高考中的數列求和問題

李向虹

數列求和是高中數學的重要知識點和核心考點，數列求和問題能考查對數列的整體認識，能夠體現等價轉化這一重要的數學思想，因此數列求和在高考中占有很重要的地位，是每年必考的考點。下面是我總結的數列求和問題的幾種常用解法，供參考。

一、方法匯總

1、公式法

（1）等差數列求和公式：

（2）等比數列求和公式：

（3）

2、分組求和法

把數列的每一項分成兩項或幾項，使其轉化為幾個等差、等比數列，再求解.

3、裂項相消法

把數列的通項拆成兩項之差求和，正負相消剩下首尾若干項.常見的裂項公式

① ；

② .

4、倒序相加法

把數列分別正著寫和倒著寫再相加，即等差數列求和公式的推導過程的推廣.

5、錯位相減法

主要用于一個等差數列與一個等比數列對應項相乘所得的數列的求和，即等比數列求和公式的推導過程的推廣.

6、并項求和法

一個數列的前n項和中，可兩兩結合求解，則稱之為并項求和.

例Sn=1002-992+982-972+…+22-12=（100+99）+（98+97）+…+（2+1）=5050.

二、典例剖析

題型一 分組轉化法求和

例1.已知數列{an}，an=n，設bn=2an+（-1）nan，求數列{bn}的前2n項和.

解：由an=n，可得bn=2n+（-1）nn.記數列{bn}的前2n項和為T2n，

則T2n=（21+22+…+22n）+（-1+2-3+4-…+2n）. （分組）

記A=21+22+…+22n，B=-1+2-3+4-…+2n，

則

B=（-1+2）+（-3+4）+…+[-（2n-1）+2n]=n. （分組求和）

故數列{bn}的前2n項和T2n=A+B=22n+1+n-2.

提醒：某些數列的求和是將數列轉化為若干個可求和的新數列的和或差，從而求得原數列的和，注意在含有字母的數列中對字母的討論.

題型二 錯位相減法求和

例2.已知=2n-1，bn=2n-1，設，求數列{cn}的前n項和Tn.

解：由=2n-1，bn=2n-1，故，于是

（設制錯位）

①-②可得：， （錯位相減）

故Tn=6-.

注意：（1）在寫出“Sn”與“qSn”的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準確寫出“Sn-qSn”的表達式；

（2）若等比數列的公比為參數，應分公比等于1和不等于1兩種情況求解.

題型三 裂項相消法求和

例3.已知函數f（x）= xa的圖象過點（4，2），令=an=

，n∈N*.記數列{}的前n項和為Sn，則S2017=

________.

解析 由f （4）=2，可得4a=2，解得a=，則f （x）=.

（裂項）

（求和）

注意：抵消后并不一定只剩下第一項和最后一項，也有可能前面剩兩項，后面也剩兩項.endprint