基于奇異熵增量曲率譜的信號降噪方法

胡 林， 黃文濤， 蔡 乾， 金 江

（1.華中科技大學 電子信息與通信學院，湖北 武漢430074；2.上海無線電設備研究所，上海200090）

0 引言

含噪信號的去噪問題是信號處理領域的經典問題，在工程實踐中出現許多信號降噪方法，如小波與小波包降噪法[1]、減譜降噪法[2]、獨立分量分析（Independent Component Analysis，ICA）降噪法[3]，以及經驗模態分解（Empirical Mode Decomposition，EMD）降噪法等[4]。小波降噪法的降噪效果很大程度上取決于濾波器性能的優劣，且當信號的特征頻段沒有先驗了解或有用信號與噪聲的頻帶交疊嚴重時，小波降噪法將失效。ICA降噪法要求各個源信號之間瞬時統計獨立，且至多只能有一個源信號為高斯分布。EMD降噪法存在模態混淆、過包絡、欠包絡和瞬時頻率有效性等問題。

研究表明，利用奇異值分解（Singular Value Decomposition，SVD）進行信號消噪是一種有效的降噪處理方法[5-6]，降噪后的信號相移較小，且不存在時間延遲。基于SVD的信號降噪方法的關鍵在于有效降噪階次的選取，現有的很多文獻都是針對降噪階次的研究，但目前還沒有非常成熟和普適的方法，在工程實現中通常采用的試湊法和閾值法都依賴于使用者的經驗。文獻[7]提出一種利用奇異熵增量的漸近特性來確定有效降噪階次的方法，但除了幅值的變化外，奇異熵增量曲線和奇異值曲線的形狀并沒有多大的區別。文獻[8]提出一種根據奇異值曲率譜的最大峰值位置確定有效降噪階次的方法，但在工程實現中曲率譜的最大峰值也有可能出現在噪聲平臺中。本文基于上述兩種方法，提出一種基于奇異熵增量曲率譜的降噪階次確定方法，并通過仿真試驗驗證了該方法的有效性。

1 奇異值分解降噪原理

假設一維信號序列x（k）混入加性高斯白噪聲e（k）后得到的含噪信號序列為y（k），即有y（k）=x（k）+e（k） （1）

采用SVD降噪方法對y（k）進行降噪處理的具體實施框圖，如圖1所示。

實施步驟如下。

第1步，由一維含噪信號序列y（k）（k=1，2，…，N，N為數據長度）構造含噪信號矩陣Ym×n。為降低計算復雜度，當N較大時，可采用連續截斷的方式將其元素嵌入到m×n維相空間內，即

第2步，對含噪矩陣Ym×n進行奇異值分解，得到主對角矩陣∑和左右正交矩陣S、D，即

其中：

式中：O 代 表 零 矩 陣；p=min（m，n）；λ1≥，稱為矩陣Ym×n的奇異值。

第3步，選取有效奇異值降噪階次q，保留主對角矩陣∑m×n的前q個大奇異值，將其余的小奇異值置零，得到新的主對角矩陣∑x=diag（λ1，λ2，…，λq，0，…，0），其中q＜p，且λi≠0，i=1，2，…q。

第4步，利用對角陣∑x、左右正交矩陣S和D，根據式（3）進行SVD重構運算，得到估計出的信號矩陣X^。

由奇異值分解理論可知，較大的奇異值主要反映的是信號特征，而較小的奇異值主要反映的是噪聲特性，因此該方法的關鍵在于如何確定分解后的對角陣∑的有效降噪階次q。當所選階次較高時，在降噪后的信號中仍保留了一部分噪聲信息，無法達到充分降噪的目的。當所選階次較低時，降噪信號包含的信息不完整，會導致信號波形畸變，難以反映對原信號的有效信息特征。后文將重點討論有效降噪階次的選取問題。

2 奇異熵增量曲率譜

在有效降噪階次的選取方面，目前使用較廣泛的是文獻[7]提出的一種方法，它將奇異熵增量開始降低到漸近值時所對應的階次作為降噪階次。奇異熵增量定義為

并非所有含噪信號的奇異熵增量曲線都存在明顯的漸近值，且從本質上說，除了幅值的變化外，奇異熵增量曲線和奇異值曲線的形狀并沒有多大的區別，即沒有明顯的特征可以用來確定有效降噪階次。

文獻[8]提出一種根據奇異值曲率譜的最大峰值位置確定有效降噪階次的方法，但射頻前端實采數據的奇異值較大，噪聲平臺對應的小奇異值遠大于0，且其值大幅度下降，導致其曲率譜的最大峰值有可能出現在噪聲平臺中。

奇異熵增量從幅值上可以理解為歸一化后的奇異值，其噪聲平臺對應的奇異熵增量均接近0。由此，本文提出一種根據奇異熵增量曲率譜來確定有效降噪階次的方法。連續曲線l（t）上各點曲率的計算公式為

奇異熵增量曲線ΔEi由一系列離散點構成，計算各點的曲率時用對應的差分公式來代替上式中的導數，即

曲率譜反映的是各奇異熵增量的轉折程度，曲率越大，奇異熵增量的轉折程度越大，則奇異值在該處的變化越大。由理想噪聲構造的矩陣的所有奇異值大小相等，實際噪聲構造的矩陣中后面的奇異值會有一定幅度的下降，但這種下降是連續平滑的，且幅度很小，所以其奇異熵增量曲線沒有轉折點，曲率接近零。由此可以認為，當奇異熵增量的曲率降到趨于零時（設一個很小的正數作為判決閾值，即當奇異熵增量曲率降到小于閾值時，則認為達到了零值），信號的有效特征信息已趨于飽和，此時對應的位置即為有效降噪階次q。

圖2為射頻接收前端實采短波信號的仿真，其中，圖2（a）為該信號的奇異值曲線，圖2（b）為該信號的奇異值曲率譜，圖2（c）為該信號的奇異熵增量曲線，圖2（d）為該信號的奇異熵增量曲率譜。對比圖2（a）和圖2（c）可見，除了幅值不同以外，這兩條曲線在形狀上的確沒有明顯的特征差異，即采用基于奇異熵增量的方法難以選取有效降噪階次。由圖2（b）可見，該曲線的最大峰值的確出現在噪聲平臺中（q=133），因此也不能依據奇異值曲率譜的最大峰值來選取有效降噪階次。由圖2（d）可見，該實采短波信號的有效降噪階次以確定（q=33），即采用本文提出的基于奇異熵增量曲率譜的方法能夠較準確地選取到有效降噪階次。

3 仿真實驗

3.1 仿真信號的驗證實驗

（1）雙窄帶通信號

為驗證所提出的降噪方法的有效性，對通帶分別為7 MHz～8 MHz和15.5 MHz～16.5 MHz的雙窄帶通信號以不同的信噪比加入高斯白噪聲，對其進行降噪處理，比較降噪前后的信噪比。實驗時采用的數據長度為65 536個點，構造的矩陣規模為256×256。分別以5 dB、10 dB和15 dB的信噪比加入高斯白噪聲后進行降噪處理，得到的仿真結果如圖3所示。其中，圖3（a）和圖3（b）分別為信噪比為5 d B時降噪處理前后的功率譜圖，圖3（c）和圖3（d）分別為信噪比為10 dB時降噪處理前后的功率譜圖，圖3（e）和圖3（f）分別為信噪比為15 dB時降噪處理前后的功率譜圖。表1則給出了仿真結果的具體數值。

可見，從功率譜上看，所提出的降噪方法具有較為明顯的降噪效果，可將本底噪聲降低10 dB左右。從降噪處理前后的信噪比來看，原含噪信號的信噪比越低，改善量越可觀，而當原信號本身的信噪比已經足夠高時，改善量則有限。

表1 雙窄帶通信號仿真結果

（2）等幅三頻加16QAM小信號

再以一個等幅三頻加16QAM小信號為例，進一步說明所提出的降噪算法的有效性。其中，等幅三頻信號的頻率位置分別為6.1 MHz、7.6 MHz和10.9 MHz；16QAM小信號的中心頻率為9.43 MHz，波特率為500 kbps，成型濾波器滾降系數a=0.5。實驗時采用的數據長度為65 536個點，構造的矩陣規模為256×256。對其進行降噪處理，仿真結果如圖4所示。其中，圖4（a）為原含噪信號的功率譜圖，圖4（b）為經過降噪處理后的輸出信號的功率譜圖。

可見，原含噪信號的本底噪聲為-103 dBm，降噪處理后的本底噪聲為-111 dBm，即可將本底噪聲降低8 dB。此外，對降噪處理后的16 QAM小信號進行解調，可以得到較好的解調效果，即該降噪處理過程能夠保證信號所含信息的完整性。

3.2 實采信號的驗證實驗

為更好的驗證本文提出的SVD降噪算法的降噪性能，圖5給出了對短波數字接收前端實采的不同類型信號進行降噪處理前后功率譜對比圖。其中，圖5（a）為實采的雙16 QAM信號，中心頻率分別為9 MHz和12 MHz，波特率為1.25 Mbps，成型濾波器滾降系數為0.5。圖5（b）為該雙16 QAM信號的降噪輸出。圖5（c）為實采的等幅三頻信號與小功率16 QAM信號的組合信號，三頻信號的中心頻率分別為7 MHz、16 MHz和22 MHz，16 QAM信號的中心頻率為9 MHz，波特率為0.25 Mbps。圖5（d）為該組合信號的降噪輸出。圖5（e）為實采的大功率16 QAM信號與小功率16 QAM信號的組合信號，大功率16 QAM信號的中心頻率為9 MHz，波特率為1.25 Mbps，小功率16 QAM信號的中心頻率為18 MHz，波特率為0.25 Mbps。圖5（f）為該組合信號的降噪輸出。

由圖5可見，所采用的數字接收前端的輸出信號的本底噪聲水平已經比較低，但采用本文提出的SVD降噪算法仍能改善4 d B～8 d B左右，且對各種類型的信號均有效。

尤其值得注意的是，圖5（d）和圖5（f）中降噪處理后的小功率16 QAM信號均可解調，即該降噪處理過程在降噪的同時能夠保證信號所含信息的完整性。

4 結論

本文將奇異值分解降噪法用來降低數字接收前端的本底噪聲，提出的根據奇異熵增量曲率譜特性來確定降噪階次的方法取得了較好的降噪效果，且能夠保證信號的完整性。將該方法應用于數字接收前端時，可改善其噪聲系數和接收靈敏度，并提高微弱信號的發現和檢測概率，有效增大接收前端動態范圍。