與數學知識共舞
——用6種數學方法求解一道物理競賽題

蔣金團 牛云景

(1. 云南省施甸縣第一中學,云南 保山 678200; 2. 昆明市西山區第一中學,云南 昆明 650106)

·競賽園地·

與數學知識共舞
——用6種數學方法求解一道物理競賽題

蔣金團1牛云景2

(1. 云南省施甸縣第一中學,云南 保山 678200; 2. 昆明市西山區第一中學,云南 昆明 650106)

本文用6種數學方法對2017年上海大同杯競賽的一道物理極值題進行了求解．

導數; 物理競賽題；動摩擦因數

數學是與物理聯系最為緊密的學科之一. 很多人都說，物理學得好需要數學的輔助. 由此可見,靈活運用數學知識解決物理問題的能力在物理學習中起著非常重要的作用. 下面筆者就一道競賽題談談數學知識在物理中的應用.

1 問題的提出

題目.如圖1所示，質量分布均勻的直桿AB置于水平地面上,現在A端施加外力F,緩慢抬起直桿直至豎直,B端始終和地面之間保持相對靜止,F的方向始終和直桿垂直,要確保直桿B端始終和地面保持相對靜止,直桿和地面之間的動摩擦因數至少為多少?

圖1

解析:本題中的直桿緩慢轉動,可看成是一個動態平衡問題,設直桿的長度為2L,如圖2所示,對桿受力分析．由力矩平衡得

mgLcosθ=F·2L.

(1)

再根據力平衡條件,水平方向上有

μFN=Fsinθ.

(2)

豎直方向上有

FN+Fcosθ=mg.

(3)

聯立(1)～(3)式得

(4)

由(4)式可知,要使B端不發生滑動,只要實際的動摩擦因素大于函數的極大值即可,這樣一來,物理問題徹底轉化為數學問題．

2 求極值的6種方法

2.1 導數法

對(4)式求導,有

當μ′=0時,函數有極值,此時有

6cos2θ-2cos22θ-2sin22θ=0,

解得

所以

2.2 均值不等式法

2.3 采用輔助角公式求解

2.4 判別式法

μ2(3-cos2θ)2=1-cos22θ，

化簡得

(μ2+1)cos22θ-6μ2cos2θ+9μ2-1=0.

因為cos2θ有解,有

2.5 采用柯西不等式求解

3μ=μ·cos2θ+1·sin2θ.

將上式和柯西不等式對照有

2.6 配圓法

圖3

由幾何關系得

從以上解析可以看出來,物理離不開數學,只有數學才能最明確、最簡潔地表達物理思想,學生的數學知識在物理課中能發揮很大的作用,把握住兩門學科間的聯系,有助于物理的學習．

2017-04-12)