利用主元法處理函數中的不等關系的有效途徑

蔡自力

(廣東省韶關市廣東北江中學，廣東 韶關 512026)

利用主元法處理函數中的不等關系的有效途徑

蔡自力

(廣東省韶關市廣東北江中學，廣東 韶關 512026)

構造函數借助導數研究函數的的性質，進而解證不等式是近幾年全國高考壓軸題的熱點與難點.這類問題往往涉及到多個變量和參數，我們可以嘗試選擇其中一個字母作為研究的主要對象看作是主元，而將其余各字母視作參數或常量，然后構造函數，借助導數可以找到解題的思路．本文擬從幾個教學實例出發，探討如何利用主元法處理函數中的不等關系的有效途徑.

主元法 ；不等關系；途徑

構造函數，借助導數研究函數的性質，進而解證不等式是近幾年全國高考壓軸題的熱點與難點.這類問題往往涉及到多個變量和參數，如何構造易于求導和求最值的函數是決定成敗的關鍵.

事實上，這類問題可選擇其中一個字母作為研究的主要對象看作是主元，而將其余各字母視作參數或常量，然后構造函數，借助導數可以找到解題的思路．本文擬從幾個教學實例出發，探討如何利用主元法處理函數中的不等關系的有效途徑.

一、用變量為主元，替換參數，構造輔助函數

處理含參數的函數不等式相關問題，通過審題，可嘗試找到參數與變量之間的關系式，實施換元，通過構造新函數使問題獲解.

例1 (2009全國卷Ⅱ理第22題)設函數f(x)=x2+aln(1+x)有兩個極值點x1、x2，且x1

(Ⅰ)求a的取值范圍，并討論f(x)的單調性；

分析在第(Ⅱ)問中，直接計算f(x2)是很難證出結果的，若能想到用x2表示a實施換元，則問題可迎刃而解.

⑴當x∈(-1,x1)時，f′(x)>0,∴f(x)在(-1,x1)內為增函數；

⑵當x∈(x1,x2)時，f′(x)<0,∴f(x)在(x1,x2)內為減函數；

⑶當x∈(x2,+)時，f′(x)>0,∴f(x)在(x2,+)內為增函數.

則h′(x)=2x-2(2x+1)ln(1+x)-2x=-2(2x+1)ln(1+x).

⑵當x∈(0,+)時，h′(x)<0，∴h(x)在(0,+)單調遞減.

二、多變量問題，可將一個變量視為主元，構造輔助函數

例2 函數f(x)=aln(x2+1)+bx,g(x)=bx2+2ax+b,(a>0,b>0).已知方程g(x)=0有兩個不同的非零實根x1,x2.

(1)求證：x1+x2<-2;

(2)若實數λ滿足等式f(x1)+f(x2)+3a-λb=0，求λ的取值范圍.

分析(1)用判別式和韋達定理易解

(2)由第(1)問知，x1+x2,x1x2均可用a,b來表示，故可考慮用a,b為主元.

解(1)由g(x)=bx2+2ax+b=0方程有兩個不同的非零實根，

(2)由(1)知x1x2=1.

因此λ>2ln2+1.

例3 (湖南省2017屆十三校聯考第一次考試理科數學試卷第22題第(3)問)

已知函數f(x)=x2-2x+alnx(a>0).若函數f(x)有兩個極值點x1、x2(x1

令f′(x)=0?2x2-2x+a=0.又∵函數f(x)有兩個極值點x1、x2(x1

∴2x2-2x+a=0有兩個不等實數根x1、x2(x1

例4 (四川省資陽市2017年高考模擬考試數學理第22題第2問)

已知函數f(x)=ln(x+1)+ax，對任意x2≥e,x1>0，存在x∈(-1,+)，使>成立，求實數a的取值范圍.

設p(x)=-f(x)-a，即p(x)=-ln(x+1)-ax-a，

當a≥0時，p(x)為(0，+)上的減函數，且其值域為R，可知符合題意．

三、當參數與變量均給出取值范圍時，可考慮將參數視為主元，嘗試變更主元法

(Ⅰ)討論函數y=f(x)的單調性；

分析第(Ⅱ)問含有a,λ,x1,x2四個字母，據題意需要建立關于λ的函數，因含有絕對值，故先去絕對值符號，又實數a有范圍，不妨嘗試將a設為主元，再設法將λ與x進行變量分離.

解(Ⅰ)過程略，結論為

當a=0時，函數f(x)在區間(0，+)上單調遞增；

當a>0時，函數f(x)在區間(0，1)和(2a+1，+)上分別單調遞增，在(1，2a+1)上單調遞減．

則g(x)在[1，2]上單調遞增，

化簡得x2-(2a+2)x2+(2a+1)x+λ≥0，

所以只需(2x-2x2)2+x3-2x2+x+λ≥0，

即x3-6x2+5x+λ≥0對任意的x∈[1，2]恒成立．令h(x)=x3-6x2+5x+λ，x∈[1，2]，

顯然，h′(x)=3x2-12x+5<0在[1，2]上恒成立，

所以，函數h(x)在[1，2]上為減函數，

所以，只需h(x)min=8-24+10+λ≥0，得λ≥6.

所以λ的取值范圍是[6，+)．

眾所周知，在處理函數不等式時，經常會受到多變量的困擾，只要我們認真審題，選準其中某個變元為主元，逐步消元，多次構造函數層層推進，就可以達到排除字母間的干擾，簡化問題結構最終使問題獲解的目的.

[1]張奠宙,過伯祥.數學方法論稿[M].上海:上海教育出版社,1996.

[2]陶華君.構造函數在解題中的應用[J].高中數學教與學，2011.

[3]劉良華.數學構造思想方法的探索與實踐[D].華中師范大學,2004.

G632

A

1008-0333(2017)22-0015-03

2017-06-01

蔡自力(1962.9-)，男，漢族，湖南省懷化人，中學數學高級教師，本科學士，特級教師，主要研究高中數學教育教學.

責任編輯：楊惠民]