關于二維非對心碰撞角度的關系式推導

李 燕

(四川雅安職業技術學院，四川 雅安 625000)

關于二維非對心碰撞角度的關系式推導

李 燕

(四川雅安職業技術學院，四川 雅安 625000)

本文推導并討論了表面光滑的非對心碰撞的角度問題,補充了教材關于碰撞問題這部分知識.

碰撞;非對心碰撞;恢復系數e

碰撞在日常生活及生產中隨處可見,在研究微觀分子或原子的運動時也會遇到碰撞問題.碰撞有兩個明顯的特點:一是碰撞物體間發生碰撞的時間極短,所以可只考慮碰撞物體間的沖力,而不考慮非沖力以外的力對物體的影響.二是雖然碰撞時間極短,但碰撞前后物體運動狀態的改變卻非常明顯.正因有以上特點所以可方便我們應用守恒定律來研究碰撞問題,并且我們常常把碰撞物體模型化為球體.一般碰撞分為球的對心碰撞和球的非對心碰撞，如果兩個小球碰撞前后它們的速度矢量都是沿著兩球心的連線,則這樣的碰撞就叫做“球的對心碰撞”或叫做“球的正碰”;如果兩個小球碰撞前的速度矢量沒有沿著兩球心的連線,則這樣的碰撞就叫做“球的非對心碰撞”或叫做“球的斜碰”.大多數物理教材在編寫碰撞這部分內容時,一般只討論了碰撞的速度變化和能量問題,沒有強調關于非對心碰撞的角度問題.筆者在本文中推導并討論了表面光滑的非對心碰撞的角度問題.

1 二維非對心碰撞角度的關系式推導

兩小球碰撞前后速度矢量若在同一平面內,稱為二維碰撞;碰撞前后速度矢量不在同一平面內,則稱為三維碰撞.本文討論二維碰撞.如圖1所示質量為m1、初速度為v10的光滑小球和質量為m2、初速度為v20的光滑小球發生二維碰撞,碰撞后其速度分別為v1和v2(如圖2所示),兩球碰撞的恢復系數為e.為研究方便,可在兩小球的速度矢量平面內建立直角坐標系O-xy,設兩小球碰撞接觸面的公切線方向為x軸,y軸沿碰撞時的聯心線,如圖2所示.

把兩球看作一質點組,因外力矢量和為零,故動量守恒.根據動量守恒定律,在y軸方向上有

m1v10y+m2v20y=m1v1y+m2v2y.

(1)

碰撞時,因球面光滑,故兩小球沿公切線方向即x軸方向不受力,所以碰撞前后兩小球沿x軸方向的速度分量不變,有

圖1 小球碰撞前

v10x=v1x，v20x=v2x.

(2)

由恢復系數e的定義知對于材料一定的球,碰撞后分開的相對速度與碰撞前接近的相對速度成正比,故有

(3)

如圖1和圖2所示,若v10、v20與x軸的夾角分別是α1和α2;v1、v2與x軸的夾角分別是β1和β2,由(1)式得

m1v10sinα1+m2v20sinα2=m1v1sinβ1+

m2v2sinβ2.

(4)

由(2)式得

v10cosα1=v1cosβ1，v20cosα2=v2cosβ2.

(5)

由(3)式得

(6)

解以上(4)～(6) 3個方程,分別消去v1和v2得

(7)

(8)

由(7)、(8)式消去v10、v20可得

(9)

簡化(9)式得

(10)

式(10)為二維非對心碰撞的角度的一般關系式.

2 關于二維非對心碰撞角度關系式的討論

(1) 若兩小球質量m1=m2,且它們初始狀態都是運動的,當它們發生完全彈性非對心碰撞時(恢復系數e=1),式(10)簡化為

將上式兩邊交叉相乘進一步簡化得

tanα1tanα2=tanβ1tanβ2.

(11)

(2) 若兩小球質量m1?m2,當恢復系數e=1時,可看作小球從傾斜方向與半徑無窮大的球即光滑平面相碰撞,可把質量為m2的小球看作保持靜止.由(10)式可得

etanα1=tanβ1.

(12)

分析:因為e=1,所以有α1=β1,即m1在m2的表面上作等角反射,如圖3所示.

圖3 圖4

(3) 若兩小球質量m1?m2,當恢復系數0β1,如圖4所示.即當兩小球發生非完全彈性碰撞時,m1碰撞后速率減小了,出現了機械能的損失.

1 漆安慎,杜嬋英.力學[M].北京:高等教育出版社,1998.

2 賈書惠, 李萬瓊. 理論力學[M].北京:高等教育出版社,2002.

2017-03-30)