數(shù)學(xué)在土木中的應(yīng)用分析

劉濤

摘要：在新時期的社會發(fā)展中，土木工程專業(yè)是一門較為基礎(chǔ)的學(xué)科，數(shù)學(xué)知識在其研究實踐過程中占有極其重要的地位。在土木工程的學(xué)習(xí)與研究中，我們需要應(yīng)用很多以數(shù)學(xué)理論為基礎(chǔ)而推導(dǎo)所得的公式。本文通過簡單介紹最小二乘法、矩陣、微分方程的應(yīng)用，并且簡單結(jié)合數(shù)學(xué)的常用性和必備性，來分析數(shù)學(xué)在土木工程中的應(yīng)用。通過這些介紹，希望能使我們更好的了解數(shù)學(xué)理論的必要性和重要性。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)；土木；應(yīng)用；分析

數(shù)學(xué)在歷史發(fā)展和生產(chǎn)生活中發(fā)揮著無可替代的作用，也是人類進(jìn)行現(xiàn)代學(xué)習(xí)和研究中不可或缺的一項基本工具。目前，世界上越來越多的領(lǐng)域會使用數(shù)學(xué)理論進(jìn)行研究，經(jīng)濟(jì)、科學(xué)、醫(yī)學(xué)、各類工程等。通常在以上領(lǐng)域我們將數(shù)學(xué)稱為應(yīng)用數(shù)學(xué)，除此之外，在其他領(lǐng)域里數(shù)學(xué)也常常被賦予其他名字，如統(tǒng)計數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)模型等。有時候，專家學(xué)者在其研究過程中也會激發(fā)出一些新發(fā)現(xiàn)，甚至?xí)鲆粋€全新學(xué)科的發(fā)展。與此同時，專家們也不會放松對數(shù)學(xué)本身的研究即對不以任何實際應(yīng)用為目標(biāo)的純數(shù)學(xué)的研究。在這些研究過程中，亦會引發(fā)出許多新的應(yīng)用與深思。在實際的土木工程研究和建設(shè)中，建立在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上推導(dǎo)出的應(yīng)用原理結(jié)果，使我們能夠更好地解決工程中的實際問題，同時這些問題及解決方法又會促進(jìn)數(shù)學(xué)的發(fā)展和改革。

1 最小二乘法建立函數(shù)關(guān)系曲線

在土木工程建設(shè)的實驗中，我們常常需要通過求解函數(shù)解析式來探索、揭示相關(guān)量之間的內(nèi)在聯(lián)系。通常是根據(jù)實驗得到的數(shù)據(jù)，來探索出我們需要的反映客觀事物變化規(guī)律的函數(shù)關(guān)系的最佳近似表示式。但是在實驗過程中，我們得到的一系列數(shù)據(jù)又有哪些聯(lián)系？反應(yīng)了何種問題？該如何應(yīng)用在實際探索中？為了解決這些問題，我們必須要將數(shù)據(jù)進(jìn)行量化，并且要建立起各個參數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系曲線。最小二乘法可以簡單、快捷、準(zhǔn)確的滿足實際的曲線擬合的要求。

我們得到實驗數(shù)據(jù)后，首先通過描點(diǎn)法來畫圖，根據(jù)已知曲線關(guān)系推導(dǎo)其公式后進(jìn)行曲線擬合得到一組新的數(shù)據(jù)，然后進(jìn)行直線擬合新數(shù)據(jù)，得到一組最佳近似表達(dá)式。通過描點(diǎn)圖以及推導(dǎo)出的公式，即可分析所研究的各個參數(shù)間的相互關(guān)系及影響效果。

2 矩陣

（1）在彈塑性力學(xué)中的應(yīng)用。

彈塑性力學(xué)是固體力學(xué)發(fā)展較早、且在實踐中得到廣泛應(yīng)用的一個分支，是研究彈性與塑形物體變性規(guī)律的學(xué)科，也是土木工程專業(yè)必學(xué)的一門科目。它的優(yōu)點(diǎn)也非常突出：推理嚴(yán)謹(jǐn)、計算結(jié)果準(zhǔn)確，也為研究和解決工程建設(shè)中的技術(shù)問題提供了堅實的基礎(chǔ)和可靠的依據(jù)。

彈塑性力學(xué)是由一點(diǎn)的應(yīng)力分量為實數(shù)，應(yīng)力張量為實對稱張量，由此可知物體內(nèi)的任意一點(diǎn)的應(yīng)力矩陣皆是實對稱矩陣。再根據(jù)線性代數(shù)中相關(guān)的知識，如特征根、特征向量及其性質(zhì)和矩陣的有關(guān)定理知識等，來確定應(yīng)力主軸。換而言之，求一點(diǎn)的主應(yīng)力問題就轉(zhuǎn)化成求一點(diǎn)的應(yīng)力矩陣的特征值和特征向量的問題。

推導(dǎo)時，首先假設(shè)應(yīng)力張量的特征值、特征向量、單位矩陣，利用線性代數(shù)的理論知識列出關(guān)系式，確定其有非零解的充分必要條件，確定對應(yīng)力張量的三個不變分量求解一元三次方程，所得的三個實根便是應(yīng)力矩陣的特征值，即所求主應(yīng)力，相對于每個特征值的特種那個向量則是矩陣的主應(yīng)力方向。最后確定三個做表面，將每一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)用應(yīng)力張量表示出來。

應(yīng)力張量是描述變形物體內(nèi)某點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的一種二階對稱張量。若已知土體某處的應(yīng)力張量，就可以對其受力分析，再結(jié)合一些其他的限定條件，可以建立土體在力和邊界下的數(shù)學(xué)模型，從而通過相關(guān)軟件進(jìn)行所求量的分析。

（2）分析工程中的風(fēng)險問題。

矩陣還可以用來分析工程中的風(fēng)險問題。就以某大型體育館工程建設(shè)項目在實際實施階段的風(fēng)險管理為例，來簡單闡述一下多維空間風(fēng)險管理矩陣的應(yīng)用。我們將此矩陣分為四個維度。首先，在時間方面我們需要考慮項目實施階段的前兩個月；在風(fēng)險管理方維度上，我們要全方位的考慮到業(yè)主、承包商和監(jiān)理單位三個方面的關(guān)系處理；在風(fēng)險類別維度上，羅列出建筑材料價格上漲風(fēng)險以及基礎(chǔ)施工塌方風(fēng)險兩個因素；最后，在風(fēng)險影響維度上，風(fēng)險影響的大小通常可以利用風(fēng)險影響函數(shù)來表示。

（3）微分方程的應(yīng)用。

首先我們要明白何謂微分方程？通常，凡是表示未知函數(shù)、未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與自變量之間的關(guān)系的方程，叫做微分方程。其中，未知函數(shù)是一元函數(shù)的，叫常微分方程；未知函數(shù)是多元函數(shù)的叫做偏微分方程。

在彈性力學(xué)中，我們推導(dǎo)平面問題中平衡微分方程的過程中，首先從物體上取出一個微小的正平行六面體，計算各個平面的應(yīng)力狀態(tài)。雖然沒有規(guī)定，但是通常我們會將z方向設(shè)定為一個單位長度，然后再分別計算x、y方向的尺寸。由于我們所取的六面體實際是極其微小的，所以我們認(rèn)為它受到均勻分布的應(yīng)力，并且作用在其對應(yīng)面的中心。同理，六面體所受的體力，也可以認(rèn)為是均勻分布，作用在它的體積的中心。然后設(shè)置矩軸并列出平衡方程，根據(jù)這個可以得出一個相似的微分方程。于是我們可得出應(yīng)力分量和體力分量之間的關(guān)系，即平面問題中的平衡微分方程。

平衡微分方程只能表示區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn)的微分體的平衡條件，所以在使用過程中必須保證任一有限大部分和整個區(qū)域是滿足平衡條件的，否則不可使用此方法。利用彈性力學(xué)，土木工程師可以對地震及其對建筑物的作用進(jìn)行量化，并進(jìn)一步研究斷層動力學(xué)，還可以進(jìn)行地震預(yù)測。

3 結(jié)語

在人類的文明發(fā)展中，數(shù)學(xué)知識起著至關(guān)重要的作用。數(shù)學(xué)帶動著科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步，并且為人類的生產(chǎn)和生活引發(fā)極大的效益，所以，它是一種應(yīng)用最廣泛、最直接、最及時、最富創(chuàng)造力和重要的實用技術(shù)。同時，在土木工程專業(yè)的研究、探索、實踐過程中，數(shù)學(xué)理論和應(yīng)用一直常伴左右，換言之，數(shù)學(xué)理論的掌握和發(fā)展是土木工程發(fā)展的前提和基礎(chǔ)。如土力學(xué)力學(xué)習(xí)中我們會應(yīng)用到高數(shù)和線性代數(shù)知識，在挑選試驗數(shù)據(jù)的時候，我們會應(yīng)用的概率論和數(shù)理統(tǒng)計知識。總之，通過學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)而培養(yǎng)的理性、邏輯思維，是我們能夠做土木工程施工和研究的強(qiáng)大后盾。

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