淺談麥克斯韋方程組

摘 要：麥克斯韋方程組（Maxwells equations）是電磁場的運動方程，是經典電磁學理論的基礎，是光學、磁學、電學相互統一的電磁學理論，它全面的對電磁場規律進行了總結。本文主要在麥克斯韋方程組的來源、電荷守恒定律、畢奧——薩伐爾定律的基礎上，探討了對麥克斯韋方程組所反映的電磁場的普遍規律，并加強了對麥克斯韋方程組的認識。

關鍵詞：麥克斯韋方程組；電磁場；普遍規律

1 麥克斯韋方程組的來源

眾所周知，靜止的電荷會產生電場，而隨著時代的發展，社會的進步，人們開始對突變電場研究和應用，使得人們對電磁場的認識發生了質的飛越。

經過大量的實驗證明，人們發現激發電場的有電荷、電流，并且變化的電場和磁場還會相互激發，電場和磁場構成了一個統一的整體——電磁場。與恒定的電磁場相比，變化的電磁場主要是：法拉第電磁感應定律—變化的磁場激發電場和麥克斯韋位移電流假說—變化的電場激發磁場。

在19世紀，英國的物理學家詹姆斯麥克斯韋總結了前人的經驗，把大量實驗得到的普遍規律加以總結凝練，得到了麥克斯韋方程組，將電荷、電流、電場、磁場聯系統一在一起，建立起了他們之間的普遍聯系，標志著經典電動力學的建立。麥克斯韋方程組的具體形式如下：

其中ρ為自由電荷的體密度，J為傳到電流密度。上式僅僅表示在真空中麥克斯韋方程組的基本形式，而在介質中時，電位移矢量D=ε0εrE，磁感應強度B=μ0 μrH，傳到電流J=σE。而介質中的麥克斯韋方程組為：

從上面方程組可以看出在一般情況下電荷、電流激發電磁場以及電場和磁場相互激發的規律。

2 電荷守恒定律

電荷守恒定律描述的是電荷不可能被產生也不可能憑空的消失，它只能從物體的一部份轉移到物體的另一部分，或者從一個物體轉移到另一個物體。也就是說，在任何物理過程中電荷的代數和是守恒的。

一般情況下，我們在描述導線上的電流是如何分布的時候，通常用通過導線橫截面的總電流I表示。有的時候，我們不僅要知道通過導線橫截面上的總電流I的多少，而且還必須明白導線內部電流是如何分布的。對于直流電流，電流在導線內部是均勻分布的，而對于高頻的交流電流，電流幾乎集中的存在于導線的表面上。對此情況，我們還需要引入電流密度J來對導線內部的電流分布進行描述。

電流密度J 的方向同電流的方向是一致的，大小等于1s內通過單位面積的電荷數量的多少。通過截面dS的電流dI為：dI=J·dS。則通過任何一個面積S的總電流為I=J·dS。

若電流被一種運動的帶電粒子構成，設這種帶電粒子的電荷密度為ρ，運動的平均速度為v，則總電流I為I=ρvdS。若電流是由多種運動的帶電粒子組成的，則總電流為I=∑i ρividS。

根據電荷守恒定律：考慮存在一確定的區域V，它的邊界為閉合的曲面S，如果有電荷從這個區域流出去，則區域V中的電荷數量就會減少，通過界面流出去的總電流I就應該等于區域V中電荷數量的減少率，所以有JdS=-dV。有根據高斯定理，JdS=[Δ]JdV，故可以得到[Δ]J=-，即[Δ]·J+=0，該式稱為電流的連續性方程，也稱為電荷守恒定律的微分形式。

此方程亦可根據麥克斯韋方程組的[Δ]×H=J+式推導得到。利用麥克斯韋方程組中的[Δ]×H=J+式，對[Δ]×H=J+求散度有[Δ]·（[Δ]×H）=[Δ]·J+[Δ]·，又根據式[Δ]·D=ρ和[Δ]·（[Δ]×H）=0可以得到[Δ]·J+=0。通過此方法也可以得到電流的連續性方程。故利用麥克斯韋方程組可以推導得到電荷守恒定律。

3 畢奧——薩伐爾定律

畢奧——薩伐爾定律是電流和磁場相互作用的結果，在實驗中，可以測出兩個電流之間的相互作用力，而這個作用力需要磁場這種物質對其進行傳遞。 如果一個電流激發了磁場，另一電流就會在這個磁場中受到力的作用。磁場對電流有作用力是磁場的特征性質。

而一個電流元Idl在磁場中受力可表示為dF=Idl×B，B稱為磁感應強度。而細導線上恒定電流激發的磁場的畢奧——薩伐爾定律應寫為：B（x）=∮L，畢奧——薩伐爾定律是恒定電流激發的磁場分布規律的積分形式。

利用麥克斯韋方程組中的[Δ]×H=J+式也可推證得到畢奧——薩伐爾定律。在恒定電場中，[Δ]×H=J，則有[Δ]×B=μJ。設磁矢勢為A，B=[Δ]×A。所以[Δ]×B=[Δ]×（[Δ]×A）=[Δ]·（[Δ]·A）-[Δ]2A，取A滿足規范條件[Δ]·A=0，所以[Δ]×B=-[Δ]2A=μJ，所以[Δ]2A=-μJ，經計算可得到A（x）=。

因此B=[Δ]×A=[Δ]×=[Δ]×J（x）dV=dV，又因為JdV=Idl，故所以B=，這就是利用麥克斯韋方程組推證得到的畢奧——薩伐爾定律。

4 結語

麥克斯韋方程組是經過大量的實驗、理論基礎和科學假設得到的，它不僅完善了電磁學基本理論，促進了物理學的發展，而且預言了電磁波的存在，為后來電磁波的發現提供了理論依據。本篇文章通過對麥克斯韋方程組的來源、電荷守恒定律、畢奧—薩伐爾定律的探討，對麥克斯韋方程組有了進一步更深刻的認識。從電磁場的基本理論出發，通過利用麥克斯韋方程組推證得到了想要的結果。

麥克斯韋方程組是電磁理論的核心，它的地位與牛頓定律的地位一樣高，麥克斯韋方程組的提出，為后面物理學家揭示自然界一個又一個相互作用規律奠定了基礎。對于麥克斯韋方程組，我們只有去進一步了解其中蘊含的深層意義，才能更好的理解與應用麥克斯韋方程組。

參考文獻：

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作者簡介：王倩（1994-），女，漢族，四川廣漢人，物理學本科，研究方向：物理學理論知識。