再探高考試題中的圖像變化規律

許 龍

(安徽省太和一中,安徽 太和 236600)

再探高考試題中的圖像變化規律

許 龍

(安徽省太和一中,安徽 太和 236600)

用高等數學積分知識解決高考試題中圖像變化問題,并探究圖像中特殊點的含義．

高考;圖像;高等數學;積分

高考試題選擇題中常有分析兩物理量之間的函數變化問題,對高中生而言只要能定性分析其變化規律即可,無需定量研究物理量之間的函數關系,但許多學生并不太明白物理量為何滿足這種變化規律,這里筆者結合幾道高考試題并用高等數學方面的有關知識來做定量分析計算,探究其圖像變化規律．讓學生明白在高考試題中這些圖像并不是隨手一畫,簡單滿足定性規律就可以的,而是滿足嚴格的函數關系．

例1.(2014年重慶理綜卷)以不同初速度將兩個物體同時豎直向上拋出并開始計時,一個物體所受空氣阻力可忽略,另一個物體所受空氣阻力大小與物體速率成正比．圖1中用虛線和實線描述兩物體運動的v-t圖像可能正確的是

圖1

例2.(2012年江蘇卷)將一只皮球豎直向上拋出,皮球運動時受到空氣阻力的大小與速度的大小成正比．圖2中描繪皮球在上升過程中加速度大小a與時間t關系的圖像,可能正確的是

圖2

積分可得

代入初始條件t=0時,v=v0,即得

將C代入速度表達式后可得

亦可求解出當物體減速為0時所需的時間為

同時可求導得到物體在運動過程中加速度隨時間變化規律為

分析可知當物體速度為0時,僅受重力,其加速度應為重力加速度g．亦可由上述表達式計算驗證,將物體減速到0的時間,代入加速度隨時間變化關系有

負號表示方向,此時方向與正方向相反——豎直向下,與前面定性分析一致．

另一個不受阻力的物體,其速度時間表達式為v=v0-gt．通過Mathematica軟件模擬其圖像,如圖3.

圖3

圖4

圖5

例3.(2013年新課標高考Ⅱ卷)如圖5,在光滑水平桌面上有一邊長為L、電阻為R的正方形導線框;在導線框右側有一寬度為d(d>L)的條形勻強磁場區域,磁場的邊界與導線框的一邊平行,磁場方向豎直向下．導線框以某一初速度向右運動,t=0時導線框的右邊恰與磁場的左邊界重合,隨后導線框進入并通過磁場區域．如圖6，v-t圖像中,可能正確描述上述過程的是

圖6

解析:設線框進入磁場初速度為v0,以初速度方向為正方向,則有線框切割磁感線,產生感應電動勢和感應電流,導體棒受到安培力阻礙其運動.

在光滑地面上僅受安培力,即得

可得

由初始條件t=0時,v=v0,可得C=v0,即得

完全進入磁場后線框內磁通量無變化,此時線框無感應電流,線框不會再受到安培力,將做勻速直線運動,直到右邊框離開磁場,又會受到安培力,阻礙其運動,其v-t圖像如圖7.

圖7

同時由v-t關系積分可得其位移時間關系為

整合易得

由此可知線框運動過程中速度與運動位移成線性關系,隨著線框逐漸進入磁場，其速度逐漸降低,完全進入磁場后勻速運動,離開磁場速度再隨位移線性減小,所以如果將(B)選項的橫軸改為位移的話就正確了．

雖然高中生對高等數學知之甚少,不需要對某些定性分析的問題進行定量計算，但高中教師在研究高考試題時不但要知其然還要知其所以然,只有不斷提高自身的專業素養才能在今后的教學中對許多知識點信手拈來,應用自如．

2017-04-12)