淺談分部積分列表法的用法

楊柳

[摘 要]分部積分是針對(duì)被積函數(shù)是乘積形式的積分，分部積分公式運(yùn)用比較靈活。就列表的方法對(duì)分部積分加以說(shuō)明，并列舉列表法適用的類型。

[關(guān)鍵詞]分部積分；乘積列表法

[中圖分類號(hào)]O172.2 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A

高等數(shù)學(xué)是大學(xué)一年級(jí)學(xué)生的一門專業(yè)基礎(chǔ)課，在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的時(shí)候總感覺到很困難。特別是學(xué)習(xí)了求導(dǎo)之后，學(xué)習(xí)積分。積分是求導(dǎo)運(yùn)算的逆運(yùn)算，卻比求導(dǎo)運(yùn)算復(fù)雜。常見的積分方法有直接積分法、換元積分法、分部積分法。

在被積函數(shù)是乘積形式的積分時(shí)，如果不能直接積分或者換元積分，那么一般會(huì)用到分部積分。分部積分公式。分部積分前提是要選取恰當(dāng)?shù)暮秃瘮?shù)，利用分部積分公式得到最后的結(jié)果，選取和的方法比較固定，按照“反、對(duì)、冪、指、三”的順序依次選擇，兩個(gè)函數(shù)乘積的積分，順序靠左的函數(shù)是，順序靠右的函數(shù)是，指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)乘積中，和函數(shù)的選取方式任意。或者有的教材中對(duì)被積函數(shù)分類，然后直接說(shuō)明每一類中和函數(shù)的選取。

1 列表法的計(jì)算規(guī)則

分布函數(shù)列表法是把被積函數(shù)分為兩部分，分上下位置放置，上邊是被積函數(shù)中能夠求導(dǎo)，且越來(lái)越簡(jiǎn)單的函數(shù)，或者多次導(dǎo)數(shù)之后結(jié)果是0的函數(shù)；下邊放置的是被積函數(shù)的另外一部分，依次對(duì)其積分，積分次數(shù)與上面的導(dǎo)數(shù)次數(shù)相同即可。一般地，對(duì)積分，如果函數(shù)經(jīng)過(guò)多次求導(dǎo)，結(jié)果等于0，或者結(jié)果是，可以用如下計(jì)算方法：

對(duì)函數(shù)多次求導(dǎo)，對(duì)函數(shù)多次積分，然后依次用斜線連接上下兩行的函數(shù)，該項(xiàng)的符號(hào)由左向右依次為正負(fù)相間隔，然后寫出積分關(guān)系式，得到的結(jié)果中可以含有積分符號(hào)。

例1 求不定積分

解 被積函數(shù)可以看做兩個(gè)函數(shù)的乘積，可以多次求導(dǎo)，而可以多次積分，用列表法求不定積分。

例2 求不定積分。

解 被積函數(shù)是乘積形式，但是與都不能經(jīng)過(guò)多次求導(dǎo)而結(jié)果是0，但是它們求導(dǎo)之后又會(huì)回到最初的形式，也可以用列表的方法。

移項(xiàng)整理得.

在例1中，求導(dǎo)的結(jié)果最終是0，0和下面一行中的函數(shù)相乘的積分結(jié)果還是0，因此可以直接寫出整個(gè)積分的結(jié)果；例2中求導(dǎo)兩次的時(shí)候，形式仍然是，這時(shí)候得到的是一個(gè)關(guān)系式，左右兩側(cè)都含有不定積分，移項(xiàng)得到需要的結(jié)果。

2 列表法適用的類型

（1）適用于，， ，其中是次多項(xiàng)式。在用列表法的時(shí)候，可以多次求導(dǎo)，直至導(dǎo)數(shù)等于零，而都可以多次積分。

（2）適用于，，，其中，，可以求導(dǎo)，而可以多次積分。

（3）適用于，，任意選取需要求導(dǎo)的函數(shù)，求導(dǎo)兩次之后的形式與最初相同，這時(shí)候得到關(guān)于積分的一個(gè)關(guān)系式，移項(xiàng)整理后就可以得到不定積分的結(jié)果，不定積分后需加常數(shù)C。

使用列表法的時(shí)候，具體要算到哪一步，根據(jù)情況而定。

3 列表法的評(píng)價(jià)

列表法的優(yōu)點(diǎn)是：只針對(duì)函數(shù)乘積中的某一個(gè)函數(shù)多次求導(dǎo)或積分，消除了在應(yīng)用分部積分時(shí)，既有積分又有求導(dǎo)的弊端。

列表法也有它的缺點(diǎn)：列表法有一定的局限性，對(duì)于特定的類型能取得較好的效果。但是如反三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的乘積，就不能使用列表法。

[參考文獻(xiàn)]

[1] 錢吉林.數(shù)學(xué)分析題解精粹[M].湖北：湖北辭書出版社，2009.