基于三體Lambert算法的平動點交會軌道設計

孫 俞，張 進，羅亞中

基于三體Lambert算法的平動點交會軌道設計

孫 俞1，2，張 進1?，羅亞中1

（1.國防科學技術大學航天科學與工程學院，長沙410073；2.中國西安衛星測控中心宇航動力學國家重點實驗室，西安710043）

針對未來建設地月系L2點空間站的需求，提出利用三體Lambert算法研究地月系L2點附近軌道的交會問題，包括設計同一Halo軌道上不同相位兩航天器之間的交會轉移軌道以及設計不同振幅Halo軌道之間的交會轉移軌道。針對現有三體Lambert算法求解長時間軌道轉移問題收斂性差的缺陷，提出利用遺傳算法求解初始參考軌道，進而通過同倫牛頓-拉夫遜迭代求解目標轉移軌道的方法。計算結果表明，該方法能夠有效解決長時間交會軌道轉移問題，可以為地月空間平動點區域空間站建設提供參考。

三體Lambert算法；軌道交會；地月空間站；Halo軌道；遺傳算法

Abstract：Three-body Lambert algorithm was applied to study the rendezvous problem around the Earth-Moon（EM）L2 libration point aiming at constructing a space station around the EM L2 libration point.The rendezvous transfer trajectory between two spacecraft of different phase on the same Halo orbit and the rendezvous transfer trajectory between two spacecraft on Halo orbits with different amplitudes were designed.Considering the poor convergence of the current three-body Lambert algorithm for solving the long time transfer problems，the transfer trajectory was solved using the approach that the initial reference trajectory was computed by genetic algorithm while the accurate solution was obtained by the homotopy iteration based on the Newton-Raphson algorithm.The results showed that this method could effectively solve the long time three-body rendezvous transfer problem，which could offer a valuable reference for the construction of space station around the cislunar libration point.

Key words：three-body Lambert algorithm； orbital rendezvous； Earth-Moon space station； Halo orbit；generic algorithm

1 引言

21世紀以來，世界航天技術快速發展，各航天大國相繼提出了圍繞月球、近地行星以及小行星的探測計劃。中國也通過“嫦娥”探月工程邁出了深空探測的第一步，并在近地交會對接技術與空間站建設方面初步取得了成功。平動點軌道設計問題在深空探測中具有重要應用價值。平動點不僅是對太陽活動進行科學探測的最佳位置，也是進行行星際探測的極佳樞紐［1］。地月L2平動點位于地月連線的外側，早在1966年，Farquhar就提出了利用L2點附近的Halo軌道解決地球與月球背面的通信問題［2］。利用地月L2點與日地L1、L2點能級相近的特性，只需很小的能耗就可實現從地月L2點向距地球150萬千米外的日地L1、L2點軌道區域轉移［3］。鑒于地月L2平動點的重要性，未來在其附近建立空間站，將具有為深空探測航天器提供燃料加注、故障檢修、導航通信等服務的能力。

Koon利用平面Lyapunov軌道的不變流形，設計了從近地圓軌道到月球的轉移軌道［4］。Parker利用Lissajous軌道和Halo軌道的不變流形，設計了從近地圓軌道到月球的三維轉移軌道［5］。針對基于流形設計節能轉移軌道問題，李明濤提出利用最小二乘策略改進傳統的微分修正法，在不降低系統自由度的前提下，得到了微分修正方程的解［6-7］；張景瑞等［8］采用遺傳算法與微分修正算法相結合的混合優化策略，設計了考慮多約束的燃料最優地月轉移軌道。

空間站的建設離不開平動點區域航天器交會對接技術的支撐［9］。平動點軌道交會對接是交會對接技術在三體平動點區域的應用，但與二體軌道相比，平動點軌道交會的難度與復雜性大為增加。三體Lambert問題不存在解析解，需要采用數值方法迭代求解。在三體Hill模型下，Sukhanov與Prado基于參考軌道，提出了同時修正初、末位置矢量的兩層迭代解法［10］，克服了初值選取問題，該方法雖然有較好的收斂性，但是由于三體Lambert問題存在多解，所以不一定能收斂到期望的軌道。平動點軌道的轉移，也包括它們之間的轉移，Hiday通過選取與兩個Halo軌道都連接的Lissajous軌道，設計了不同Halo軌道之間的轉移軌道，并提出了ERTBP模型下的最優交會主矢量理論，然后拓展了無時間約束的非最優主矢量理論，并用于優化Halo軌道間的轉移［11］。Davis通過拼接不同Halo軌道的不穩定流形和穩定流形，設計了Halo軌道之間的轉移軌道，并利用非最優主矢量理論進行優化［12］。已有研究主要集中在設計不同Halo軌道之間的轉移軌道，并且沒有考慮交會問題中非常重要的時間約束。

本文利用三體Lambert算法，研究同一Halo軌道上不同相位兩航天器交會對接所需速度增量與轉移時間的關系，以及不同幅值Halo軌道之間的交會問題。針對已有三體Lambert算法求解長時間轉移軌道收斂性差的問題，提出利用遺傳算法求解參考軌道的方法。

2 圓型限制性三體模型

2.1 動力學方程

本文選取的動力學模型為圓型限制性三體模型（CRTBP）。在CRTBP中，兩個主天體繞公共質心作圓周運動，而航天器的質量遠小于主天體的質量，其對主天體的影響可以忽略不計。本文研究的地月系模型中，主天體的位置分別位于地球質心和月球質心［13］。

在圓型限制性三體問題中，常用的坐標系是質心旋轉坐標系。原點O位于兩個主天體的質心，x軸由大天體指向小天體，z軸指向系統的角動量方向，y軸與x軸和z軸構成右手坐標系。為了使計算方便，對以下物理量做歸一化處理，包括地月距離、地月質量之和、萬有引力常數。地球質量為M1，月球質量為M2。質量常數μ定義為月球質量比地月質量之和，如式（1）：

歸一化條件下，月球和地球的質量分別為μ和1-μ。航天器在質心旋轉坐標系下的運動方程為式（2） ～ （3）［14］：

其中，R1、R2分別為航天器與地球、月球的距離，R1＝ [（x+μ）2+y2+z2]0.5，R2＝ ［（x-1+μ）2+y2+z2］0.5。

2.2 Halo軌道與狀態轉移矩陣

在平動點周圍存在很多周期軌道，最為常用的是Halo軌道。利用Richardson給出的Halo軌道三階近似解析解［15］，可以得到計算Halo軌道的初值，再通過微分修正方法對初值進行處理，可以得到精確解［16］。

狀態轉移矩陣可用于描述初始狀態的微小改變隨時間的變化。圓型限制性三體模型下，系統狀態轉移矩陣Φ（t，t0） 與 Jacobi矩陣A（t） 之間的關系為式（4）：

O3×3、I3×3分別為零矩陣和單位陣，ΩXX為有效勢能Ω對狀態變量的二階偏導數［14］。狀態轉移矩陣的初始狀態Φ（t0，t0）為單位陣，同時積分式（2）和式（4）可以得到狀態轉移矩陣Φ（t，

3 三體Lambert算法

3.1 基于牛頓-拉夫遜迭代的三體Lambert算法

為了計算目標軌道，首先需要找到一條參考軌道。假設參考軌道的初始狀態向量為式（5）：

轉移時間為Tref。以X0ref為初值，積分Tref得到參考軌道的末狀態向量如式（6）：

引入參考軌道偏差如式（7）：

其中：0＜ε≤1，r0和r1分別為目標轉移軌道的初始和終端位置。得到新的始末位置v′0，如圖1所示。如果ε的值足夠小，則有如式（8）所示近似方程：

其中，狀態轉移矩陣Φ＝ Φ（0，Tref）根據參考軌道計算得到。式（8）中各項滿足式（9）：

圖1 轉移軌道求解過程Fig.1 Computation process of the transfer trajectory

由式（8）可以得到如式（10）所示方程：

由式（10）可以得到速度的近似值如式（11）：

由式（11）得到的是近似值，將狀態積分時間得到終端位置為了得到的精確值，使用式（12）所示牛頓-拉夫遜法迭代求解：

得到精確的v′0后，可以計算中間過程的轉移軌道。再將得到的軌道作為參考軌道，重復以上過程，直到轉移軌道和目標軌道重合，即轉移軌道的初始和終端位置滿足式（13）所示約束條件

3.2 基于遺傳算法的三體Lambert算法改進

牛頓-拉夫遜迭代法對初始值要求較高，參考軌道與目標軌道之間差異較大時，以上經典三體Lambert算法難以收斂。

本文提出一種利用遺傳算法尋找參考軌道的方法，使其更接近目標軌道，然后再利用三體Lambert算法求解。參考軌道的起始位置為追蹤航天器的位置，只需求解該位置的速度增量Δv，使參考軌道的終端位置Pos′end與交會位置Posend的距離最小。同時，參考軌道的形狀應盡可能接近Halo軌道的形狀。將參考軌道上的位置等時間離散化Pos′i，計算各離散點與對應Halo軌道上位置Posi的距離，將這些距離的均值與終端位置的距離之和作為目標函數。因此，設計變量為式（14）：

目標函數為式（15）：

式中n為離散點的個數。利用遺傳算法求解，使J最小。把此時得到的參考軌道帶入基于牛頓-拉夫遜迭代的三體Lambert算法，即可求得目標轉移軌道。改進后的三體Lambert算法的求解流程如圖2所示。

圖2 改進后的三體Lambert算法的求解流程圖Fig.2 Flow chart of the improved three-body Lambert algorithm

4 同一Halo軌道不同相位航天器交會

設目標航天器運行在地月系L2點一條法向幅值為Az＝5×106m的北向Halo軌道上，追蹤航天器的位置為z向最小值點。當目標航天器與追蹤航天器的相位差分別為1°、3°、5°時，研究在不同轉移時間下的燃料消耗情況。由于相位差較小，以目標航天器的軌道為參考軌道，利用三體Lambert算法求解。表1給出了不同轉移時間下的速度增量。圖3給出了追蹤航天器與目標航天器相差為5°、轉移時間為7.348 2天的轉移軌道，圖4給出了圖3在xy平面的投影。由表1可以看出，在轉移時間相同的條件下，初始相位差越大，所需的速度增量越大。

表1 不同相位差下不同轉移時間對應的速度增量Table 1 Velocity increment of different transfer time corresponding to different phase angle

圖3 追蹤航天器轉移軌道Fig.3 Transfer trajectory of the chasing spacecraft

圖4 追蹤航天器轉移軌道（xy平面投影）Fig.4 Transfer trajectory of the chasing spacecraft（xyplane projection）

5 不同Halo軌道航天器交會

為了測試算法的有效性，下面研究不同Halo軌道之間轉移的情況。設目標航天器運行在法向幅值為Az＝5×106m的北向Halo軌道上，追蹤航天器分別從三條不同幅值的Halo軌道向目標Halo軌道轉移。追蹤航天器的起始位置都位于Halo軌道z向最大值點，目標航天器與追蹤航天器的相位差為10°，在轉移時間相同的條件下（4.322天），分別計算其所需的速度增量。參考軌道的起點為追蹤航天器所在Halo軌道上相位超前追蹤航天器10°的位置，參考軌道的終點由該Halo軌道上起點預報轉移時間得到。表2給出了從不同軌道出發所需的速度增量。圖5給出了由法向幅值為Az＝1.1×107m的軌道到目標軌道的轉移軌道，圖6給出了該軌道在xy平面的投影。

表2 從不同幅值Halo軌道出發所需的速度增量Table 2 The required velocity increment from Halo orbits with different amplitudes

從表2可以看出，在相位差和轉移時間相同的條件下，初始Halo軌道與目標Halo軌道的法向幅值相差越大，所需的速度增量越大。

圖5 不同Halo軌道間轉移軌道Fig.5 Transfer trajectory of different Halo orbits

圖6 不同Halo軌道間轉移軌道 （xy平面）Fig.6 Transfer trajectory of different Halo orbits（xyplane）

6 長時間轉移軌道求解

經典三體Lambert算法嚴重依賴參考軌道的性態，在求解式（12）時，需要計算參考軌道狀態轉移矩陣的逆陣，如果該矩陣出現嚴重的病態，則會出現迭代發散的情況。例如，計算同一Halo軌道上兩航天器交會所需的速度增量，目標航天器運行在地月系L2點一條法向幅值為Az＝5×106m的北向Halo軌道上，追蹤航天器的位置為z向最小值點。當追蹤航天器與目標航天器相差為5°，轉移時間為9.5095天時，直接使用三體Lambert算法求解，會出現迭代發散再收斂的情況，但是已嚴重偏離了參考軌道。表3給出了分別使用經典三體Lambert算法和改進后的三體Lambert算法計算得到的速度增量。使用改進后的三體Lambert算法計算得到的速度增量大大減少。圖7給出了轉移時間為9.5095天時使用經典三體Lambert算法求得的轉移軌道。圖8給出了使用改進后的三體Lambert算法求得的轉移軌道。

表3 分別使用兩種方法得到的速度增量Table 3 Velocity increment computed by two different methods

圖7 基于牛頓-拉夫遜迭代的三體Lambert算法求解的轉移軌道（xy平面）Fig.7 Transfer trajectory computed by Newton-Raphson iteration three-body Lambert algorithm （xyplane）

圖8 改進方法得到的轉移軌道（xy平面）Fig.8 Transfer trajectory computed by the improved method （xyplane）

7 結論

本文利用三體Lambert算法研究了地月系L2平動點軌道交會問題，分析了同振幅不同相位交會與不同振幅交會等情況。分析結果表明，在轉移時間相同的情況下，同振幅交會的初始相位差越大，所需的速度增量越大。在滿足安全性的條件下，追蹤航天器和目標航天器的相位差應盡可能小。對于不同Halo軌道之間轉移的情況，在航天器相位差和轉移時間相同的條件下，追蹤和目標軌道的法向幅值相差越大，所需速度增量越大。因此，追蹤航天器應選擇與目標航天器所在Halo軌道幅值相差較小的軌道作為停泊軌道。針對三體Lambert算法存在的問題，提出了利用遺傳算法求解參考軌道的方法，計算結果表明，該方法能夠有效解決長時間轉移三體Lambert算法收斂性差的問題。

本文提出的方法及分析的特性同樣適用于其他平動點軌道，可為未來平動點空間站的建設提供參考。

（References）

［1］ Martin L，Shane R.The lunar L1 gateway：portal to the stars and beyond［C］ ／／AIAA Space 2001 Conference and Expostion， Albuquerque， NM Aug.28-30， 2001.

［2］ Farquhar R W.Station-keeping in the vicinity of collinear libration points with an application to a lunar communications problem［C］／／AAS Space Flight Mechanics Specialist Conference， Colorado， 519-535， 1966.

［3］ Canalias E，Masodemont J J.Computing natural transfers between Sun-Earth and Earth-Moon lissajous libration point orbits［J］.Acta Astronautica， 2008， 63： 238-248.

［4］ Koon W S，Lo M W，Marsden J E，Ross S D.Low energy transfer to the moon［J］.Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy，2001，81：63-73.

［5］ 王永志.實施我國載人空間站工程、推動載人航天事業科學發展［J］. 載人航天，2011，17（39）：1-4.Wang Yongzhi.Launching manned space station project and promoting the development of China’s manned space engineering［J］.Manned Spaceflight， 2011， 17（39）： 1-4.（in Chinese）

［6］ 李明濤，鄭建華，于錫崢，等.日地平動點衛星兩脈沖轉移軌道設計［J］.北京航空航天大學學報，2009，35（7）：865-868.Li Mingtao， Zheng Jianhua， Yu Xizheng， et al.Two impulses transfer trajectory design forsun-earth libration point missions［J］.Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics， 2009， 35（7）： 865-868.（in Chinese）

［7］ 李明濤，鄭建華，于錫崢，等.約束條件下的Halo軌道轉移軌道設計［J］. 宇航學報，2009，30（2）：437-441.Li Mingtao， Zheng Jianhua， Yu Xizheng， et al.Transfer trajectory design for halo orbit with multiple constraints［J］.Journal of Astronautics， 2009， 30（2）： 437-441.（in Chinese）

［8］ 張景瑞，曾豪，李明濤.不同月球借力約束下的地月Halo軌道轉移軌道設計［J］.宇航學報，2016，37（2）：159-168.Zhang Jingrui， Zeng Hao， Li Mingtao.A design method for earth-moon halo orbit transfer trajectory under different constraints to moon gravity-assisted maneuvers［J］.Journal of Astronautics， 2016， 37（2）： 159-168.（in Chinese）

［9］ 周建平.天宮一號／神舟八號交會對接任務總體評述［J］. 載人航天，2012，18（1）：1-5.Zhou Jianping.A review of tiangong-1／shenzhou-8 rendezvous and docking mission［J］.Manned Spaceflight， 2012， 18（1）： 1-5.（in Chinese）

［10］ Sukhanov A， Prado A.Lambert problem solution in the hill model of motion［J］.Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy，2004，90：331-354.

［11］ Hiday J L A， Howell K C.Impulsive time-free transfers between halo orbits［J］.Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy，1996，64：281-303.

［12］ Davis K E， Anderson R L， Scheeres D J， et al.Locally optimal transfers between libration point orbits using invariant manifolds［C］ ／／AIAA／AAS Astrodynamics Specialist Conference， Boston， USA，1998.

［13］ 劉林，侯錫云.深空探測器軌道力學［M］.電子工業出版社，2012：53-54.Liu Lin，Hou Xiyun.Orbital mechanics of deep space probe［M］.Publishing House of Electronics Industry， 2012： 53-54.（in Chinese）

［14］ 張躍東，孟云鶴，桂忱，等.Halo軌道編隊構型重構最優控制研究［J］.國防科技大學學報，2011，33（4）：24-29.Zhang Yuedong， Meng Yunhe， Gui Chen， et al.Study on optimal control for Halo orbits formation reconfiguration［J］.Journal of National University of Defense Technology， 2011，33（4）： 24-29.（in Chinese）

［15］ Richardson D L.Analytic construction of periodic orbits about the collinear points［J］.Celestial Mechanics， 1980， 22（3）：241-253.

［16］ Howell K C.Three-dimensional periodic Halo orbits［J］.Celestial Mechanics， 1984， 32（1）： 53-71.

（責任編輯：龍晉偉）

Rendezvous Trajectory Design of Libration Points Based on Three-body Lambert Algorithm

SUN Yu1，2， ZHANG Jin1?， LUO Yazhong1
（1.College of Aerospace Science and Engineering，National University of Defense Technology，Changsha 410073， China；2.The State Key Laboratory of Astronautic Dynamics， China Xi’an Satellite Control Center， Xi’an 710043， China）

V412.4

A

1674-5825（2017）05-0608-06

2016-08-15；

2017-07-27

國家自然科學基金（11402295）；國防科學技術大學科研計劃項目（JC14-01-05）

孫俞，男，碩士研究生，研究方向為航天器軌道動力學。E-mail：2010027109sunyu＠ sina.com

?通訊作者：張進，男，博士，講師，研究方向為航天飛行任務規劃。E-mail：zhangjin＠nudt.edu.cn