史密斯經濟增長與貨幣政策綜合模型的穩定性分析

藺小林, 李小敏

(陜西科技大學 文理學院, 中國 西安 710021)

史密斯經濟增長與貨幣政策綜合模型的穩定性分析

藺小林, 李小敏

(陜西科技大學 文理學院, 中國 西安 710021)

運用矩陣理論,對經濟控制理論中的史密斯經濟增長與貨幣政策綜合數學模型進行了定性研究.通過求該數學模型的特征值和特征向量，獲得模型各個變量的穩定性態，得到了判定模型平衡狀態全局漸近穩定的一些重要結論.即當該經濟模型特征方程的譜半徑小于1時，模型平衡狀態全局漸近穩定.同時，通過具體的數值實例，滿足特征方程的譜半徑小于1，驗證了該經濟最終趨于全局漸進穩定的結論的正確性.

史密斯模型； 貨幣政策； 穩定性

Abstract:By using the matrix theory,this paper discusses the qualitative properties of model of Smith economic growth and monetary policy model.Computing the eigenvalues and eigenvectors,we are obtained the stability of the model.Further,we gave some important resultsto judgment model equilibrium for global asymptotic stability.When the spectral radius of the characteristic equation of the economic model is less than 1,the equilibrium state of the model is globally asymptotically stable.Finally,a numerical example is given to satisfy the spectral radius of the characteristic equation less than one,which verifies the correctness of the conclusion that the economy eventually tends to be globally asymptotically stable.

Keywords:smith model； monetary policy； stability

0 引言

考慮到一個國家或者地區的宏觀經濟，著名經濟學家凱恩斯(Keynes)建立了宏觀經濟模型，然而該經濟模型是一種靜態的宏觀經濟模型，不能完全反映現實的經濟情況.薩繆爾森(Samuelson),希克斯(Hicks)和史密斯(Smith)等經濟學家在此基礎上進行了更深入的研究，建立了各種動態宏觀經濟模型.但是，這些模型均未考慮貨幣政策因素對經濟增長的影響.因此，經濟學家史密斯在希克斯模型的基礎上，引入了貨幣政策因素，得到了“經濟增長與貨幣政策綜合模型”，該模型著重討論了貨幣政策對宏觀經濟的影響.

特征值是線性代數中的一個重要內容,其較普遍地應用于研究線性經濟模型的經濟增長的均衡性.從經濟意義上說,特征值可以看作各個變量穩定的發展速度.本文參考了文獻[1]中的研究方法，并對文獻[1]中所用的方法進行了修正和補充；文獻[2]主要研究了菲利普斯曲線與貨幣政策目標選擇，即失業、物價和經濟增長的貨幣政策目標選擇.經濟增長是經濟理論的焦點,也是貨幣政策調控的重點；本文通過對史密斯經濟增長與貨幣政策綜合模型解的特征及穩定性的分析研究，對比文獻[3]中提到的經濟增長與貨幣政策的綜合模型，補充了文獻[3]中的不足；作為與財政政策并駕齊驅的國家宏觀調控政策之一，貨幣政策由于其對經濟具有財政政策不可替代的總體影響和短期微調的特點，并隨著我國市場經濟體制的建立，其作用愈來愈大，對經濟的影響相當巨大.因此，文獻[4]和[5]對經濟增長動因、貨幣政策、資產價格與經濟增長的波動溢出效應給出了理論解釋和效應分析.

關于貨幣政策、股票市場價格以及經濟增長之間的關系，也有少數學者進行過研究.文獻[6]以我國股票市場為研究對象，認為股票資產價格的上漲及波動受到經濟及各項制度變革的基礎性影響外，還受到以貨幣政策為代表的一系列宏觀經濟政策調控和政府針對證券市場自身的股市政策調控的影響.從增長率的分析表明，我國股票市場經過十幾年的發展，已經逐漸成為經濟發展的晴雨表.從波動性的分析表明，央行貨幣政策可以不直接干預股票市場，可以通過貨幣政策調控經濟增長，從而起到間接調控股票市場資產價格的作用；文獻[7]介紹了宏觀經濟學的基本知識；運用文獻[8]和[9]中MATLAB理論知識進行運算和數值模擬，得出模型穩定判別的一些重要結論；文獻[10]和[11]是關于經濟學基本理論的介紹；文獻[12-16]主要是差分方程相關知識的介紹，其中主要運用差分方程理論分析求解經濟學實例，通過對差分方程理論和結論的引用和參考，分析文中經濟學模型解的特征，從而得到全局漸進穩定的結論.

由于西方經濟學和我國經濟學有一定差距，通過參考一些外文文獻，例如文獻[17-22],對本文所涉及的經濟學問題進行更好的說明.文獻[17]論述了財政政策對外商投資的影響；文獻[18]和[19]討論了通貨膨脹對經濟增長的影響；文獻[20]討論了金融危機及經濟案例分析；文獻[21]論述了政治問題對經濟增長的影響；文獻[22]討論了公共債務政策對經濟增長的影響.本文通過對有關經濟學及差分方程理論類文獻的參考和引用，很好地分析了本文中貨幣政策對經濟增長的影響.最后，運用MATLAB軟件對文中模型進行運算和數值模擬，得出文中模型穩定判別的重要結論.

1 史密斯經濟增長與貨幣政策綜合模型

考慮一個國家或地區的宏觀經濟，著名經濟學家凱恩斯(Keynes)建立了如下宏觀經濟模型：

其中，a為基本消費水平，b為邊際消費傾向.凱恩斯模型是一種靜態宏觀模型，不能完全反映經濟現實，薩繆爾森(Samuelson)等經濟學家在此基礎上進行了更深入的研究，建立了各種宏觀經濟模型.1970年諾貝爾經濟學獎獲得者薩繆爾森教授對上述凱恩斯模型作了三點改進：一是將總消費、總投資中的公共消費、公共投資區分出來，作為新的經濟總量，即政府支出，引入了均衡條件；二是將消費函數改為動態情形，三是增加了投資函數，得到如下經濟模型：

許多著名經濟學家建立并提出某一地區宏觀經濟模型，然而卻鮮有將貨幣政策引進經濟增長的綜合模型；在其他條件不變的情況下，貨幣供給的增加將提高總需求，但這種總需求的增加并不一定使產出和就業增加，而可能只是導致通貨膨脹.由美國經濟學家史密斯提出的一種貨幣供應理論模型，它綜合反映了金融資產供求狀況的變動.史密斯模型也說明了貨幣以外的金融資產，即非貨幣金融資產的供求變動在貨幣供給量的決定中具有重要的地位.以下即為史密斯經濟增長與貨幣政策綜合模型.

在宏觀經濟模型的基礎上，引進貨幣政策，就可以得到史密斯經濟增長與貨幣政策綜合模型.若用Yt,Ct,It和Gt分別為t期國民收入、個人消費、個人投資和政府支出；Rt為t期利率，Ht為t期貨幣需求量，Mt為t期貨幣供給量，則史密斯經濟增長與貨幣政策綜合模型為：

(1)

式(1)中：參數b、k、c、h、d、e、j均為正的實常數，b為邊際消費傾向，k為投資加速數，c為投資減速數，h為貨幣供需差對利率的影響系數，d為貨國民收入對貨幣需求量的影響系數，e、j為利率對貨幣需求量的影響系數.由式(1)消去Ct、It、Ht，可得關于Yt、Rt的差分方程組：

(2)

(3)

若令x1(t),x2(t),x3(t)為狀態變量，且記x1(t)=Yt-2,x2(t)=Yt-1，x3(t)=Rt-1,令u1(t),u2(t)為控制變量，且記u1(t)=Gt,u2(t)=e-Mt-1，令y1(t),y2(t)為輸出變量，且記y1(t)=Ct,y1(t)=It，則由式(2)和式(3)可得狀態空間模型為：

(4)

式(4)中：

x(t)=(x1(t),x2(t),x3(t))T，

u(t)=(u1(t),u2(t))T，

y(t)=(y1(t),y2(t))T

分別為狀態向量、控制向量和輸出向量.

2 史密斯經濟增長與貨幣政策綜合模型的穩定性分析

(5)

設式(5)有特解或平衡狀態：Yt=Ye,Rt=Re，代入式(5)可得：

式(5)狀態方程的特征方程為：

P(λ)=|λI-A|=λ3+(jh-1-b-k)λ2+

(b+2k-bjh-kjh+cdh)λ+kjh-k=λ3+

a1λ2+a2λ+a3

(7)

其中：a1=jh-1-b-k,a2=b+2k-bjh-kjh+cdh,a3=kjh-k,根據Jury判據的推論，式(5)平衡狀態全局漸近穩定的充要條件是：

(8)

即有

(9)

由于00，因此上式中第一個式子顯然成立，故式(5) 平衡狀態漸近穩定的充要條件為各系數滿足式(9)中后兩個不等式.由此，我們得到如下結論：

定理1史密斯經濟增長與貨幣政策綜合模型(4)的平衡狀態全局漸近穩定的充要條件為以下兩個不等式同時成立：

(1)(1+b)(2-jh)+2k(1-jh)+cdh>0；

(2)(1+kjh-k)(1-kjh+k)>|(bk-b+

k+k2-kjh)jh+(b+k)(1-k)+cdh|.

3 史密斯經濟增長與貨幣政策綜合模型解的運動特征

在討論史密斯經濟增長與貨幣政策綜合模型解的運動特征之前，我們先給出如下引理.

引理1對于定常離散動力系統x(t+1)=Ax(t),其中，x∈Rn，如果矩陣A的譜半徑ρ(A)<1，則該系統的平衡點漸近穩定，如果矩陣A的譜半徑ρ(A)>1，則該系統的平衡點不穩定.

根據引理1，結合Jury判據，對系統(4)從特征方程譜半徑出發，就可以獲得解的運動狀態，進而得到系統全局漸進穩定的另一個充分性條件如下：

定理2對系統(4)，當正的實常數b、k、c、h、d、e、j滿足下列四個條件之一時，系統的平衡點是漸近穩定.

(1)D=E=0，并且|a1|<3或者|a2|<

|a1|或者|3a3|<|a2|；

(4)E2<4DF，并且|Da1-E|<|D|，

|E|<2|D|.其中：

a1=jh-1-b-k,a2=b+2k-bjh-kjh+cdh,

a3=kjh-k,D=a12-3a2,E=a1a2-3a3,

F=a22-3a1a3

證明：根據離散動力系統的穩定性理論，我們來分析式(5)特征根的情況.式(5)的特征方程為：

|λI-A|=λ3+a1λ2+a2λ+a3=0

(10)

對應特征向量α1、β1、γ1.于是，方程(5)的解為：

(11)

式(11)中：a1,b1,c1為任意常數并由初值確定.由式(11)可知，當：

①|λ0|<1時，該解是非周期波動，漸近穩定的；

②|λ0|≥1時，該解振蕩，不穩定.

(2)當Δ=E2-4DF>0時，方程有個實數根和兩個共軛虛根：

r(cosω+isinω),

r(cosω-isinω),

其中：

r=

三個特征值對應特征向量分別為α2、β2、γ2，于是，方程(5)的解為：

(12)

式(12)中a2、b2、c2為任意常數并由初值確定.由式(12)可知，當

①|λ1|<1,0

②|λ1|<1,r=1時，該解減幅振蕩，臨界穩定；

③|λ1|=1,r=1時，該解等幅振蕩，臨界穩定；

④|λ1|>1或r>1時，該解振蕩，不穩定.

(3)當Δ=E2-4DF=0時，方程有三個實數根，其中一對為重根：

其中：

三個特征值對應特征向量分別為α3、β3、γ3，于是，方程(5)的解為：

(13)

式(13)中：a3、b3、c3為任意常數并由初值確定.由上式可知，當

①|λ1|≤1,|λ2|=|λ3|<1時，該解是非波動，漸近穩定；

②|λ1|>1或|λ2|=|λ3|≥1時，該解振蕩，不穩定.

(4)當Δ=E2-4DF<0時，方程有三個相異實數根：

三個特征值對應特征向量分別為α4、β4、γ4，于是，方程(5)的解為：

(14)

式(14)中：a4、b4、c4為任意常數并由初值確定.

由式(14)可知，當

①|λ1|≤1,|λ2|≤1,|λ3|≤1時，該解是非波動，漸近穩定的；

②|λ1|>1或|λ2|>1或|λ3|>1時，該解振蕩，不穩定.

由(1)～(4)證明可知，P(λ)=0(即A的特征多項式)的根全在復平面單位圓內，(即|λ1|<1,i=1,2,3)，則稱P(λ)為穩定多項式或A為穩定矩陣，此時系統(5)為穩定的.

一般地，根據引理1，對于給定離散時間定常線性系統：x(t+1)=Ax(t),如果Pn(λ)=0(即A的特征多項式)的根全在復平面單位圓內，(即|λi|<1(i=1,2,3,…,n) )，則稱Pn(λ)為穩定多項式或A為穩定矩陣，此時系統稱為穩定系統.

系統的穩定性問題是控制論研究的重要課題之一，因為任何一個實際系統在運行過程中的穩定狀態，是該控制系統能否實現控制目標的重要因素.如果事前已經知道控制系統的穩定性態或者滿足穩定性態的一些條件，就可以提前采取措施，改善系統狀態的穩定性.“供給、需求、均衡、增長、發展”是經濟學最基本、最核心的研究課題.本文通過對史密斯經濟增長模型的穩定性分析，得到無論國民收入、利率、個人投資、收入、貨幣供需等的初始值為多少，只要它們的影響系數滿足一定的條件，它們最終都可以趨于平衡狀態.

4 數值例子

(1)Y0=Y1=26,R1=26;

(2)Y0=Y1=20,R1=20;

(3)Y0=Y1=16,R1=16;

代入模型中可得特征值：

λ1=0,λ2=0.5-0.670 8i,λ3=0.5+0.670 8i,

對應特征向量：

α1=(-0.75,0,1);

α2=(1,0.500 0+0.670 8i,1);

α3=(1,0.500 0-0.670 8i,1);

在此條件下，容易計算得平衡點為：

(Ye,Re,Ce,Ie)=(23.714 3,21.714 3,14.228 6,-6.514 3) ，

則

lisin0.930 9t)α2+(kicos0.930 9t-

當取三組不同初始值時:

(1)k1=l1=13;

(2)k2=l2=10;

(3)k3=l3=8.

代入系統，并用MATLAB軟件畫出國民收入Yt、利率Rt、個人消費Ct以及個人投資It和時間t的關系如圖1～4所示.

圖1 國民收入Yt和時間t的圖示

圖2 利率Rt和時間t的圖示

圖3 個人消費Ct和時間t的圖示

圖4 個人投資It和時間t的圖示

從圖1～4可以看到，即使初始值不同，但是隨著時間的推移，該模型在平衡狀態總是全局漸近穩定.在經過一段時間后，國民收入Yt、利率Rt、個人消費Ct和個人投資It分別穩定到平衡狀態Ye、Re、Ce和Ie.

在實際問題中，個人投資和利率均為正.而在圖1中對國民收入求均衡點時假設了條件Yt-1=Yt=Ye，則出現了個人投資與利率符號相反，即一正一負，然而實際經濟問題中，兩期國民收入之間會有一個差值，這樣就不會出現不符合實際意義的情況.所以，由于本文均衡條件的選取，導致利率均衡時投資出現負值，這個沒有關系.在實際問題計算中，兩期國民收入一般會有一個差值，這樣計算出利率和投資就可以均為正.因此，在實際計算中，可將兩期國民收入實際差值代入方程求解.

5 結論

本文主要對史密斯經濟增長與貨幣政策綜合模型進行了研究，分析了模型的穩定性并得到解的運動狀態，給出判斷系統穩定性的結論，豐富了文獻[4]的結論.不僅在理論上給出系統式(4)運動狀態性質的嚴密證明，而且用數值例子對經濟現象進行了解釋，數值例子也表明結論的正確性，通過MATLAB軟件，繪制其數值解的圖形，使得理論結果一目了然.

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【責任編輯：陳佳】

Thestabilityanalysisofsmith′seconomicgrowthandmonetarypolicy

LIN Xiao-lin， LI Xiao-min

(School of Arts and Sciences， Shaanxi University of Science & Technology, Xi′an 710021, China)

2017-05-08

陜西省科技廳重點實驗室科技計劃項目(2011HBSZS014)； 陜西科技大學學術團隊計劃項目(2013XSD39)

藺小林(1961-)，男，陜西洛川人，教授，博士，研究方向：離散動力系統穩定性理論及應用

2096-398X(2017)05-0194-06

O231.1

A