基于最小絕對收縮與選擇算子模型稀疏恢復的多目標檢測

洪劉根，鄭 霖，楊 超

(1.桂林電子科技大學 廣西無線寬帶通信與信號處理重點實驗室，廣西 桂林 541004；2.桂林電子科技大學 信息與通信學院，廣西 桂林 541004)

(*通信作者電子郵箱gwzheng@gmail.com)

基于最小絕對收縮與選擇算子模型稀疏恢復的多目標檢測

洪劉根1,2，鄭 霖1,2*，楊 超1,2

(1.桂林電子科技大學 廣西無線寬帶通信與信號處理重點實驗室，廣西 桂林 541004；2.桂林電子科技大學 信息與通信學院，廣西 桂林 541004)

(*通信作者電子郵箱gwzheng@gmail.com)

針對地面多徑環境下運動目標檢測，使用最小絕對收縮與選擇算子(LASSO)算法在參數估計時會出現偽目標的問題，提出一種基于LASSO模型框架的設計矩陣降維構造方法。首先，信號的多徑傳播能夠帶來目標檢測的空間分集，信號在不同的多徑上有不同的多普勒頻移；此外，使用寬帶正交頻分復用(OFDM)信號能夠帶來頻率分集。由于空間分集和頻率分集的引入造成目標的稀疏特性。利用多徑的稀疏性和對環境的先驗知識，去估計稀疏向量。仿真結果表明，在一定信噪比(SNR，-5 dB)下，基于設計矩陣降維構造方法的改進的LASSO算法比基追蹤算法(BP)、DS(Dantzig Selector)、LASSO等傳統算法的檢測性能有明顯提高；在一定虛警率(0.1)條件下，改進的LASSO算法比原LASSO算法檢測概率提高了30%。所提算法能夠有效去除偽目標，提高雷達目標檢測概率。

多徑效應；稀疏向量恢復；多目標檢測；最小絕對收縮與選擇算子；正交頻分復用信號雷達

0 引言

地面動目標檢測技術在國防和民用中變得越來越重要。地面場景中存在大量的反射、折射、散射，所以地面場景應看作是一個多徑傳播環境，且在大部分情況下，視線傳播距離是未知的。傳統的在開放環境中工作的雷達系統，在這樣的場景中會無法使用，因此，需要想辦法去利用多徑反射的多路徑特性，來提高目標檢測性能。通過利用每個多徑分量上多普勒頻移不同這個特性，能夠有效地提高在上述場景中對低速運動目標檢測的能力。此外，多徑傳播能夠從不同的入射角照射目標，這樣就提高了目標檢測的空間分集能力[1-2]。

正交頻分復用 (Orthogonal Frequency Division Multiplexing, OFDM)信號具有圖釘狀的模糊函數，這也就意味著OFDM雷達具有距離高分辨率和多普勒高分辨率，且不存在距離多普勒耦合。除此之外還具有頻譜利用率高、自相關函數的旁瓣低、抑制多徑和雜波能力強等優點，所以選取OFDM信號作為發射信號。盡管在通信領域OFDM信號已經被廣泛研究并且實現了商業化應用[3]，但是在雷達領域OFDM雷達還有很大的研究空間[4-5]。

本文從另外一個角度去考慮多徑場景下的目標檢測問題，只考慮一階鏡面反射(或單次反彈)來建立OFDM多徑信號回波模型；然后，把模型轉變為稀疏模型表達式。考慮在特定區域內，運動點目標所有可能存在的速度，以及目標直射或者反射回波照射到雷達的所有可能存在的角度，那么此時目標的散射系數構成的矩陣就是一個符合要求的稀疏向量，其中非零元素處就代表著在這一特定的角度以及速度上存在著運動目標[6-8]。這樣，就把目標檢測問題轉化為稀疏信號頻譜估計問題了。Sen等[9]提出了基于稀疏向量估計的DS(Dantzig Selector)算法用于目標檢測，并對該方法進行了性能分析；但是該稀疏恢復算法在多載波參數估計時會出現偽目標，導致了在虛警率一定(0.1)的條件下，檢測性能較差。

為了提高目標的檢測性能，本文采用最小絕對收縮與選擇算子(Least Absolute Shrinkage and Selection Operator, LASSO)模型框架，通過降維的方式去構造設計矩陣的稀疏向量估計算法。按標準經典線性回歸模型Y=Xβ+ε，式中：Y是一個n×1維的響應矢量，X是一個n×p維的設計矩陣，β是一個p維的未知回歸系數矢量，ε是一個n維的誤差矢量。LASSO表達式如下：

(1)

式中：‖·‖2表示L2范數，‖·‖1表示L1范數，λ是一個大于零的調節參數。LASSO函數第一部分表示模型擬合的優良性，第二部分可以視為懲罰項。該方法的基本思想：把小的系數往0壓縮，一旦某個系數被壓縮到0，對應的變量就被刪除。就好像用“篩子”過濾，把影響小的變量一次就篩掉了。

最小角回歸算法(Least Angle Regression， LARS)[10]是求解LASSO模型的最常用的算法，本文就是使用這個算法進行仿真求解的。LARS與經典的逐步向前變量選擇算法有著密切的聯系。向前法的思想是變量由少到多，每次增加一個，直至沒有變量可以引入為止。但此方法有一個明顯缺點，由于各自變量之間可能存在著相關關系，因此后續變量的選入可能會使前面已選入的自變量變得不重要，而向前法又不考慮從已選變量中剔除不重要的變量，這樣最后得到的“最優”子集可能包含一些對因變量影響不大的自變量。逐段向前法[11]比逐步向前法更加謹慎，該算法每次都要在所選變量的對應系數上增加或減小一個微量，其他系數保持不變。不斷重復上述過程，直到所有殘差都為零或者系數等于零。因此這種算法可能需要上千步才能得出最終的模型。LARS算法結合了這兩種算法的長處，可以用來計算LASSO估計，并且計算量不大。

LARS方法的步驟如下：與向前法類似，先設所有協變量的系數為零，從中選擇一個與響應變量相關性最大的，以z1為例，然后沿著z1的方向取最大的步長，直到另一個變量(例如z2)與當前的殘差有同樣多的相關性。接下來，LARS方法不是沿著z1的方向，而是沿著這兩個向量的等角線向前運動，直到第三個變量與當前的殘差有同樣多的相關性，然后，沿著與三個向量等角的方向繼續下去，即“最小角方向”，直到第四個變量進入“最相關集合”，依此類推。等角性使得該方法相對于逐段向前法在計算迭代的步長時變得容易[10]。

1 問題描述與建模

地面多徑環境下，運動目標存在豐富的多徑反射，如圖1所示。假設，雷達工作頻率為2.4 GHz，遠場的點目標以一個恒定的相對速度v運動，建筑物的墻壁對雷達信號只產生鏡面反射。在該場景下，首先介紹OFDM雷達體制下參數化的測量模型，然后介紹雜波和噪聲的統計模型。

圖1 多徑場景示意圖Fig. 1 Schematic diagram of multipath scene

1.1 OFDM測量模型

考慮一個單基地雷達，發射具有L個子載波的OFDM信號，信號載頻為fC，各子載波的載頻為fl(l=0, 1, …,L-1)；fl=fC+lΔf，Δf=B/(L+1)=1/T為信號的載頻間隔，B為發射信號總的帶寬(單位為Hz)，T為脈沖持續時間(單位為s)。那么，雷達的發射信號復包絡可表示如下：

(2)

考慮OFDM信號是一個多載波信號且每個載波的地位是等價的，那么取任一子載波，可得表達式如下：

sl(t)=ej2πflt

(3)

在一個特定觀測范圍內(時延為τ)，第l個子載波在第p條多徑上面的回波表達式如下：

yl(t)=xlpsl[(1+βp)(t-τ)]+el(t)

(4)

其中：xlp表示第l個子載波在第p條路徑上的復散射系數；βp=2[v,up]/c表示第p條路徑上的多普勒相關系數，up表示第p條路徑上速度的方向矢量；el(t)表示加性高斯白噪聲。

所以，可得第l個子載波回波表達式如下：

yl(t)=xlpe-j2πfl(1+βp)τej2πfl βpt+el(t)

(5)

在特定的觀測區域內，對時間域進行離散化處理，令t=τ+nTp，其中n=0,1,…,N-1，Tp是脈沖重復間隔(Pulse Repetition Interval，PRI)，N是一個給定的相干處理間隔內的測量數目。

所以，在包含運動目標的特定觀測區域內，第l個子載波的回波表達式又可以表示如下：

yl(n)=xlpφl(n,p,v)+el(n)

(6)

其中，φl(n,p,v)e-j2πflτej2πfl βpnTp。

1.2 稀疏建模

在包含運動目標的特定觀測區域內，首先把所有可能存在的回波路徑按照入射角度的不同分為P種，把所有可能存在的速度分為V種。通常來說，P和V的取值范圍會非常大，但是在實際場景中，可以通過對環境的了解，將運動目標約束在一個較小的區域內；同時，由于場景的限制，那么場景中運動目標的速度也就被限定在一個較小的可變動范圍內了，這樣P和V的取值范圍就會縮小(比如城市道路狀況下汽車的運動速度范圍為50～80 km/h)。

然后，將所有可能的組合表示為(θi,vj) (i=1,2,…,P,j=1,2,…,V)，并將式(6)重新表示為：

yl(n)=φl(n)Txl+el(n)

(7)

其中：φl(n)=[φl(n,θ1,v1),…,φl(n,θ1,vV),…,φl(n,θP,vV)]T；xl是一個PV×1的稀疏向量，其中有kl個非零項，這些非零項就代表著真實存在的反射路徑上的散射系數。

將收發信號的所有子載波寫成一個L×1的列向量，可以得到：

y(n)=Φ(n)x+e(n)

(8)

在一個相干處理間隔(Coherent Processing Interval, CPI)內，將所有的測量數據寫成一個LN×1的矢量形式，得到的OFDM雷達測量模型如下：

y=Φx+e

(9)

其中:y=[y(0)T,y(1)T,…,y(N-1)T]T；Φ=[Φ(0)T,Φ(1)T,…,Φ(N-1)T]T是一個包含了回波信號所有可能存在的入射角度以及所有可能存在的速度，組成的一個LN×LPV的矩陣；e=[e(0)T,e(1)T,…,e(N-1)T]T是一個由噪聲和干擾構成的LN×1的矢量。

1.3 統計假設模型

雜波由目標周圍環境的反射回波或隨機的微弱多徑反射回波(這些回波來自城市中樓宇的窗戶或者陽臺)組成。因此，在OFDM雷達中，假設雜波和噪聲是時間白噪聲，并且服從零均值復高斯過程，但協方差Σ未知，即e(n)～N(0,Σ)，其中n=0,1,2,…,N-1，N(·)表示復合正態分布。因此OFDM測量模型的測量值y服從正態分布，其均值為Φx，協方差為IN?Σ，表示如下：

y～NL,N(Φx,IN?Σ)

(10)

其中:IN是N×N的單位矩陣， “?”代表克羅內克積。

2 稀疏恢復與性能分析

下面首先使用原LASSO稀疏恢復算法來求解上一章中提出的測量模型[9]，然后針對原LASSO算法的不足提出相應的改進方法，并比較兩者的性能。

2.1 稀疏恢復

由式(9)可知，稀疏向量為x，且x中含有很少的非零元素。稀疏向量x的稀疏度k定義為稀疏向量x中的非零元素的個數，表達式為k=‖x‖0。

實際上矢量x中非零元素的位置與真實目標的參數在搜索區間中的位置是相互對應的，且成稀疏分布。

稀疏向量恢復算法的目的就是利用向量x的稀疏性，從含有噪聲的回波信號y中恢復出x。寫成表達式即為：

如直接求解上式則為NP-hard問題，一類近似求解方法是對上式進行凸松弛，轉化為凸優化問題。

在統計學中，有很多稀疏向量恢復算法，能夠利用向量x的稀疏性從含有噪聲的回波信號y中恢復出x。下面的式(11)～(13)分別是基于L1范數的稀疏向量恢復算法：基追蹤算法(Basis Pursuit，BP)、DS和LASSO[13]的表達式。

(11)

s.t. ‖y-Φx‖◇≤ε′

(12)

s.t. ‖ΦT(y-Φx)‖∞≤λ

(13)

其中:λ表示正則化參數，ε′表示噪聲的大小。這三種稀疏恢復算法都有其對應的實現算法。但是由于LASSO算法的LARS求解過程簡單，更易于工程實現，所以本文中主要使用LASSO模型。

LASSO解的稀疏性由調整參數λ來量化：λ越大懲罰越大，更多的變量被懲罰為0，但可能導致模型包含變量過少而遺漏重要變量，且產生更大的偏差；λ越小懲罰越小，模型包含變量越多，可能導致最終模型過度擬合而可解釋性差。所以合適的調整參數可以獲得合適的稀疏性。調整參數的估計方法主要有：交叉驗證法(Cross Validation, CV)，廣義交叉驗證法(Generalized Cross-Validation, GCV)和無偏風險估計分析(Unbiased Risk Estimation, URE)。前兩種方法適用于觀察變量(x,y)分布未知的資料，第三種方法適用于觀察變量(x,y)分布確定的資料，但在實際應用中并沒有明顯差別，可選擇最簡便的方法進行估計[12]。

2.2 改進的稀疏恢復

(14)

從前文可知，矩陣Φ的大小為LN×LPV。該矩陣的構造思路如下：第1到L行是一個塊對角矩陣，第一行的前PV個元素非0，第二行的PV+1至2PV共PV個元素非0，以此類推，第L行的最后PV個元素非0，所以列數為LPV;第1到L行表示的是時刻1的回波信號矩陣形式，那么第L+1到2L行表示的是時刻2的回波信號矩陣形式，以此類推，因為共N個時刻，所以共LN行。

從式(14)可知，φl(n)中與待檢測目標有密切關聯的一項是vjcos(θi)，其中(θi,vj)是所有可能的組合(θi,vj)(i=1,2,…,P,j=1,2,…,V)中的一個，因為P和V都是盡可能地遍歷所有可能的角度和速度，所以必然會出現vj1cos(θi1)=vj2cos(θi2)的情況。如果出現了上述的情況，也就是在利用稀疏恢復時，設計矩陣Φ中出現了完全相同即相關度為1的兩列，這時就會對運動目標產生誤判。舉例說明：假設實際環境中存在1個目標，v=10，且存在2條多徑回波，多徑角度分別為θ1=0°，θ2=20°，此時通過構造設計矩陣Φ，因為設計矩陣Φ是比較完備的角度與速度的集合，所以其中必然會存在這樣一個角度與速度的組合：v′=20，θ′=60°，那么此時對于目標的判斷就會出現錯誤，這個錯誤就是由于vcos(θ1)=v′ cos(θ′)導致的。

針對上述存在的問題，提出基于LASSO的降維處理方法，處理步驟如下(假設真實的目標有M個)：

步驟1 遍歷角度和速度，總共PV個組合構建矩陣Φ。

步驟5 取Δy的均值和方差都最小的速度組合，即可有效去除由于求解過程所產生的虛假目標。

3 仿真結果和性能分析

為了證明多徑環境下本文所采用的降維處理方法能夠提升目標檢測性能，下面通過一些仿真實驗，將其與傳統的稀疏恢復方法進行對比。

在目標檢測場景下，兩個遠場的點目標以不同的但恒定的相對速度運動，具體的實驗參數如表1所示。

表1 OFDM雷達的仿真參數設置Tab. 1 Simulation parameter settings of OFDM radar

為了檢驗上述稀疏方法的可行性，下面通過一個數值仿真進行驗證，兩個目標的多徑回波信號相對于雷達的角度分別為0°、20°；10°、40°。

本文檢測目標是城市環境中的運動目標，城市道路狀況下正常行駛的汽車運動速度大概為：50～80 km/h，即13.8～22 m/s。在進行動目標檢測時，會對目標的運動速度有一個粗略的認知，所以在進行速度選取時，就可以在認知到的這個速度周圍進行選擇。下文中的設計矩陣的構建是在5～30 m/s等間隔選取了6個速度值，在0°～60°等間隔選取了7個角度值，目的是為了使構造出的速度角度組合中存在vj1cos(θi1)=vj2cos(θi2)的情況，只有出現了上述情況，那么在利用稀疏恢復時，設計矩陣Φ中才會出現完全相同即相關度為1的兩列，這時就會對運動目標產生誤判，需要使用基于設計矩陣降維的LASSO算法進行偽目標去除。本文所有仿真結果都是在多次重復實驗的基礎上得到的。

取P=7和V=6構建矩陣Φ，目標速度取{5，10, 15, 20, 25, 30}m/s，運動目標照射到雷達的角度為{0°，10°,20°,30°, 40°, 50°, 60°}。從第2章的描述可知，散射系數x的稀疏度對?l有kl=4,所以k=12。

接收機工作特性可以通過如下方法計算得到，在本文的仿真中，所有子載波上遍歷點數為LPV=126，其中包含真實目標散射系數的點個數為k=12，剩余(LPV-k)=114個點不含有目標散射系數即零值點。在通過計算機仿真實驗后，將散射系數不為零的點的個數記為nT，將k和nT中重復的點的個數記為nD，定義虛假目標個數為nFA=(nT-nD)，那么檢測概率(PD)和虛警概率(PFA)表達式如下：

PFA=nFA/(LPV-k)

(15)

PD=nD/k

(16)

下面使用原LASSO稀疏恢復算法對回波信號的散射系數進行恢復，所得結果如圖2所示。圖2(a)表示真實的散射系數，圖2(b)表示通過算法恢復得到的散射系數。從圖2中可以看出，使用原有的LASSO稀疏恢復算法去恢復散射系數，會存在錯檢以及漏檢。在每一個子載波上的42個點都是由42種角度速度的組合構成。第一個子載波上，第2個點處的目標發生了漏檢，第3和40個點處出現了錯檢；第二個子載波上，第2個點處的目標發生了漏檢，第3和40個點處出現了錯檢；第三個子載波上，第2個點處的目標發生了漏檢，第38和40個點處出現了錯檢。綜合三個子載波所恢復出的散射系數，對應到真實的速度、角度上，可以看出未作修改的LASSO算法判斷出了3個目標，速度分別為v=(10,15,20),即出現了錯誤的判決。

圖2 不同載波下真實散射系數與稀疏恢復得到的散射系數對比Fig. 2 Comparison of real scattering coefficients and scattering coefficients obtained from sparse recovery under different carriers

下面使用基于設計矩陣降維的方法，對通過LASSO稀疏恢復算法得到的散射系數進行偽目標的去除，從均值和方差兩個角度去對結果進行判別，所得結果如表2所示。

表2 不同速度組合的均值和方差對比Tab. 2 Comparison of mean and variance under different velocity combinations

從表2中可以看出，使用改進的基于降維的LASSO稀疏恢復算法，能夠準確判斷出實際環境中真實存在的目標速度，而不會產生錯檢或者漏檢。

下面將幾種常用的稀疏恢復算法與本文中改進的算法在信噪比(Signal-to-Noise Ratio, SNR)為-5 dB時進行檢測性能的比較，結果如圖3所示。從圖3可以看出，使用改進的基于降維的LASSO稀疏恢復算法可以獲得比其他三種算法更好的目標檢測性能，原LASSO和DS算法性能接近，BP算法性能略差。

圖3 幾種算法的ROC性能曲線對比(SNR=-5 dB)Fig. 3 Comparison of performances of several algorithms in terms of the empirical ROC (SNR=-5 dB)

下面將改進的LASSO稀疏恢復算法與原LASSO算法在虛警概率為PFA=10-1時比較它們在不同信噪比條件下的檢測性能。從圖4可以看出，使用改進的基于降維的LASSO稀疏恢復算法可以獲得比原LASSO算法更好的目標檢測性能。隨著信噪比的提高，兩者的檢測概率都會提高，但是改進的LASSO算法性能提升更快更明顯。

圖4 不同信噪比下檢測概率變化曲線(PFA=10-1)Fig. 4 Detection probability with respect to SNR (PFA=10-1)

4 結語

本文基于降維思想優化了稀疏向量恢復處理方法，用來處理在地面多徑多目標環境下普通的稀疏處理方法帶來的錯檢或者漏檢問題。在OFDM信號測量模型的基礎上，將目標的檢測問題表示為一個稀疏向量檢驗問題，并通過稀疏恢復的方法來進行動目標檢測。仿真結果驗證了采用本文提出的降維處理方法能夠顯著提升系統的檢測性能。

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This work is partially supported by the National Natural Science Foundation of China (61362006, 61371107), the Natural Science Foundation of Guangxi Zhuang Autonomous Region (2014GXNSFBA118288), the Foundation of Guangxi Key Laboratory of Wireless Wideband Communication and Signal Processing (GXKL061501).

HONGLiugen, born in 1991, M. S. candidate. His research interests include target detection in multipath.

ZHENGLin, born in 1973, Ph. D., professor. His research interests include wireless sensor network, radar signal processing.

YANGChao, born in 1988, Ph. D. candidate. His research interests include mobile communication, radar communication integration.

Multi-targetdetectionviasparserecoveryofleastabsoluteshrinkageandselectionoperatormodel

HONG Liugen1,2, ZHENG Lin1,2*, YANG Chao1,2

(1.GuangxiKeyLaboratoryofWirelessWidebandCommunicationandSignalProcessing,GuilinUniversityofElectronicTechnology,
GuilinGuangxi541004,China；2.CollegeofInformationandCommunication,GuilinUniversityofElectronicTechnology,GuilinGuangxi541004,China)

Focusing on the issue that the Least Absolute Shrinkage and Selection Operator (LASSO) algorithm may introduce some false targets in moving target detection with the presence of multipath reflections, a descending dimension method for designed matrix based on LASSO was proposed. Firstly, the multipath propagation increases the spatial diversity and provides different Doppler shifts over different paths. In addition, the application of broadband OFDM signal provides frequency diversity. The introduction of spatial diversity and frequency diversity to the system causes target space sparseness. Sparseness of multiple paths and environment knowledge were applied to estimate paths along the receiving target responses. Simulation results show that the improved LASSO algorithm based on the descending dimension method for designed matrix has better detection performance than the traditional algorithms such as Basis Pursuit (BP), Dantzig Selector (DS) and LASSO at the Signal-to-Noise Ratio (SNR) of -5 dB, and the target detection probability of the improved LASSO algorithm was 30% higher than that of LASSO at the false alarm rate of 0.1. The proposed algorithm can effectively filter the false targets and improve the radar target detection probability.

multipath effect; sparse vector recovery; multi-target detection; Least Absolute Shrinkage and Selection Operator (LASSO); Orthogonal Frequency Division Multiplexing (OFDM) signal radar

TN91

A

2017- 02- 24;

2017- 03- 28。

國家自然科學基金資助項目(61362006, 61371107)；廣西壯族自治區自然科學基金資助項目(2014GXNSFBA118288)；廣西無線寬帶通信與信號處理重點實驗室基金資助項目(GXKL061501)。

洪劉根(1991—)，男，江蘇南通人，碩士研究生，主要研究方向：多徑環境下目標檢測； 鄭霖(1973—)，男，安徽祁門人，教授，博士，主要研究方向：無線傳感器網絡、雷達信號處理； 楊超(1988—)，男，陜西西安人，博士研究生，主要研究方向：移動通信、雷達通信一體化。

1001- 9081(2017)08- 2184- 05

10.11772/j.issn.1001- 9081.2017.08.2184