有界單連通區域上解析逆緊映射的拓撲度

戴作科,董新漢

(湖南師范大學數學與計算機科學學院，中國 長沙 410081)

有界單連通區域上解析逆緊映射的拓撲度

戴作科,董新漢

(湖南師范大學數學與計算機科學學院，中國 長沙 410081)

設Ω和G都是邊界局部連通的有界單連通區域，假設f是Ω到G的解析逆緊映射. 通過將單連通區域提升至單位圓盤，本文得到了G的邊界點的分支數和其逆象點分支數之間的等式關系，并討論了f的拓撲度和逆象點個數之間的不等式關系.

割點；拓撲度；分支數

AbstractLettingΩandGbe two simply connected domains with locally connected boundary, lettingfbe a proper holomorphic mapping fromΩontoG, and liftingΩandGonto unit discs, in this work, we have obtained the equality relationship between component numbers of the point on ?Gand those of its different inverse image points on ?G. The inequality relationship between the topological degree offand the number of the different inverse image points is also obtained and discussed.

Keywordscut point; topological degree; component number

假設X和Y是兩個拓撲空間，令Ω和G分別為X和Y中的兩個子集，f:Ω→G為一個連續映射，如果G中每個緊子集的逆象集都是Ω中的緊集，則稱f是Ω到G的逆緊映射[1]. 在分形幾何與復分析的交叉研究中[2-6]，Cantor邊界性質的專題研究必須借助全純逆緊映射的性質. 對一般解析函數(非逆緊)，其定義域邊界的象集分全平面C為若干個連通分支，則相關連通分支的個數、拓撲度和判別點個數又緊密聯系著. 著名的Riemann-Hurwitz公式闡述了這個聯系[7]. 為了更深入揭示Cantor邊界性質中Cantor集C的性質，我們需要邊界上割點的重數[8]和連通分支上的拓撲度之間的聯系. 本文的目的就是刻畫這種聯系，至于它的應用我們將另文給出.

引理1[2-3]令f∈A(Ω)且f:Ω→f(Ω)是逆緊的，則存在k>0使得對于任意w∈f(Ω)都有

nf(w,Ω)≡k.

我們稱上述引理中的k為映射f的拓撲度.

引理2[2-3]設f是一個在D內解析的函數. 如果f滿足f(D)=D和nf(w,D)≡k<∞，?w∈D,則f是一個拓撲度為k的有限Blaschke乘積，即

其中zn∈D，β為實數. 此外，f′(z)在D中有k-1個零點(按重數計算)，當|z|=1時，f′(z)≠0；當|w|=1時，nf(w,?D)=k.

由定義1及割點的定義可知，當且僅當αE(a)>1時，a為E的割點.

1 主要結論

解析逆緊映射的拓撲度由象區域邊界點的逆象點個數決定.

定理1設Ω和G都是邊界局部連通的有界單連通區域，f∈A(Ω)是一個從Ω到G上的逆緊映射.設w0∈?G不是?G的割點，令

f-1({w0})={z0,z1,…,zk-1},

其中zi(i=0,1,…,k-1)互不相同. 如果每個zi都不是?Ω的割點，則f的拓撲度為k.

證由于f的拓撲度為一常數，不妨設為m，下面證明m=k.

f-1({w0})={z0,z1,…,zk-1}，

可知ai(i=0,1,…,k-1)是?D上滿足f(φ(ai))=w0的k個不同點.

考慮映射h(η)=ψ-1(f(φ(η)))，η∈D. 由引理2可知，h是一個拓撲度為m的有限Blaschke乘積，且對任意|ξ|=1有nh(ξ,?D)=m，可以斷言，ai(i=0,1,…,k-1)是僅有的k個不同的使得h(ai)=ξ0成立的點. 事實上，假如?D上還存在不同于ai(i=0,1,…,k-1)的點b滿足h(b)=ξ0，則有

ψ(h(b))=ψ(h(ai))=ψ(ξ0)=w0，

從而

f(φ(b))=ψ(h(b))=ψ(h(ai))=w0=f(φ(ai))

成立，故b必然等于某個ai. 由此可以得出m=k且h是一個拓撲度為k的有限Blaschke乘積，即f的拓撲度為k.

解析逆緊映射象區域邊界點的分支數和其逆象點的分支數之間有很好的對應關系. 在下面的引理中cardA表示A中不同元素的個數.

引理3設G是一個邊界局部連通的有界單連通區域，f是一個從D到G上的共形映射. 令a∈?G且

A=f-1({a})={ζ∈?D:f(ζ)=a},m=cardA≤∞.

則有m=α?G(a)成立.

引理4設G是一個邊界局部連通的有界單連通區域，f∈A(D)是一個拓撲度為k的從D到G上的逆緊映射. 令a∈?G且有

A=f-1({a})={ζ∈?D:f(ζ)=a},m=cardA≤∞.

則m=kα?G(a)成立.

令m′=cardC，其中

C=g-1({a})={ζ∈?D:g(ζ)=a}.

由引理3，m′=α?G(a)成立.

下面證明f-1({a})=B-1(g-1({a})). 任取z0∈f-1({a})，有f(z0)=a，故B(z0)=g-1(f(z0))=g-1({a})，從而有z0∈B-1(g-1({a}))，因此f-1({a})?B-1(g-1({a})). 再任取z1∈B-1(g-1({a}))，有B(z1)∈g-1({a})，即g-1(f(z1))∈g-1({a})，故有f(z1)=a，即z1∈f-1({a})，這說明B-1(g-1({a}))?f-1({a}).

綜合以上可知f-1({a})=B-1(g-1({a})).

由于B是拓撲度為k的有限Blaschke乘積，由引理2可知card(B-1(C))=kcardC，所以m=kα?G(a)成立.

定理2設Ω和G都是邊界局部連通的有界單連通區域，f∈A(Ω)是一個拓撲度為k的從Ω到G上的逆緊映射. 令w0∈?G且

f-1({w0})={z0,z1,…,zq-1},

其中zi(i=0,1,…,q-1)互不相同. 我們有

因為f°g1=g2°B，且都是拓撲度為k的解析逆緊映射，由引理3和引理4可知

推論1設Ω和G都是邊界局部連通的有界單連通區域，f∈A(Ω)是一個拓撲度為k的從Ω到G上的逆緊映射. 若w0∈?G不是?G的割點且有

f-1({w0})={z0,z1,…,zq-1}，

其中zi(i=0,1,…,q-1)互不相同，則有q≤k，且“=”成立的充分必要條件是每個zj都不是?Ω的割點.

證因為α?Ω(zj)≥1且α?G(w0)=1，由定理2可知

顯然“=”成立的充分必要條件是每個zj都不是?Ω的割點.

推論2設Ω和G都是邊界局部連通的有界單連通區域，f∈A(Ω)是一個拓撲度為k的從Ω到G上的逆緊映射. 若w0∈?G是?G的割點且有

f-1({w0})={z0,z1,…,zq-1}，

其中zi(i=0,1,…,q-1)互不相同，如果每個zj都不是?Ω的割點，則有q≥2k.

證由割點的定義，我們有α?G(w0)≥2和α?Ω(zj)=1. 再由定理2可知

即q≥2k成立.

[1] RUDIN W. Function theory in the unit ball ofCn[M]. New York: Springer Verlag, 1980.

[2] DONG X H, LAU K S. Cantor boundary behavior of analytic functions. Recent development in fractals and related fields[J]. Birkh?user, 2010,232(1):283-294.

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[4] DONG X H, LAU K S, WU H H. Cauchy transform of self-similar measures: Starlikeness and univalence[J]. Trans Am Math Soc, 2017,369(7):4817-4842.

[5] DONG X H, LAU K S. Cauchy transforms of self-similar measures: the Laurent coefficients[J]. J Funct Anal, 2003,202(1):67-97.

[6] DONG X H, LAU K S. An integral related to the Cauchy transform on the Sierpinski gasket[J]. Exp Math, 2004,13(4):415-419.

[7] TEINMETZ N S. The formula of Riemann-Hurwitz and iteration of rational functions[J]. Complex Variables Theory Appl, 1993,22(3):203-206.

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(編輯 HWJ)

重要啟事

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本刊編輯部

Topological Degree of Proper Holomorphic Mapping on Bounded Simply Connected Domains

DAIZuo-ke,DONGXin-han*

(College of Mathematics and Computer Science, Hunan Normal University, Changsha 410081, China)

圖1 跨界基因沉默菌株侵染細胞的吖啶橙染色圖(P.34) Fig.1 Acridine orange staining showed that the Tk-RNAi bacteria invaded into mammalian cells(P.34)

Fig.2 The UV spectra (200～375 nm) of F-H4W10O32(8.49×10-5 mol/L) in water containing H2O2. (A) The system in a pure water (0.1 mL),(B0)Adding 0.2 mol/L H2O2(0.1 mL) to the system A, (B1→B5 ) After the system was irradiated using UV light for 10, 30, 40, 50 and 80 min. Inset is the UV spectra (200～375 nm) of H4W10O32 in water containing H2O2 under the same conditions(P.66)

Fig.3 The UV spectra (200～375 nm) of F-H4W10O32(8.49×10-5 mol/L) in water containing H2O2 and MO. (A) The system in a pure water (0.2 mL),(B0)Adding 0.2 mol/L H2O2(0.1 mL) and 2.5 mg/L MO (0.1 mL) to the system A, (B1→B5 ) After the system was irradiated using UV light for 10, 20, 40, 50 and 80 min. Inset is the UV spectra (200～375 nm) of H4W10O32 in water containing H2O2 and MO under the same conditions(P.66)

G420; O174.5

A

1000-2537(2017)05-0077-03

2017-01-09

國家自然科學基金資助項目(11571099);高等學校博士學科點專項科研基金資助項目(20134306110003)；湖南省教育廳科研資助項目(14K057)

*通訊作者,E-mail：xhdong@hunnu.edu.cn

10.7612/j.issn.1000-2537.2017.05.011