一種踝關節三維運動空間的量化算法①

張云超，肖金壯，王洪瑞

·康復工程·

一種踝關節三維運動空間的量化算法①

張云超，肖金壯，王洪瑞

目的 結合踝關節在各方向上運動之間的約束關系，對其三維轉動角度進行積分，得到三維運動空間的大小，用于更加準確全面地量化其靈活度和康復程度。方法 選取25例大學生志愿者，其中無踝關節損傷的健康者20例，近期有過踝關節損傷的患者5例。使用運動捕捉系統實時記錄被測者腳上標記點的三維坐標。利用三角函數將這些坐標轉化為轉動角度并進行處理，通過使用多項式擬合，得到踝關節在各個方向上最大轉動角度隨跖屈和背屈角度變化的方程。對擬合得到的方程進行積分，得到踝關節三維運動空間的大小。結果 健康人群踝關節的三維運動空間為41.256，個體間差距小于10%。患者患側三維運動空間的大小為33.163，由于康復程度的不同，個體間差距小于15%。兩組之間存在顯著性差異(t=8.804,P〈0.01)。在同一跖屈和背屈角度下，內翻的最大轉動角度比外翻大，內旋的最大轉動角度比外旋大。結論 通過此算法能更準確地量化踝關節三維運動空間的大小，實現對踝關節靈活度和康復程度更全面的評估。

踝關節；康復評定；三維運動空間；多項式擬合；積分；運動捕捉

1 研究背景

踝關節的受損越來越常見，它的恢復周期較長，恢復效果常欠理想，影響人類日常行為[1-3]。隨著科技的發展，踝關節康復機器人的種類越來越多，康復訓練的方式也多種多樣[4-7]。評價其康復程度的方法一般有兩種：一種是根據醫生的經驗進行判斷，這種評價方法依賴于醫生的個人經驗，主觀性強且缺乏統一的標準；另一種是通過測量關節活動度進行判斷。關節活動度指踝關節在各方向上運動時一維的轉動范圍。雖然它考慮到用準確數值表達足踝的靈活度，但并沒有考慮各方向上運動的綜合表達。因此，這兩種評估踝關節康復程度的方法都存在不足。

足踝運動是一個立體空間內的三維運動，而且它在各方向上的運動都相互影響[8-9]。為了找到一個數值來描述踝關節在三維空間內運動空間的大小，既需要考慮踝關節在各個方向上的轉動范圍又要考慮踝關節在各個方向上轉動之間的影響[10-11]。本研究的目的是通過一種算法量化踝關節三維運動空間的大小，并用來評價踝關節的靈活性和康復程度[12]，為建立更加合理的踝關節康復標準提供準確的數據和方法，也為踝關節康復訓練提供反饋指導；同時為踝關節康復訓練儀器以及此方面假肢機器人提供更加完善的數據，使其運動軌跡或運動空間更加接近人體，以提高設備的舒適性[13-15]。

2 三維運動空間的計算原理

人體踝關節是由脛骨的下關節面、內踝關節面和腓骨的外踝關節面共同形成的叉狀關節窩，以及距骨滑車的關節頭構成[16-17]。足可繞此關節做屈伸運動，足向下為跖屈，向上為背屈。由于關節窩和關節頭之間存在縫隙，所以當足跖屈或背屈時，足還可以做內旋、外旋、內翻和外翻運動[18]。踝關節三維運動空間的大小應為三維轉動角度的一種積分。由于內旋、外旋、內翻和外翻轉動的角度都與跖屈和背屈的轉動角度有關，而且這種關系容易被量化，因此選定跖屈和背屈的轉動角度為自變量，設定跖屈時角度為負值，背屈時角度為正值。內旋、外旋、內翻和外翻的最大轉動角度則被設定為因變量。通過角度測量設備可以獲得每個跖屈或背屈角度所對應的內旋、外旋、內翻和外翻的最大轉動角度。再利用數據擬合的方法得到它們的最大轉動角度隨跖屈和背屈轉動角度變化的函數。

因為足踝運動空間的大小是通過結合各方向上運動的三維轉動角度進行積分得到的，所以本文只需要考慮它在各個方向上的轉動角度以及它們之間的相互約束關系，而不需要考慮它的形狀。為了更加形象地把足踝運動空間表達和量化出來，本文把踝關節的轉動部分(距骨滑車)看成一個半徑為1的球體。如圖1所示，當踝關節做跖屈和背屈運動時，該球繞X軸旋轉；當踝關節做內旋和外旋運動時，該球繞Z軸旋轉；當踝關節做內翻和外翻運動時，該球繞Y軸旋轉。本研究在球的上半部分選擇一個半圓作為基線(如圖1中的黑色實線)，同時，這條基線(半圓)在Y軸和Z軸構成的平面上。在每一個跖屈或背屈角度時，踝關節分別做最大內旋、外旋、內翻和外翻運動后基線所掃過的空間構成了一個不規則球面，而這個不規則球面所對應的那部分球體體積就可以代表踝關節在這個跖屈或背屈角度下，通過做四種運動所能達到的空間，稱為子空間。由于本研究規定球的半徑為1，所以得到的該子空間大小完全取決于某一個跖屈或背屈角度下內旋、外旋、內翻和外翻轉動范圍的大小以及它們之間的約束關系。再根據前面擬合的內旋、外旋、內翻和外翻的轉動范圍隨跖屈和背屈的角度變化的方程，便可以得到子空間隨跖屈和背屈角度變化的方程。最后對這個子空間進行關于跖屈和背屈的積分得到踝關節三維運動空間的大小。

圖1 轉動的球體

其計算過程如下。

首先，假設內旋、外旋、內翻和外翻的最大轉動角度隨跖屈和背屈轉動角度變化的函數分別為 f1(x)、f2(x)、 f3(x)、 f4(x)。

接下來計算每一個跖屈或背屈角度所對應的子空間的大小。只要自變量(跖屈和背屈的轉動角度)確定，根據以上四個函數就可以確定相對應的內旋、外旋、內翻和外翻的最大轉動角度，分別記為y1、y2、y3、y4。由于最大外翻與外旋、外翻與內旋、內翻和外旋、內翻與內旋之間都分別存在重合部分，所以在計算某個跖屈或背屈角度所對應的子空間時不能直接使用公式(1)進行計算。應該分別求出外旋能達到而外翻不能達到的部分子空間v1；外旋能達到而內翻不能達到的部分子空間v2；內旋能達到而外翻不能達到的部分子空間v3；內旋能達到而內翻不能達到的部分子空間v4。然后通過公式(2)計算出通過內翻和外翻能達到的部分子空間v5。進而在某個跖屈或背屈角度下的運動子空間的大小可以通過公式(3)計算得到。

以計算外旋能達到而外翻不能達到的部分子空間為例。如圖1所示，為了便于分析，假設球是相對靜止而基線是轉動的。當踝關節外翻時基線掃過球面旋轉到圖中的黑色虛線位置。當踝關節外旋時基線掃過球面旋轉到圖1中的白色實線位置。其中α作為一個輔助角，以便于幾何分析，范圍為[0,π/2]； β為踝關節外翻的最大轉動角度，即為y4；θ為踝關節外旋的轉動角度，其范圍為[0,y2]。φ表示為球面上的任意一點與圓心構成的直線與Z軸的夾角。

基線的初始方程為：

踝關節最大外翻時，基線上點的坐標為：

結合公式(5)、(6)、(7)可得：

對公式(5)、(6)、(7)、(8)、(9)、(10)推導可得：

所以積分變量θ、φ、r的取值范圍分別為：

故外旋能達到而外翻不能達到的部分子空間的大小v1為：

因此，v1為自變量(跖屈和背屈的轉動角度)的變化函數。

同理，也可以得到外旋能達到而內翻不能達到的部分子空間的大小v2。公式(11)中的 β值是踝關節內翻的最大轉動角度，即為y3。θ為踝關節外旋的轉動角度，其范圍為[0,y2]。

在計算內旋能達到而外翻不能達到的部分子空間的大小v3時，公式(11)中的β值是踝關節外翻的最大轉動角度，即為y4。θ為踝關節內旋的轉動角度，其范圍為[0,y1]。

在計算內旋能達到而內翻不能達到的部分子空間的大小v4時，公式(11)中的β值是踝關節內翻的最大轉動角度，即為y3。θ為踝關節內旋的轉動角度，其范圍為[0,y1]。

因此每個跖屈或背屈角度所對應的子空間大小為：

所以，v也是關于自變量(跖屈和背屈的轉動角度)的變化函數。最后通過對v進行關于跖屈和背屈的積分就得到足踝三維運動空間的大小v3D：(xmin表示跖屈的最大角度，其值為負數；xmax表示背屈的最大角度，其值為正數)

3 算法的應用

3.1 實驗器材

本研究采用光學式運動捕捉系統(NaturePoint公司)[19-20]。其基本原理是通過使用12個高分辨率紅外攝像機跟蹤表面涂有一層反光物質的小球，這些小球被稱為標記點。在系統標定后，相機連續拍攝表演者的動作，并將圖像序列保存下來，然后再進行分析和處理，識別其中的標記點，并計算其在每一瞬間的空間位置，進而得到其運動軌跡。這種光學式運動捕捉的優點是采樣速率和精度較高；使用很方便；標記點的數量可根據實際情況任意添加；同時無電纜、機械裝置的限制，表演者可以自由地表演。

3.2 試驗方法

運動捕捉系統不能直接得到踝關節在各個方向上轉動的角度，但能得到每個標記點在每一瞬間的空間位置。所以可以利用向量和三角函數將捕捉到的標記點的坐標值轉化為踝關節的轉動角度。此實驗使用了三個標記點，分別記為mark1、mark2、mark3(圖2)。

圖2 標記點貼裝位置

由于運動捕捉系統是通過標記點反光來得到它的三維坐標。在測量過程中，為了避免某個標記點可能被遮擋，以及腳的凹凸不平和表面皮膚的移動給測量結果帶來的影響，本實驗用繃帶在人的腳底水平固定一個薄的長方形硬板(40×20 cm)，將三個標記點按照圖2所描述的位置貼裝在硬板上，貼裝完成后mark1與mark2構成的直線與mark2與mark3構成的直線是垂直的。

為了避免測量過程中小腿隨腳轉動對測量數據帶來影響，本實驗選用了一個帶有可調節鐵架的醫用床(圖3a)，在測量過程中用繃帶把小腿固定在鐵架上，這樣就能避免小腿隨腳轉動。而且可以根據被測者的身高調整鐵架，避免鐵架對數據測量帶來影響。

為了測得足踝在各個方向上的旋轉角度，需要有參考零點。如圖3b所示，將人的小腿垂直于水平地面，腳底所在的平面和小腿軸線垂直，腳趾指向正前方的狀態定義為初始狀態，此時認為足踝各方向的旋轉角度都為0°。由于小腿呈不規則圓錐狀，所以當小腿被固定在鐵架上的時候，小腿的軸線難以絕對垂直于地面。但在初始狀態時要求腳底所在的平面垂直于小腿軸線，因此平行于腳底所在的平面固定的薄硬板與水平地面并非絕對平行，存在一定的初始誤差。此誤差大小與被測者的腿型和固定薄硬板時的精確度有關。經過統計分析，在初始狀態下，不管相對于哪個轉動方向，硬板與水平地面的夾角都小于4°。所以在后續的數據處理過程中，本研究將采集過程得到的角度減去在初始位置時的角度以消除初始誤差帶來的影響。

開始測量前，要求被測者坐在床上，將帶有標記點的硬板固定在腳底，同時把小腿固定在鐵架上，讓受測者的腳保持在初始狀態。開始測量后，要求被測者在改變跖屈或者背屈角度的時候分別做最大內旋、外旋、內翻和外翻運動，盡量得到每個跖屈或背屈角度所對應的最大內旋轉動角度、最大外旋轉動角度、最大內翻轉動角度和最大外翻轉動角度。如圖3c所示，當測量右腳數據時候，人坐在鐵架的右側，這樣當小腿束縛在鐵架上時，踝關節更容易處于初始狀態，使測量數據更加精確。同理，當測量左腳數據時讓被測者坐在鐵架的左側，如圖3d所示。每個人兩只腳都要被測量。

圖3 測量過程

本實驗選取25例大學生志愿者。一組為20例無踝關節損傷的健康者，另一組為5例近期受過踝關節損傷的患者。其被測者的信息見表1。

表1 兩組被測者的統計信息

3.3 數據的處理

數據測量完畢以后，得到三個標記點的三維坐標序列，再利用向量和三角函數將這些坐標轉化為三維的轉動角度。這樣就得到了在每個采樣時刻跖屈或背屈的轉動角度、內旋或外旋的轉動角度以及內翻或外翻的轉動角度。然后用每個采集時刻得到的角度減去初始位置時的角度以消除初始誤差的影響。

最后篩選出每個跖屈和背屈轉動的角度所對應的內旋、外旋、內翻和外翻轉動的最大角度。因此得到每只腳在不同的跖屈和背屈角度下所對應的內旋和外旋轉動范圍以及內翻和外翻轉動范圍。

然后，將每個健康被測者的左腳和右腳的數據按照踝關節的旋轉方向整理在一起，這樣每個跖屈和背屈的轉動角度會對應兩個內旋和兩個外旋的轉動范圍以及兩個內翻和兩個外翻的轉動范圍，求取平均值后得到每個被測健康者在不同的跖屈或背屈轉動角度下的內旋、外旋、內翻和外翻的平均轉動范圍。

接下來，將所有健康被測者的數據按照踝關節的旋轉方向整理在一起，同時求出所有被測健康者在不同的跖屈或背屈轉動角度下的內旋、外旋、內翻和外翻的平均轉動范圍。

3.4 數據的擬合

由于動作捕捉設備采集的數據是離散的，而足踝的內旋、外旋、內翻和外翻的最大轉動角度隨跖屈或背屈轉動角度的變化應該是一個連續的函數，所以需要對整理的數據進行擬合得到相對應的函數方程。其中自變量是跖屈和背屈的轉動角度，因變量分別是內旋、外旋、內翻和外翻的最大轉動角度。本研究采用了多項式擬合，這種方法可以得到準確的擬合方程[21-23]。經過對全部健康被測者的平均數據進行擬合，得到能代表健康人群內旋、外旋、內翻和外翻的最大轉動角度隨跖屈和背屈的轉動角度變化的方程。

內旋的最大轉動角度隨跖屈和背屈的轉動角度變化的方程為：

外旋的最大轉動角度隨跖屈和背屈的轉動角度變化的方程為：

內翻的最大轉動角度隨跖屈和背屈的轉動角度變化的方程為：

外翻的最大轉動角度隨跖屈和背屈的轉動角度變化的方程為：

3.5 運動空間大小的計算

使用公式(20)，計算得到代表健康人群踝關節的三維運動空間大小為41.256，5例踝關節近期受過傷的患者患側的綜合的三維運動空間的大小為33.163。本研究也計算出每個健康被測者踝關節三維運動空間的大小以及每個患者患側的踝關節三維運動空間的大小，同時使用SPSS 19.0統計軟件對兩組數據進行t檢驗。

結果顯示，每個健康被測者的踝關節運動空間的大小和總體的運動空間大小相差不大，差距不超過10%。而患者患側的踝關節運動空間明顯小于健康組(P〈0.01)。見表2。又由于踝關節的三維運動空間包含了各方向上的轉動范圍以及它們之間的約束關系。因此使用本文的算法得到的踝關節運動空間可更準確地評價踝關節的康復程度。

表2 健康組和患者組足踝三維運動空間比較

4 討論

從踝關節的解剖結構上看，由于脛腓骨下端的關節窩和距骨滑車都是前部較寬后部較窄，背屈時，較寬的滑車前部嵌入關節窩內，所以當足踝背屈時其內旋、外旋、內翻和外翻的轉動范圍下降的比較快，此時關節較穩定。但跖屈時，由于較窄的滑車后部進入關節窩內，此時其內旋、外旋、內翻和外翻的轉動范圍下降的比較慢，但此時關節不夠穩定，故踝關節扭傷多發生在跖屈情況下。如圖4所示，實線和虛線分別表示內翻和外翻的轉動范圍隨跖屈和背屈轉動角度的變化。如圖5所示，實線和虛線分別表示內旋和外旋的轉動范圍隨跖屈和背屈轉動角度的變化。這些曲線的變化規律與對解剖結構分析得到的規律是一致的。同時可以清晰地看出在同一個跖屈或背屈角度下，其內翻的運動范圍比外翻大，內旋的運動范圍比外旋大[24-25]。這證明了此次試驗的準確性和方法的可靠性。

圖4 內翻和外翻轉動范圍的變化

圖5 內旋和外旋轉動范圍的變化

每個健康被測者的踝關節運動空間的大小不一樣。這可能由于每個人身體狀況或者所從事職業的不同造成的。研究人員可以使用此方法對不同的人群設定不同的康復標準。而本研究把所有健康被測者的數據綜合起來求出的踝關節運動空間的大小可作為一個大眾化的康復評價參考標準。康復醫師可以根據該值的大小衡量踝關節的康復情況，也可以根據測得的最大跖屈和最大背屈的轉動角度以及擬合得到的四個方程，評價患者在某個運動方向的靈活程度從而制定針對性的康復訓練方式。

用動作捕捉設備測量關節活動度的已有成果大都將標記點直接貼在被測關節處。而本實驗沒有直接將標記點貼裝在足上，采用一個薄的硬板，這樣避免了在測量過程中表面皮膚的移動給測量結果帶來的影響，提高了測量的準確度。同時本研究也根據人體關節活動度的測量標準使用量角器測量了每個被測者在每個轉到方向上的最大轉動角度。使用運動捕捉設備得到的最大轉到角度與其進行比較，其誤差均小于2°，證明此測量方法的準確性。此測量方法的優點在于不僅可以較準確地得到各方向上的最大轉動角度，而且可以容易得到不同跖屈和背屈角度下的其他四個方向上的最大轉到角度。

本研究的結果與根據踝關節結構分析得到的結果存在一致性，而且計算踝關節三維運動空間大小的算法不僅將踝關節在不同方向的轉動角度結合在一起，而且考慮到了它們之間的相互影響，彌補了醫生的經驗判斷和測量關節活動度兩種評價踝關節康復程度方法的不足。根據測得的最大跖屈和最大背屈的轉動角度以及擬合得到的四個方程，可以評價每個方向上的靈活性和康復程度。同時，也可以利用擬合得到的方程來更加準確地規劃踝關節康復儀器或假肢的運動軌跡。通過比較健康人和患者的三維運動空間的大小，發現患者患側的踝關節運動空間的大小明顯小于健康人，而健康被測者的踝關節運動空間的大小相差不大，證明了此衡量方法的可靠性。此研究對康復醫學和康復機器人的研究具有一定的參考價值。

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AnArithmetic for Quantifying the 3D Motion Space ofAnkle

ZHANG Yun-chao,XIAO Jin-zhuang,WANG Hong-rui
College of Electronic and Information Engineering,Hebei University,Baoding,Hebei 071000,China

Objective To obtain the three-dimensional(3D)motion space of ankle by an integral for the 3D rotation angle with mutual relationships of rotation angles in different directions,which is used to evaluate the flexibility and recovery of ankle more accurately and fully.Methods Twenty-five graduate students were recruited to participate in this study,one group consisted of 20 healthy individuals without ankle injury,and the other was composed of 5 patients with ankle injury.A motion capturing system was used to simultaneously capture the 3D coordinates of the marked points on the foot.Next,these 3D coordinates were converted into rotation angles through trigonometric functions processed.The maximum rotation angles of adduction,abduction,varus,and eversion change with the rotation angles of plantar flexion and dorsal flexure were measured by using polynomial fitting.At last,the size of the ankle's 3D motion space was obtained by integrating the fitting functions.Results The ankle's 3D motion space of the healthy people was 41.256,and the variation among them was less than 10%.The ankle's 3D motion space of the patient side was 33.163,and the variation among them was less than 15%because of the different degrees of rehabilitation.There was significant difference between two groups(t=8.804,P〈0.01).With the same rotation angles of plantar flexion or dorsal flexure,the maximum rotation angle of varus was larger than that of eversion,and the maximum rotation angle of adduction was larger than that of abduction.Conclusion The algorithm can be used to quantify the 3D motion space of ankle more accurately,and to achieve a more comprehensive evaluation of ankle's flexibility and rehabilitation.

ankle;rehabilitative assessment;3D motion space;polynomial fitting;integral;motion capture

XIAO Jin-zhuang.E-mail：robot@hbu.edu.cn

R322.7

A

1006-9771(2017)10-1209-07

10.3969/j.issn.1006-9771.2017.10.018

[本文著錄格式] 張云超，肖金壯，王洪瑞.一種踝關節三維運動空間的量化算法[J].中國康復理論與實踐,2017,23(10)：1209-1215.

CITED AS：Zhang YC,Xiao JZ,Wang HR.An arithmetic for quantifying the 3D motion space of ankle[J].Zhongguo Kangfu Lilun Yu Shijian,2017,23(10)：1209-1215.

河北省自然科學基金項目(No.H2016201201)。

河北大學電子信息工程學院，河北保定市071000。作者簡介：張云超(1992-)，男，漢族，河北石家莊市人，碩士研究生，主要研究方向：踝關節康復的研究。通訊作者：肖金壯(1976-)，男，漢族，河北保定市人，博士，副教授，主要研究方向：智能機器人。E-mail：robot@hbu.edu.cn。

2017-04-10

2017-05-18)