涉及q-差分微分多項(xiàng)式的亞純函數(shù)的唯一性*

李效敏， 劉雪峰， 徐會(huì)彩， 孫銀龍

( 1.中國(guó)海洋大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 山東 青島 266100； 2.中國(guó)人民大學(xué)信息學(xué)院， 北京 100872)

涉及q-差分微分多項(xiàng)式的亞純函數(shù)的唯一性*

李效敏1， 劉雪峰1， 徐會(huì)彩2， 孫銀龍1

( 1.中國(guó)海洋大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 山東 青島 266100； 2.中國(guó)人民大學(xué)信息學(xué)院， 北京 100872)

本文研究亞純函數(shù)及其q-差分算子或差分算子的1類非線性多項(xiàng)式的導(dǎo)函數(shù)分擔(dān)1個(gè)非零公共值的亞純函數(shù)的唯一性問(wèn)題，這些問(wèn)題涉及2009年方明亮提出的1個(gè)涉及微分多項(xiàng)式的亞純函數(shù)的唯一性問(wèn)題。本文結(jié)果推廣了方明亮等人的有關(guān)結(jié)果。

q-差分多項(xiàng)式；微分多項(xiàng)式；零級(jí)亞純函數(shù)；唯一性定理

1976年，楊重駿提出了下述問(wèn)題：

問(wèn)題2[4]假設(shè)f與g是2個(gè)非常數(shù)的整函數(shù)，n是1個(gè)正整數(shù)。如果f與gCM分擔(dān)0,f(n)與g(n)CM分擔(dān)1,并且2δ(0,f)>1,那么f與g的關(guān)系如何？

1990年，儀洪勛解決了問(wèn)題2，證明了下述定理：

定理3[5]假設(shè)f與g是2個(gè)非常數(shù)的整函數(shù)，n是1個(gè)正整數(shù)。如果f與gCM分擔(dān)0，f(n)與g(n)CM分擔(dān)1，并且2δ(0,f)>1,那么f=g或者f(n)g(n)=1。

1997年，I. Lahiri提出了下述問(wèn)題：

問(wèn)題4[6]如果2個(gè)非常數(shù)的亞純函數(shù)的非線性微分多項(xiàng)式CM分擔(dān)1，那么這2個(gè)亞純函數(shù)的關(guān)系如何？

1997年，楊重駿和華歆厚研究了問(wèn)題4，證明了下述定理：

定理5[7]假設(shè)f與g是2個(gè)非常數(shù)的亞純函數(shù)，n是1個(gè)正整數(shù)且滿足n≥11。如果fnf′與gng′CM分擔(dān)1，那么f與g滿足下述2種情形之一：(i)f=tg,其中t是一個(gè)常數(shù)，且滿足tn=1;(ii)f=c1ecz,g=c2e-cz,其中c,c1和c2是非零常數(shù)，且滿足(c1c2)n+1c2=-1。

2002年，方明亮證明了下述結(jié)果，在整函數(shù)條件下研究了問(wèn)題4，證明了下述定理：

定理6[8]假設(shè)f與g是2個(gè)非常數(shù)的整函數(shù)，n與k是2個(gè)正整數(shù)且滿足n≥2k+8。如果(fn(f-1))(k)與(gn(g-1))(k)CM分擔(dān)1，那么f=g。

2009年，方明亮在華東師范大學(xué)復(fù)分析會(huì)議上提出了下述問(wèn)題：

問(wèn)題7 假設(shè)f與g是2個(gè)非常數(shù)的亞純函數(shù)，n,k是2個(gè)正整數(shù)且滿足n>3k+11。如果(fn(f-1))(k)與(gn(g-1))(k)CM分擔(dān)1，那么是否有f=g？

截止到目前，問(wèn)題7還沒(méi)有得到徹底解決。近幾年來(lái)Halburd-Korhonen[9]以及馮紹繼與蔣翼邁[10]分別建立了差分Nevanlinna理論，Laine-Yang[11]得到了涉及差分多項(xiàng)式的Clunie定理。應(yīng)用這些理論，一些芬蘭學(xué)者和中國(guó)學(xué)者開(kāi)始了差分唯一性理論的研究[12-14]。本文將利用q-差分Nevanlinna理論，結(jié)合微分多項(xiàng)式具有一個(gè)非零公共值的亞純函數(shù)唯一性問(wèn)題的研究方法，研究1類q-差分微分多項(xiàng)式具有一個(gè)非零公共值的亞純函數(shù)的唯一性問(wèn)題，具體說(shuō)來(lái)，本文將研究下述幾個(gè)問(wèn)題：

問(wèn)題10 在問(wèn)題8中，如果(fn(z)(f(z)-1))(k)與(fn(qz)(f(qz)-1))(k)IM分擔(dān)1，其它條件不變，那么n,k在滿足什么條件下，有結(jié)論f(z)=f(z+η)。

本文將研究問(wèn)題8-問(wèn)題11，并首先證明下述兩個(gè)定理：

定理13 假設(shè)f(z)是1個(gè)非常數(shù)的零級(jí)亞純函數(shù)，Δqf(z)=f(qz)-f(z)是f(z)的q-差分算子，其中q是一個(gè)非零復(fù)數(shù)。如果(fn(z)(f(z)-1))(k)與((Δqf(z))n(Δqf(z)-1))(k)CM分擔(dān)1，其中n和k是兩個(gè)正整數(shù)且滿足n>3k+11，并且Θ(∞,f)>2/n，那么f(z)=Δqf(z)。

用證明定理12和定理13的類似方法和本文引理11可得下述兩個(gè)定理：

1 幾個(gè)引理

引理1[1，Theorem3.2]假設(shè)f是1個(gè)非常數(shù)的亞純函數(shù)，k是1個(gè)正整數(shù)，c≠0是1個(gè)有限值，那么

T(r,F)=max{p,q}T(r,f)+O(1)。

引理3[16，引理2.3的證明]假設(shè)F是1個(gè)非常數(shù)的亞純函數(shù)，k與p是2個(gè)非常數(shù)的正整數(shù)，那么

引理4 假設(shè)f與g是2個(gè)非常數(shù)的亞純函數(shù)，n和k是2個(gè)正整數(shù)且滿足n>3k+11。如果(fn(f-1))(k)與(gn(g-1))(k)CM分擔(dān)1，那么(fn(f-1))(k)(gn(g-1))(k)=1或者(fn(f-1))(k)=(gn(g-1))(k)。

證明 置

(1)

情形1 假設(shè)H不恒等于零。

設(shè)z0是(fn(z)(f(z)-1))(k)與(gn(z)(g(z)-1))(k)的一個(gè)公共單零點(diǎn)。將(fn(z)(f(z)-1))(k)與(gn(z)(g(z)-1))(k)在z0點(diǎn)的Taylor展示代入(1)可知，z0是H的零點(diǎn)。于是再由(1)及引理4的條件可得

T(r,H)+O(1)≤

N(r,H)+m(r,H)+O(1)≤

S(r,f)+S(r,g)，

(2)

(n+1)T(r,f)+O(1)=T(r,fn(f-1))≤

即

(n+1)T(r,f)≤

(3)

同理

(n+1)T(r,g)≤

(4)

再由(2)和引理4的已知條件可得

即

(5)

將(5)代入(3)和(4)相加所得的不等式的右邊，并整理得

(n+1)T(r,g)≤

(6)

同理

(n+1)T(r,f)≤

(7)

由(6)和(7)可得

由此得n≤3k+11，這與已知條件n>3k+11矛盾。

情形2 假設(shè)H=0。由(1)可得

(8)

由(8)連續(xù)積分兩次可得

(9)

其中a和b是兩個(gè)常數(shù)，并且a≠0。分三種子情形討論如下：

子情形2.1 假設(shè)a=b。如果b=-1，由(9)

可得(fn(f-1))(k)(gn(g-1))(k)=1，

于是引理4的結(jié)論成立。

如果b≠-1，那么(9)可變?yōu)?/p>

(10)

由(10)可得

(11)

由(11)和引理1，引理2和引理3可得

(n+1)T(r,g)=T(r,gn(g-1))+O(1)≤

(12)

同理可得

(13)

由(12)和(13)可得

n(T(r,f)+T(r,g)) ≤

(2k+4)(T(r,f)+T(r,g))+S(r,f)+S(r,g)，

由此可得n≤2k+4，這與已知條件n>3k+11矛盾。

子情形2.2 假設(shè)a≠b并且b≠0。如果b=-1，那么(9)變?yōu)?/p>

(14)

由于(fn(f-1))(k)與(gn(g-1))(k)CM分擔(dān)1，由(14)可得

(n+1)T(r,g)=T(r,gn(g-1))+O(1)≤

(k+3)T(r,g)+T(r,f)+S(r,g)，

于是

(n-k-2)T(r,g)≤T(r,f)+S(r,g)。

(15)

另一方面，再將(14)改寫(xiě)成

(16)

由(16)和引理3可得

(n+1)T(r,f)=T(r,fn(f-1))+O(1)≤

(k+3)T(r,f)+(k+3)T(r,g)+S(r,f)，

于是

(n-k-2)T(r,f)≤(k+3)T(r,g)+S(r,f)。

(17)

由(15)，(17)和條件n>3k+11可得矛盾。

如果b≠-1，那么(9)變?yōu)?/p>

(fn(f-1))(k)-(1+1/b)=

(18)

由(18)，類似于(14)條件下的推導(dǎo)過(guò)程可得矛盾。

子情形2. 3 假設(shè)a≠b并且b=0。由(9)可得

a(fn(f-1))(k)=(gn(g-1))(k)。

(19)

如果1不是(fn(f-1))(k)與(gn(g-1))(k)的Picard例外值，則存在(fn(f-1))(k)與(gn(g-1))(k)的公共1-值點(diǎn)z1，使得(f(z)n(f(z)-1))(k)|z=z1=(g(z)n(g(z)-1))(k)|z=z1=1，該式結(jié)合(19)可的a=1,于是引理4的結(jié)論成立。以下假設(shè)f,g是兩個(gè)超越亞純函數(shù)。一方面，由(19)可得

afn(f-1)=gn(g-1)+P1，

(20)

其中P1是一個(gè)次數(shù)不超過(guò)k的多項(xiàng)式。假設(shè)P1不恒等于零，由(20)，引理1和引理2可得

T(r,f)=T(r,g)+O(logr)，

(21)

和

(n+1)T(r,f)=T(r,fn(f-1))+O(1)≤

S(r,f)≤

(k+3)T(r,f)+(k+3)T(r,g)+S(r,f)。

(22)

由(21)和(22)可得n≤2k+5，這與n>3k+11矛盾。于是P1=0，(20)變?yōu)閍fn(f-1)=gn(g-1)，由此得

a(fn(f-1))(k)=(gn(g-1))(k)。

(23)

另外，由前面得到的(3)可得

(n-k-2)T(r,f)≤

(24)

由(24)可知(fn(f-1))(k)-1有零點(diǎn)。注意到(fn(f-1))(k)與(gn(g-1))(k)CM分擔(dān)1，由(23)可知a=1，于是引理4成立。引理4證畢。

引理5[17]

在對(duì)數(shù)密度是1的集合上成立。

引理6[18，Theorem1. 1]假設(shè)f是1個(gè)非常數(shù)的零級(jí)亞純函數(shù)，則在下對(duì)數(shù)密度為1的集合上有T(r,f(qz))=T(r,f(z))(1+o(1))。

引理7[18，Theorem1. 3]假設(shè)f是1個(gè)非常數(shù)的零級(jí)亞純函數(shù)，則在下對(duì)數(shù)密度為1的集合上有N(r,f(qz))=N(r,f(z))(1+o(1))。

如果C1>1,C2>1,那么集合E={r：T(C1r)≥C2T(r)}的對(duì)數(shù)密度為零。

引理10[20]假設(shè)s>0和t是2個(gè)互素的整數(shù)，c是一個(gè)滿足cs=1的復(fù)數(shù)，那么ωs-1與ωt-c有且只有一個(gè)公共零點(diǎn)。

引理11[21]假設(shè)f與g是2個(gè)非常數(shù)的亞純函數(shù)，k≥1是一個(gè)正整數(shù)，并且f(k)與g(k)IM分擔(dān)1。如果

Δ1=(2k+3)Θ(∞,f)+(2k+4)Θ(∞,g)+Θ(0,f)+Θ(0,g)+2δk+1(0,f)+3δk+1(0,g)>4k+13

和

Δ2=(2k+3)Θ(∞,g)+(2k+4)Θ(∞,f)+Θ(0,g)+Θ(0,f)+2δk+1(0,g)+3δk+1(0,f)>4k+13

成立，那么f(k)g(k)=1或者f=g。

2 定理的證明

定理13的證明 設(shè)f(qz)-f(z)=g(z)。由引理4，分兩種情形討論如下：

情形1 假設(shè)

((f(z)n(f(z)-1))(k)((f(qz)-f(z))n(f(qz)-f(z)-1))(k)=1。

(25)

首先，(fn(f-1))(k)不恒等于常數(shù)。事實(shí)上，若(fn(f-1))(k)恒等于某個(gè)常數(shù)，那么

fn(f-1)=Pk，

(26)

其中Pk是某個(gè)次數(shù)≤k的多項(xiàng)式。注意到f是一個(gè)非常數(shù)的亞純函數(shù)，并且n>3k+11，無(wú)論f是有理函數(shù)還是超越亞純函數(shù)，我們都可以由(26)和引理2得出矛盾。設(shè)

(27)

則由(27)可知f(qz)-f(z)=f(z)(h(z)-1)，于是(25)可寫(xiě)成

(28)

其中

h1=(h-1)n(f-1)(f(h-1)-1)。

(29)

于是由(28)，(29)和引理5可得

m(r,h1(z))+o(T(r,f))≤

2m(r,f(z))+o(T(r,f))。

(30)

另一方面，由(25)和條件n>3k+11可知，f(z)的每個(gè)極點(diǎn)一定是f(qz)的極點(diǎn)，而Δqf(z)=f(qz)-f(z)的極點(diǎn)是f(z)的解析點(diǎn)，從而由引理7可知

N(r,Δqf(qz))≤N(r,f(qz))-N(r,f(z))=o(T(r,f))。

(31)

在r的下對(duì)數(shù)密度為1的集合上成立。

再由(25)，(31)和條件n>3k+11可得

N(r,((Δqf(z))n(Δqf(z)-1))(k))≤

o(T(r,f))，

從而

(32)

在下對(duì)數(shù)密度為1的集合上成立。再由(30)，(32)和第一基本定理可得

2m(r,f(z))+o(T(r,f))≤2T(r,f(z))+o(T(r,f))

在r的下對(duì)數(shù)密度為1的集合上成立。

該式結(jié)合條件n>3k+11可得T(r,f)=o(T(r,f))在r的下對(duì)數(shù)密度為1的集合上成立，從而f為常數(shù)函數(shù)，這與已知條件矛盾。

情形2 假設(shè)

(fn(f-1))(k)=(gn(g-1))(k)，

(33)

其中g(shù)(z)=f(qz)-f(z)。

(34)

由(33)可得

fn(f-1)-gn(g-1)=Qk。

(35)

其中Qk是一個(gè)次數(shù)不超過(guò)k的多項(xiàng)式。如果Qk不恒為零，由(35)，引理2和引理9可得

和(n+1)T(r,f)=T(r,fn(f-1))+O(1)≤

該式與條件n>3k+11可知，不論f是非常數(shù)的有理函數(shù)還是超越亞純函數(shù)，均可得到矛盾。所以Qk=0，于是(35)變?yōu)?/p>

fn(f-1)=gn(g-1)。

(36)

假設(shè)f不恒等于g。設(shè)

(37)

以下分兩子種情形討論：

子情形2.1 假設(shè)h是一個(gè)常數(shù)，那么h≠1，于是1-hn+1和1-hn+1不同時(shí)為零。由(36)和(37)可得(1-hn+1)g=1-hn，于是(1-hn+1)(1-hn)≠0，從而

(38)

這與g為非常數(shù)的亞純函數(shù)矛盾。

子情形2.2 假設(shè)h不恒為常數(shù)，那么h-1，1-hn+1和1-hn全不恒為零，于是由(36)和(37)可得(38)。由引理10可知，1-ωn+1和1-ωn有且只有一個(gè)公共零點(diǎn)ω=1。由此結(jié)合(38)和引理2可得

(39)

于是S(r,f)=S(r,h)。由第二基本定理可得

(n-2)T(r,h)+S(r,h)，

(40)

其中，αj(1≤j≤n)是ωn+1=1的n個(gè)判別的根并且αj≠1。于是由(39)(40)可得

這與已知條件Θ(∞,f)>2/n矛盾。于是f=g，即f=Δqf。從而完成了定理13的證明。

定理12的證明：

由引理4，分兩種情形討論如下：

情形1 假設(shè)

(f(z)n(f(z)-1))(k)(f(qz)n(f(qz)-1))(k)=1。

(41)

首先類似于定理13證明過(guò)程中的情形1可得(fn(f-1))(k)和(f(qz)n(f(qz)-1))(k)均不恒為常數(shù)。再由(41)，引理3，引理5和引理6可得

N(r,(f(z)n(f(z)-1)(k))=

(k+1)T(r,f(qz))+T(r,f(qz)-1)+

(k+2)T(r,f(qz))+S(r,f(z))≤

(k+2)T(r,f(z)+S(r,f(z))。

(42)

由引理8可得

(43)

由(42)和(43)可得

(44)

情形2 假設(shè)

(f(z)n(f(z)-1))(k)=(f(qz)n(f(qz)-1))(k)。

(45)

由(45)，類似于定理13的證明過(guò)程中情形2可得f(z)=f(qz)，于是完成了定理12的證明。

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UniquenessResultsConcerningDifferentialPolynomialsandq-DifferencePolynomialsofMeromorphicFunctions

LI Xiao-Min1, LIU Xue-Feng1, XU Hui-Cai2, SUN Yin-Long1

(1.School of Mathematical Sciences，Ocean University of China, Qingdao 266100, China; 2.School of Information, Renmin University of China, Beijing 100872, China)

In this paper, we study the uniqueness questions for the derivatives of certain nonlinear polynomials of meromorphic functions and their q- shifts or q-difference operators sharing a finite nonzero value, the questions are related to a question concerning differential polynomials of meromorphic functions which was posed by M. L. Fang in 2009. The results in this paper extend the corresponding results given by M. L. Fang and others．

q-difference polynomials； defferential polynomials； meromorphic functions of zero order； uniqueness theorems

O174. 52

A

1672-5174(2017)12-137-08

責(zé)任編輯 陳呈超

10.16441/j.cnki.hdxb.20140280

李效敏， 劉雪峰， 徐會(huì)彩，等. 涉及q-差分微分多項(xiàng)式的亞純函數(shù)的唯一性[J].中國(guó)海洋大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2017, 47(12)： 137-144.

LI Xiao-Min, LIU Xue-Feng, XU Hui-Cai， et al.Uniqueness results concerning differential polynomials and q-difference polynomials of meromorphic functions[J].Periodical of Ocean University of China, 2017, 47(12)： 137-144.

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11461042，11171184)；山東省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(ZR2014AM011)；中國(guó)人民大學(xué)科學(xué)研究基金項(xiàng)目(16XNH117)資助

Suppoted by the National Science Foundation of China(11461042，11171184)；the National Science Foundation of Shandong Province, China(ZR2014AM011)；the Reseach Funds of Renmin University of China(16XNH117)

2014-09-12;

2015-05-05

李效敏(1967-)，男，教授。E-mail: lixiaomin@ouc.edu.cn

AMSSubjectClassifications30D35；30D30