才。換句話說，面對574，908個魔方狀態，僅憑直覺用5步將這些魔方復位，世界上還沒有人能夠做到。

如果把魔方離家的所有狀態求和，再加上一個在家的狀態，這個數就是43，252，003，274，489，856，000。

2010年，谷歌的一個團隊計算出魔方離家21步遠的狀態為0，也就是說，魔方離家最遠是20步。于是，他們宣布：對于任何一個被攪亂了的魔方，都可以在20步以內將其復原。

目前，復位三階魔方最快者所用時間不到5秒，但是他們需要轉動魔方50多次。2017年3月有報道稱，一位德國工程師設計的機器人，復位魔方只需0.637秒，僅需轉動魔方21次。

魔方小塊的方位

魔方里用到的數學既簡單又撩人。

三階魔方有8個角塊、12個邊塊和6個心塊，描述這些小塊的空間方位有很簡單的方法。如圖④所示，用數組<111>描述角塊，用數組<110>描述邊塊，用數組<100>描述心塊。如果用負號（數字1上加橫線），讓這些數組中的三個數排列組合：<111>有8種情況，和魔方的角塊一一對應；<110>有12種情況，和魔方的邊塊一一對應；<100>有6種情況，和魔方的心塊一一對應。用這種方法，還可以描述2階魔方、高階魔方和某些異型魔方。

12面魔方有12個心塊、20（=5×12÷3）個角塊、30（=5×12÷2）個邊塊。如果能計算出這些小塊的空間坐標，就可以建立數學模型來描述這些小塊的運動。

我們可以借助三階魔方，計算出12面魔方各小塊的空間坐標。如圖④所示，魔方12條棱邊中心的黑點，分布在6個面上，每面有2個。例如，藍色面的前后兩個黑點屬于該面，黃色面上下兩個黑點屬于該面，以此類推。圖④中魔方的邊長由2個單位壓縮到1.618，每個面上的黑點之間的距離壓縮到1，如圖⑥所示。把這些黑點近鄰地連接起來，就構成一個正20面體，同時，我們得到了12個頂點的坐標。例如，A、B、C三點的坐標分別為（0.5，0，0.809）、（-0.5，0，0.809）、（0，0.809，0.5）。endprint

參照圖⑥的坐標系，可以把12個頂點的坐標標注在12面魔方的心塊中心，一一對應。根據12面魔方心塊的坐標，經簡單的幾何計算，可以求出20個角塊和30個邊塊的空間坐標，然后就可以計算12面魔方轉動后小塊坐標的變化。參照魔方的“離家”和“回家”，12面魔方也可以按步找到和三階魔方的對接點。

5個公式復位法

魔方的復位方法很多，下面給大家介紹最簡單的“5個公式復位法”。

首先，根據直覺能力，復位魔方的第一層—通過魔方“離家”和“回家”操作，可以輕松培養這種直覺能力。然后，根據“牛郎和織女的故事”復位魔方的第二層（可以參看《魔方和數學建模》視頻公開課）。最后，根據5個公式，復位魔方的第三層。

本文給出操作序列的兩種表達形式：①6個字母表示魔方的6個面，帶“”表示逆時針轉動90°，否則為順時針轉動90°，帶“2”表示轉動180°；②此種表達基于笛卡兒坐標系，坐落于正方向的面用右手操作，轉動方向滿足右手規則，坐落于負方向的面用左手操作，轉動方向滿足左手規則。

魔方里所包含的數學知識，如同浩瀚海洋的沙灘海岸，淺的地方誰都可以來玩，包括幼兒園的小朋友，不需要什么裝備；深的地方更好玩，但需要一些數學上的技能。群論是研究魔方的主要數學理論，同樣，魔方也是學習群論的最好模型。近年來興起的幾何代數學，可以用來研究魔方問題，同樣，通過玩魔方也可以學習幾何代數學。

知識鏈接 盲擰的秘密

三階魔方是變種魔方和高階魔方的基礎，三階魔方的復位是魔方的經典內容。那些能快速復位魔方的人，除了勤學苦練之外，他們都具有非凡的記憶力。手法相同的情況下，記憶的公式越多，復位的速度就越快。特別是那些盲擰的人，沒有非凡的記憶力是不可能將魔方復原的。

動手之前，他們要長時間觀察魔方，其目的是為了讓角塊和邊塊“對號入座”，編碼相關的操作序列。以角塊為例，來說明蒙眼復位魔方的基本方法。若8個角塊分別為ABCDEFGH，原始狀態為A1B2C3D4E5F6G7H8占位，而現在的狀態是A2B1C4D3E8F6G7H5，對比原始狀態可知：A和B、C和D、E和H分別交換了位置。對于以上魔方，在操作之前要分別記住交換A和B、C和D、E和H所需要的操作公式，那么蒙眼后就可以把魔方復位。

作者簡介

李世春，獲清華大學材料學博士學位，中國石油大學（華東）材料系退休教授，長期從事魔方研究，先后出版了《魔方及其應用》《魔方的科學和計算機表現》和《魔方里的科學和文化》等著作。endprint