試析構(gòu)造法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

易也翔

摘要：高中數(shù)學(xué)科目是我們學(xué)生在高中學(xué)習(xí)階段需要重點(diǎn)學(xué)習(xí)的學(xué)科，很多數(shù)學(xué)題具有涉及知識(shí)點(diǎn)多、復(fù)雜性高等特點(diǎn)。因此，為提高解題效率，我們有必要做好構(gòu)造法的合理應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)；方程構(gòu)造法；函數(shù)構(gòu)造法；圖形構(gòu)造法

前言：

在高中數(shù)學(xué)問(wèn)題的解答過(guò)程中，我們經(jīng)常會(huì)用到構(gòu)造法，通過(guò)構(gòu)造方程、圖形等方式，可以簡(jiǎn)化解題步驟，是抽象問(wèn)題直觀化，這有助提高我們解題的準(zhǔn)確性。

一、高中數(shù)學(xué)解題中方程構(gòu)造法的運(yùn)用

高中數(shù)學(xué)問(wèn)題在解答的時(shí)候，我們往往需要面對(duì)多個(gè)未知的變量，因此，構(gòu)造方程解決問(wèn)題成為了最佳途徑。在數(shù)學(xué)習(xí)題解答中，題中必然會(huì)給出數(shù)量關(guān)系、結(jié)構(gòu)特點(diǎn)等。所以，我們要根據(jù)題中的已知條件，構(gòu)建含有未知量的等式，通過(guò)組建方程、恒等變形等方式，解決問(wèn)題。這也是我們?cè)诟咧袛?shù)學(xué)解答中最經(jīng)常使用的解題方法之一。

例一，已知（m-n）2-4（n-x）（x-m）=0，請(qǐng)對(duì)m、n、x三者的關(guān)系是否滿足等差數(shù)列進(jìn)行證明。

分析：在此題的解答中，涉及了多個(gè)未知變量，因此，為了實(shí)現(xiàn)解題的目的，我們必須聯(lián)合結(jié)論，通過(guò)構(gòu)建方程的方式去探索問(wèn)題答案。

解：根據(jù)題中已知條件，設(shè)（m-n）t2-4（n-x）（x-m）=0為①式

因此，△=（m-n）2-4（n-x）（x-m），通過(guò)題意可知△=0時(shí)，構(gòu)造的方程中存在兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，所以（n-x）+（m-n）+（x-m）=0，等價(jià)于t=1，因此方程的兩個(gè)根X1=X2=1。

根據(jù)韋達(dá)定理可知，m+n=2x，結(jié)合等差數(shù)列基本含義可證m，n，x之間是等差數(shù)列關(guān)系。[1]

綜上所述，在高中數(shù)學(xué)題的解答中，合理的運(yùn)用構(gòu)造法將降低數(shù)學(xué)題解題難度、簡(jiǎn)化解題過(guò)程，提高我們學(xué)生對(duì)習(xí)題的理解及判斷力，實(shí)現(xiàn)快速解得準(zhǔn)確答案的解題目的。

例二：已知設(shè)α>β>γ，α+β+γ=1，α2+β2+γ2=1，試問(wèn)α+β之和的取值區(qū)間。

分析：通過(guò)對(duì)題中給出的已知條件進(jìn)行分析，此題解答的關(guān)鍵在于合理的利用方程根的定義、判定方法及系數(shù)之間的關(guān)聯(lián)性等知識(shí)構(gòu)建方程及方程組；因此，在本題的解答中，我們要將a和b當(dāng)成原方程已經(jīng)存在的兩個(gè)實(shí)根，然后利用根和系數(shù)的關(guān)系，通過(guò)a+b、ab重新對(duì)方程進(jìn)行構(gòu)造、解答，從而得出答案。

解：根據(jù)題意可知α+β+γ=1，因此：α+β=1-γ①

對(duì)①式內(nèi)等號(hào)兩邊平放，得到（α+β）2=（1-γ）2，并將平放結(jié)果帶入α2+β2+γ2=1得到②式：αβ=γ2-γ

因?yàn)椋瑇2+（γ-1）x+（γ2-γ）=0方程的實(shí)根是α、β；

所以，Δ=（γ-1）2-4（γ2-γ）=-3γ2+2γ+1>0

經(jīng)運(yùn)算，可知-13<γ<1，等價(jià)于-13<1-（α+β）<1

經(jīng)整理，α+β之和的取值區(qū)間為（1，4/3）

二、高中數(shù)學(xué)解題中函數(shù)構(gòu)造法的應(yīng)用

我們經(jīng)過(guò)長(zhǎng)時(shí)間的學(xué)習(xí)后，發(fā)現(xiàn)方程與函數(shù)之間存在著千絲萬(wàn)縷的關(guān)系。所以，在高中數(shù)學(xué)難題解答中使用函數(shù)構(gòu)造法，有助于我們更好的理解問(wèn)題、分析問(wèn)題，發(fā)揮及掌握解題技巧，提高解題的有效性與準(zhǔn)確性。在數(shù)學(xué)習(xí)題的解答中，不論是代數(shù)類還是幾何類數(shù)學(xué)題，我們都可以利用函數(shù)構(gòu)造法解決問(wèn)題、獲得最終答案。

例三：假設(shè)m、n、a∈R+，而且n

解：通過(guò)閱讀題意可知，題中已知條件有限，多是未知量。所以，假設(shè)a=x，

則原式為：，x∈R+；

為方便解題，我們?cè)O(shè)函數(shù)f（x）=，且x∈R+

經(jīng)整理+1

由此可知，f（x）=屬于[0，∞]區(qū)間之內(nèi)的遞增函數(shù)

經(jīng)整理后就可以對(duì)的結(jié)論進(jìn)行判定了。[2]

綜上所述，函數(shù)構(gòu)造法在解題中方便快捷，十分適合我們?cè)谟邢薜臅r(shí)間內(nèi)解題，同時(shí)也提高了解題的效率，從根本上改善了我們學(xué)生的解題能力。

三、高中數(shù)學(xué)解題中圖形構(gòu)造法的應(yīng)用

圖形構(gòu)造法的簡(jiǎn)稱就是數(shù)形結(jié)合法，在高中數(shù)學(xué)問(wèn)題解答中，數(shù)形結(jié)合理念是我們必須掌握的重要解題方法，利用數(shù)形結(jié)合法有助于我們理解抽象、復(fù)雜的數(shù)學(xué)難題，簡(jiǎn)化解題步驟。

例四：已知，a∈R，且7x2-（a+13）x+a2-a-2=0的方程里面有實(shí)根α與β，并滿足0<α<1<β<2的條件，試問(wèn)a的取值范圍是多少？

分析：通過(guò)閱讀題干可以知曉題中方程存在實(shí)根2個(gè)，若想直接通過(guò)方程求解的方式獲得實(shí)根α與β的具體數(shù)值，難度較大。因此，我認(rèn)為在解題中應(yīng)該利用圖形構(gòu)造法，通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方式解決問(wèn)題。[3]

解：將方程式轉(zhuǎn)化為f（x）=7x2-（a+13）x+a2-a-2

在圖形（如圖1）中標(biāo)注出f（x）與x軸的交點(diǎn)，而這2個(gè)交點(diǎn)一個(gè)在（0，1）內(nèi)，另一個(gè)在（1，2）內(nèi)；

據(jù)此列出滿足條件的不等式進(jìn)行求解，

即f（0）>0、f（1）<0、f（2）>0

解得-2

圖1

結(jié)語(yǔ)：

將構(gòu)造法合理的應(yīng)用于高中數(shù)學(xué)解題中，不僅是對(duì)我們基礎(chǔ)知識(shí)掌握水平的鍛煉，也是對(duì)我們解題技巧使用成果的考驗(yàn)。通過(guò)構(gòu)造法的科學(xué)運(yùn)用，必然可以提高我們自身對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的綜合運(yùn)用水平。

參考文獻(xiàn)：

[1]高中數(shù)學(xué)解題中運(yùn)用構(gòu)造法的措施研究[J].陳述白.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究.2016（23）：132

[2]試論高中數(shù)學(xué)解題中運(yùn)用構(gòu)造法的措施[J].佟佳宏科.科學(xué)大眾（科學(xué)教育）.2016（11）：29

[3]基于“構(gòu)造法”的高中數(shù)學(xué)解題思路探索[J].丁冰.文理導(dǎo)航（中旬）.2015（06）：13