研究高中數學解題中整體思想的應用

孫智斌

(山東省臨沂第一中學,山東 臨沂 276000)

研究高中數學解題中整體思想的應用

孫智斌

(山東省臨沂第一中學,山東 臨沂 276000)

數學科目是高中階段的重要學科之一，并且高中數學知識相對復雜、難懂.所以為了能夠提高數學題解題的速度與效率，本文將針對高中數學解題中整體思想的應用進行分析.

高中數學；三角形；函數；整體思想

在解答高中數學題的過程中，積極地運用整體思想，有助于提高解題的速度與準確性，改善學生自身的數學解題能力.

一、高中數學三角函數解題中整體思想的應用

三角函數是高中數學知識的重點難點，很多同學在學習該部分知識的時候都會被復雜的問題所難到.不過，只要掌握了三角函數的知識要點，在解題中充分地運用整體思想，所有的難題都會被迎刃而解.

例題1 求函數f(x)=sinxcosx/(1+sinx+cosx)的值域.

分析在該題的解答中，面對如此復雜的三角函數，我們首先應該想到的就是利用整體思想進行換元，重新構建簡單的新函數，進行問題的處理.

又因為sinx+cosx=t,所以sinxcosx=(t2-1)/2 ②.

將①②式代入到f(x)=sinxcosx/(1+sinx+cosx)中進行整體換元可得：

f(x)=[(t2-1)/2]/(1+t)=(t-1)/2.

分析在該題的解答中，依舊要從整體的思想去考慮，根據該題的形式，我首先想到了奇函數與函數的對稱性性質.另外，由于該題屬于分式類函數，所以在解答的過程中可以對最大值與最小值進行整體處理，從而提高解題效率與準確性.

根據函數的性質可知，g(x)=f(x)-1=(x+sinx)/(2x2+cosx)是奇函數.

所以g(x)min+g(x)max=0.

然后將g(x)=f(x)-1代入g(x)min+g(x)max=0中，就可得到g(x)min+g(x)max=(m-1)+(M-1).

由此可知(m-1)+(M-1)=0,等價于m+M=2

二、高中數學函數解題中整體思想的應用

例題3 在x<0時，f(x)=x+1/x2-x-1/x的最小值為多少？

分析該題在解答中可以采用整體處理方法，將“x+1/x”作為整體，進行整體換元.

解令t=x+1/x，因為x<0，所以t≤-2.

所以f(x)=(x+1/x)2-(x+1/x)-2=t2-t-2=(t-1/2)2-9/4.

因為t≤-2，所以當t=-2的時候，函數f(x)存在最小值，且f(x)min=4.

三、高中數學幾何問題中整體思想的應用

幾何數學知識是高考必考重點知識，因此在數學知識的學習中必須重視幾何問題的解答.由于當前數學習題多數都是由各種知識組合而成，因此要想提高幾何問題的解題準確性，就必須大膽地運用整體思想.

例題4 現再已知有一個點P(x0,y0)和一條直線Ax+By+C=0，問點到直線的距離是多少？

解首先，設直線l的方程為B(x-x0)-A(y-y0)=0 ①.

再把直線l的方程改寫為A(x-x0)+B(y-y0)=-(Ax0+By0+C) ②.

對①②式進行整理，然后代入點到直線的公式可得

例題5 已知實數x、y滿足方程x2+y2=6x-4y-9，問2x-3y的最大值和最小值的和應該是多少？

分析通過分析辨別這個方程我們可以發現，該方程屬于圓的方程，在解題的過程中十分適用與整體換元法進行解題，所以可以設2x-3y=k，那么就存在2x-3y-k=0這個等式.此時可以把該等式看做是一條直線方程，那么k的最值就應該在直線與圓相切的時候才能得到.

解x2+y2=6x-4y-9整理可得(x-3)2+(y+2)2=4 ①.

然后假設2x-3y=k②.

等價于k2-24k+92=0 ③.

此時2x-3y的最值分別是方程③式中的兩個根.

然后根據韋達定理可以得:k1+k2=24.

所以2x-3y的最值之和就是24.

綜上所述，在高中數學題解答的過程中積極地運用整體思想，不僅可以降低解題的難度，還有助于提高解題的速度與準確性，因此十分具有使用價值.

[1]高梓銘.試論如何提高數學解題速度[J].科學咨詢(教育科研)，2017(01).

[2]袁雙華.淺論如何培養學生數學解題的創新思維[J].科技創新導報，2016(35).

[3]石有菊.提高中職學生數學解題能力的策略[J].科學咨詢(科技·管理)，2013(02).

G632

A

1008-0333(2017)22-0013-02

2017-06-01

孫智斌(2000.2- )，男，漢族，山東省臨沂人，高中在讀.

責任編輯：楊惠民]