基于譜聚類特征向量分析的模態劃分方法

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(華東理工大學化工過程先進控制和優化技術教育部重點實驗室,上海 200237)

基于譜聚類特征向量分析的模態劃分方法

南男,楊健,趙晶晶,侍洪波

(華東理工大學化工過程先進控制和優化技術教育部重點實驗室,上海200237)

在實際生產過程中,過程數據的多模態特性會對數據建模產生一定的影響,進行模態劃分有利于獲取精確的模型。目前常用的模態劃分方法,如k-means、c-means等聚類方法,在有過渡過程的模態劃分應用中,有時不能得到理想的結果。本文提出了一種通用的模態劃分方法,以譜聚類算法中相似矩陣的特征向量分析為基礎,基于相似矩陣的特征向量與其所包含的聚類信息的關系,使用高斯曼哈頓距離構造模態標簽,并用小窗口思想實現動態多模態過程的模態劃分。通過對穩態與帶過渡過程的多模態數據的實驗驗證了該算法的有效性。

多模態數據; 模態劃分; 過渡過程; 譜聚類

在實際生產過程中,由于生產條件或生產目標的變化,過程數據呈現出多模態的特性,而傳統的基于數據建模的多元統計過程控制算法(Multivariate Statistical Process Control,MSPC)假設過程數據來自于單一穩定的生產模態并滿足獨立同分布,用于多模態過程監控及故障診斷將會產生較大的誤差。針對這一問題,最直接的解決思路是對不同模態建立不同的模型進行相應的過程監控步驟,因此需要在建立多模型監控策略之前對多模態數據進行模態劃分。

目前較為常用的模態劃分方法[1-3]一般采取流行的聚類算法,如k-means、c-means、GMM等。近年來一些新的模態劃分方法被提出。楊雅偉等[4]提出利用差分策略以及LOOP 算法實現針對多模態數據的模態劃分,可以根據差分矩陣中不同模態樣本差分的點來找到模態切換點,相較于以上流行的聚類算法,具有不需要提前確定模態個數以及不會陷入局部最優的優點,但是該聚類算法僅適用于穩態多模態過程,對于含有過渡過程的動態多模態過程不能很好聚類。Song等[5]提出了一種時間窗口與遞歸局部離群因子相結合的模態劃分方法,可以將一個穩定模態的數據劃分為一個子數據集,將一個完整的過渡模態劃分為多個過渡子模態。張淑美等[6]提出了一種系統的全自動離線模態識別方法。首先選取長度為H的切割窗口對離線建模數據進行切割,并使用改進的k-means算法對窗口均值向量進行聚類,以實現穩定模態和過渡模態的初步劃分;在初步確定模態的基礎上,選定一個小滑動窗口L,對穩定模態及過渡模態交接區域進一步細劃分,準確定位穩定模態與過渡模態的分割點,實現多模態建模數據的模態識別。薛寧靜[7]提出使用譜聚類算法進行模態劃分,將熵值估計引入譜聚類特征選擇中,可以更加有效地提取出數據間的聚類特性,為后續的聚類分析提供方便。但是在實際生產過程中,從一個模態到另一個模態的切換是一個漸變的過程,即存在一定時間長度的過渡區域,并且在這個過渡區域內,變量關系以及數據集形狀較為復雜。k-means、GMM等傳統的聚類方法在存在過渡過程的模態劃分應用中并不能得到較理想的結果,目前對于過渡過程的模態劃分問題仍然是研究的熱點。一些簡單的過程具有模態指示變量,可以通過檢測模態指示變量識別出模態的變化以及過渡過程;對于復雜過程,一種可行的思路是構建模態標簽,通過檢測模態標簽識別出模態的變化以及過渡過程。

譜聚類[8-9]是最近幾年發展起來的一種聚類方法,它建立在譜圖理論基礎上,與傳統的聚類算法如k-means、c-means相比,它具有能在任意形狀的樣本空間上聚類且收斂于全局最優解的優點,因此,譜聚類算法在數據分析領域尤其是模式識別領域成為關注的焦點。王玲等[10]提出的基于密度敏感的相似性度量的譜聚類算法,不僅能夠處理多尺度聚類問題,而且對參數選擇相對不敏感。楊藝芳等[11]提出的基于核模糊相似度度量的譜聚類算法,通過利用基于核模糊C均值聚類算法得到的劃分矩陣中隸屬度的分布特點,提出了一個新的核模糊相似度度量,并將基于所提出的新的相似度度量的譜聚類算法應用于圖像分割中,取得了不錯的效果。Semertzidis等[12]提出的基于成對約束連接組件的譜聚類算法,在處理大規模數據集時取得了不錯的結果。Wang等[13]提出的基于非負矩陣因子分解的譜聚類算法,彌補了基于稀疏表示的譜聚類的不足,有望處理高維數據。譜聚類算法的核心思想是通過對相似矩陣或拉普拉斯矩陣的特征向量聚類從而達到對數據集聚類的目的,即認為特征向量中包含有一定的聚類信息。k-means與c-means等流行的聚類算法已經被廣泛應用在多模態過程的模態劃分,譜聚類方法在模態劃分中的應用卻很少,根據譜聚類的特性,可以提取相似矩陣特征向量中的聚類信息并構造出一個模態標簽變量來進行模態劃分。

本文提出了一種通用的模態劃分方法。以譜聚類算法中相似矩陣的矩陣分析為基礎,根據譜聚類特征向量與其所包含的聚類信息的關系,使用高斯曼哈頓距離構造一個可以識別出各個生產模態的模態標簽,從而實現多模態過程的模態劃分。通過分析田納西-伊斯曼過程仿真的多模態數據驗證了該算法的有效性。

1 譜聚類特征向量分析

譜聚類算法建立在譜圖理論[14-15]基礎上,設數據集V=[v1,v2,…,vn]是待聚類數據集,譜聚類算法將待聚類的每一點看作是圖上一點,在求得相似矩陣之后,譜聚類算法便將點的聚類問題轉化為圖的劃分問題。實現圖的劃分的關鍵步驟是挑選出特征向量構成特征向量矩陣,通過對特征向量矩陣行向量聚類達到最終的聚類目標。不同的譜聚類算法主要體現在譜圖劃分準則的不同,對應著特征向量的不同選擇方法。目前流行的選擇方法是選擇最大的幾個特征值所對應的特征向量。

近幾年有文獻提出,相似度矩陣的特征值越大,其所對應的特征向量攜帶的分類信息并非越多,而且每個特征向量所攜帶的分類信息也不盡相同,因此需要根據實際需要進行特征向量的選取。文獻[16]對于K類聚類問題提出基于均值的特征向量選擇方法,從拉普拉斯矩陣計算3K個最大特征值的平均值,然后選擇其特征值最接近平均特征值的K個特征向量。文獻[17]通過定義一個相關性度量函數,用來表征每個待選的特征向量所攜帶的分類信息,然后選取所有相關性度量值大于0.5的特征向量進行下一步聚類。文獻[18]首先從數據集中獲得一定量的監督信息,并利用監督信息定義一個用來評價特征向量對于聚類貢獻度的指標,然后根據這個指標采用免疫克隆選擇算法來確定最優的特征向量組合。

以上幾種譜聚類算法的差別只是選取的矩陣及特征向量不同,并沒有闡釋矩陣的譜和特征矩陣與聚類之間的關系。田錚等[19]使用矩陣的擾動理論,通過研究理想情況下相似矩陣的譜和特征向量與聚類之間的關系并推廣至一般情況,得到了相似矩陣的特征向量和聚類之間的關系。

假設本文研究的數據是理想分布的,即從某個穩定模態開始,并且按時間順序排列。首先分析無擾動情況下的相似矩陣,設數據集V={v1,v2,…vn}有k類且數據元素按順序屬于每一類進行排列,即

利用高斯核函數Aij=exp[-d2(vi,vj)/2σ2]求任意兩點間的相似度構成相似矩陣A,相似矩陣形式如下:

(1)

其中:Ai是相似矩陣A的子矩陣,對應著第i個模態Vi,如果第i個模態中有ni個點,則有Ai∈Rni×ni為全1方陣。所以,在理想情況下,取A最大的k個特征值對應的特征向量X1～Xk構成特征向量矩陣X=[X1,X2,…,Xk],根據矩陣理論,X矩陣形式如下[19]:

(2)

式中,xi是ni維全1列向量[20]。

2 基于模態標簽的多模態過程劃分

2.1穩態多模態過程劃分

在穩態多模態過程劃分問題中,由于生產過程中噪聲的影響,相似矩陣A也會受到影響。把相似矩陣A的約束條件放寬:在式(1)中,將Ai從全1陣弱化為數值小于等于1 (接近于1)的實對稱矩陣,則特征向量空間X仍然可以用式(2)表示,只是xi不再是全1矩陣。令?i為X的第i行,則?i所攜帶的分類信息對應于原數據的第i個點,可以通過對?i的聚類達到對原數據進行聚類的目的。

(3)

以上分析只是放松了同類間的約束,在實際情況中,還應考慮不同類間的擾動。當vi與vj不在同一類時,Aij不再等于0,此時式(3)不再成立。文獻[19]以數值計算形式說明擾動約束在一定范圍內,當特征矩陣的行向量夾角的余弦值cos(?i,?j)>0.387時,對應的vi和vj屬于同一類;當cos(?i,?j)<0.387時,vi和vj不屬于同一類。定義tagi=1-cos(?i,?i+1)為模態變化標簽,即tagi的值可以揭示模態是否發生變化,則穩態多模態過程劃分算法步驟如下:

(1) 利用以下公式求出多模態過程數據集V的相似矩陣A。

其中vi和vj是V中第i點與第j點。

(2) 求A的最大的k個特征值與其對應的特征向量X1,X2,…,Xk,構造特征向量矩陣X。

(3) 對X進行一次中值濾波,濾波后的結果仍記為X。

(4) 令?i為X的第i行,求出tagi=1-cos(?i,?i+p)。

(5) 當tagi>0.613(理想情況應接近于0)時,找到離i最近的點f,使得tagf<0.613,則認為第f點為下一個模態開始的起點(p取5～10)。

(6) 找到所有的k-1個跳變點,即可以完成模態的劃分。

2.2動態多模態過程劃分

由以上結論可知,穩態多模態待劃分樣本V相似矩陣的最大k個特征值對應的特征向量所組成的矩陣X包含了原始數據的k類模態信息。將X的第i行看作新的待劃分點?i,則?i對應著樣本V中的第i點,通過對?i的劃分實現對樣本V劃分的目的。當加入過渡過程后,考慮兩個穩態中包含一個過渡過程的情況。取樣本V相似矩陣最大的兩個特征值對應的特征向量組成矩陣X,由于過渡數據點是從第1個穩態到第2個穩態逐漸變化的,所以這些點所對應的行向量?也是逐漸變化。由于過渡過程對應的行向量變化比較復雜,cos(?i,?j)攜帶的信息不足以指示模態劃分,所以需要提出一個新的指標。因為使用一個二維的行向量?來儲存模態信息,且屬于不同模態的點對應的行向量理想情況下正交,因此,利用曼哈頓距離可以充分提取聚類信息。高斯曼哈頓距離可以放大處于不同模態下兩點間的差別而且可以通過調節參數h改變高斯函數的形狀。設兩點v1=(x1,y1),v2=(x2,y2),高斯曼哈頓距離定義如下:

(4)

本文使用?i各點到基準點?base的高斯曼哈頓距離作為模態標簽。高斯曼哈頓距離攜帶足夠的模態信息,與基準點有相同高斯曼哈頓距離的點屬于同一模態,如果兩點間的高斯曼哈頓距離為零,則這兩個點也屬于同一模態,當有擾動存在時,只要給定適當的閾值也可以實現模態劃分。在求出第i點到基準點的高斯曼哈頓距離記為模態標簽di后,接下來的問題就是如何根據di精準劃分過渡過程。本文將使用小窗口[21]的思想來實現這一目的。首先定義系統的穩定模態的最小運行長度為H,然后選取H為窗口的長度,將待劃分的多模態過程分成一系列按順序排列的長度為H的窗口,每個窗口內有H個樣本點。

通過定義并分析第i個窗口Hi與穩定模態基準時段的相似度γH(i,base)確定過渡過程所在的大致區域,相似度γH(i,base)計算方法如下:

Hi窗口中各點模態標簽值均值:

(5)

與穩定模態基準時段相似度:

ΔMi=|Mi-M1|

(6)

其中:式(5)計算的是第i個大窗口Hi中各點模態標簽值均值Mi,Mi可以認為是大窗口Hi的窗口模態標簽,具有相同均值或均值差在給定閾值之內的兩個窗口屬于同一模態。式(6)計算第i個窗口Hi與穩定模態基準時段(認為第1個模態即為基準時段)的相似度γH(i,base),其中ΔMi表示第i個窗口Hi與第1個窗口H1的窗口模態標簽值的差,ΔMi小于給定的閾值,兩個窗口屬于同一模態,ΔMi大于給定的閾值,兩個窗口屬于不同模態。ΔMi越大,γH(i,base)越小;ΔMi越小,γH(i,base)越大。

依次計算第i個窗口Hi與穩定模態基準時段的相似度γH(i,base)從中揭示過程模態特性沿著時間方向的發展變化,進而判斷穩定模態與過渡模態的范圍。如果γH(i,base)大于給定的過渡過程開始閾值(取ΔMi/ΔMmax=0.05),認為當前窗口屬于第1個穩態;相反,如果γH(i,base)小于這個閾值,則認為當前窗口的過程特性發生變化,由穩定模態進入過渡模態。窗口再向后推移,隨后當前窗口與基準窗口相似度γH(i,base)持續小于另一個給定的過渡過程結束閾值(取ΔMi/ΔMmax=0.95),則認為對應的數據點開始進入第2個穩態。

根據H窗口可以大致找到第1個穩態的結束與第2個穩態的開始,但是無法精準地判斷過渡過程的起點與終點。由于過渡模態的過程特性變化較為劇烈,如果繼續選用較長長度的H窗口,過渡過程的細節信息(過渡過程開始的時間、過渡過程結束的時間等)都無法準確判斷。為了準確地獲得過渡過程的這些細節信息,選擇一個較小的窗口長度L(L定義為“最小過渡子模態長度”,是涵蓋一段相同過渡子過程特性的最短運行時間長度),通過分析L窗口內模態標簽進而準確地判斷過渡模態的開始時間和結束時間。

動態多模態過程劃分算法步驟如下:

(1) 對待聚類數據集V進行中值濾波,消除擾動的影響得到新的數據集仍記為V。

(2) 利用以下公式求出多模態過程數據集V的相似矩陣A。

其中vi和vj是V中第i點與第j點。

(3) 求A的最大的兩個特征值對應的特征向量X1,X2,構造特征向量矩陣X=[X1,X2]。

(4) 取X的第i行?i記為第i點,?i=(xi,yi),求出各點與基準點的高斯曼哈頓距離記為模態標簽di。

(7)

(5) 選取長度為H的窗口,從左到右滑動窗口將樣本切成長度為H的連續片段。計算第i個大窗口Hi與穩定模態基準時段的相似度γH(i,base)。找到γH(i,base)<0.951的第1個窗口Hp,認為第p個窗口脫離第1個穩態。從第q個窗口開始,γH(i,base)<0.387,則認為從第Hq+1窗口開始進入第2個穩態。

(8) 在Ls與Lt中,根據di精確確定過渡過程的起點s與終點t。

3 實驗驗證

3.1概述

本文的實驗數據來源于田納西-伊斯曼過程的仿真[22],該過程是一個基于真實工業過程的仿真。TE過程的狀態變量共有42個,在實驗過程中監控所有的42個狀態變量。模擬70 h的仿真過程,每小時采樣100次,穩定模態最短運行時間為1 h。在過程運行到10 h時改變設定值過程由穩定模態A進入過渡模態A-B,在15 h進入第2個穩定模態B。共改變兩次設定值得到3種穩定模態的運行數據以及兩次過渡模態數據,關于各個模態的說明及其對應的樣本點序號如表1所示,其中過渡模態A-B開始于1 002點結束于1 500點。

3.2穩態多模態過程劃分實驗

實驗選取穩定模態A、B、C作為待劃分樣本V(V中共5 502點,1～1 001點屬于第1個穩態,1 002～3 502點屬于第2個穩態,3 503～5 502點屬于第3個穩態),隨機選取TE過程中的4個變量(變量15、27、34、47)作樣本,實驗結果如圖1所示。

使用k-means與GMM算法對樣本V進行模態劃分,結果如圖2所示,使用本文算法的劃分結果如圖3所示。

表1 TE過程仿真多模態過程說明

圖1 穩態多模態TE過程樣本4個變量變化曲線Fig.1 Curves of four variables in TE process

圖2 k-means、GMM模態劃分結果Fig.2 Verification results based on k-means and GMM

圖3 基于譜聚類的模態劃分結果Fig.3 Verification results based on spectral clustering

圖1顯示TE過程的42個狀態變量在過程狀態發生變化時并不是同步變化,如變量47在3種模態下的值各不相同且差別較大;變量27與變量34在模態1與模態2下的值維持穩定,在模態3下的值變小,且變量27的變化幅度大于變量34;變量15在3種模態下的值都是穩定的。由于缺乏先驗知識,每個變量所占權重未知,因此不能確定以哪個變量為標準進行模態劃分,故無法直接根據過程變量進行模態劃分。

圖2示出了使用k-means與GMM進行模態劃分得到的結果,縱坐標為模態標簽,具有相同模態標簽值的兩點屬于同一模態。k-means劃分的1～1 001點屬于第1個穩態,1 002～3 502點屬于第2個穩態,3 503～5 502點屬于第3個穩態,劃分結果與樣本吻合;GMM劃分的2～1 001點屬于第1個穩態,第1點、1 002～3 502點屬于第2穩態,3 503～5 502點屬于第3個穩態,僅有第1點劃分錯誤,其他點均劃分正確。圖3示出了使用本文算法進行模態劃分得到的結果,縱坐標是模態變化標簽tagi,如果樣本點的tagi>0.618,則認為在這個樣本點附近模態發生變化,進一步分析確定模態跳變點是1 002與3 503,劃分結果與樣本吻合。針對樣本V,k-means、GMM與本文算法都得到了正確的結果,且k-means與GMM作為流行的穩態多模態過程劃分方法已經得到廣泛應用,間接驗證了本文算法的有效性。但是k-means算法適用于超球形分布的數據集,在其他形狀數據集上有時不能得到很好的效果。GMM算法的性能受限于初始值的選擇,算法性能不穩定,在實驗過程中出現過大范圍誤分的情況。而譜聚類的聚類結果受數據集形狀影響很小,它具有能在任意形狀的樣本空間上聚類且收斂于全局最優解的優點,所以本文提出的模態劃分方法應用范圍更廣。

3.3動態多模態過程劃分實驗

實驗中選取模態A、A-B、B作為樣本V(V中共4 002點,1～1 001點屬于第1個穩態,1 002～1 501點屬于過渡模態,1 502～4 002點屬于第2個穩態),隨機選取TE過程中的4個變量(變量15、27、34,47)作樣本,變化曲線如圖4所示。

圖4 動態多模態TE過程樣本4個變量變化曲線Fig.4 Curves of four variables in TE process

使用k-means、GMM算法對以上數據集進行模態劃分得到的結果如圖5所示,使用本文算法進行模態劃分得到的結果如圖6所示。

圖5 k-means、GMM模態劃分結果Fig.5 Verification results based on k-means、GMM

圖6 基于譜聚類的模態劃分結果Fig.6 Verification results based on spectral clustering

圖5(a)示出了使用k-means進行模態劃分得到的結果,兩條豎線之間的樣本點為劃分出的過渡過程。根據模態標簽可以確定過渡過程開始于1 002點,但是過渡過程結束點很難確定,從圖中大致可以確定過渡過程位于樣本點1 002～1 400點。圖5(b)示出了使用GMM進行模態劃分得到的結果,縱坐標表示樣本點對應于兩個模態的后驗概率,虛線表示樣本點屬于模態1的后驗概率,實線表示屬于模態2的后驗概率,將樣本點劃分至后驗概率更大的模態,進一步分析得到過渡過程位于樣本點1 003～1 024點。圖6示出了使用本文算法進行模態劃分得到的結果,縱坐標為模態標簽,大致可以判斷過渡過程位于1 000～1 600點,根據小窗口思想,選取H=100、L=10,最終確定過渡過程開始于1 002點結束于1 500點。本文采用正確率與歸一化互信息(Normalized Mutual Information,NMI)[23]兩個評價指標來評價模態劃分結果。

正確率定義為模態劃分算法識別出的過渡過程數據點總數與待劃分樣本中已知過渡過程數據點總數的比值,k-means、GMM及本文算法的結果對比如表2所示。由表2可以看出,對于帶有過渡過程的多模態數據,k-means算法結果較差,GMM算法最差,這是由于k-means算法對形狀復雜的數據集聚類結果較差,GMM算法適用于穩態多模態過程劃分,對于動態多模態過程劃分效果較差,而本文算法劃分結果優于兩種算法且準確率很高。

表2 TE過程數據結果對比

4 結 論

本文針對多模態過程的模態劃分問題提出了基于譜聚類特征向量分析的模態劃分方法。基于譜聚類特征向量分析的模態劃分方法利用相似矩陣特征向量所攜帶的聚類信息提出模態劃分的指示變量用來指導模態劃分。對于穩態多模態過程劃分問題,使用特征向量的行向量相互之間的余弦值作為模態變化標簽進行模態劃分,并與流行的k-means、GMM模態劃分方法作對比,都可以取得不錯的劃分結果,但是本文提出的算法應用范圍更廣。針對動態多模態過程劃分問題,提出特征向量的行向量相互之間的高斯曼哈頓距離作為模態標簽并使用小窗口的思想,提出窗口相似度的概念精確定位過渡過程開始點與終止點,在TE過程仿真實驗中,目前流行的k-means、GMM算法并不能精確定位過渡過程的開始點與終止點,而本文提出的算法可以對過渡過程精準劃分,且結果準確性很高。

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ModePartitioningMethodBasedonEigenvectorAnalysisinSpectralClustering

NANNan,YANGJian,ZHAOJing-jing,SHIHong-bo

(KeyLaboratoryofAdvancedControlandOptimizationforChemicalProcesses,MinistryofEducation,EastChinaUniversityofScienceandTechnology,Shanghai200237,China)

The multimode characteristics of the process data in actual production process will have a certain impact on the data modeling.Moreover,k-means,c-means and other clustering are several commonly used methods on mode analysis.However,these algorithms may not perform well in mode partitioning of the transition process.In this work,a general mode division method is proposed,in which the spectral clustering analysis of the similarity matrix is utilized.Moreover,by means of the relationship between the eigenvector of the similarity matrix and the involved classification information,a Gauss Manhattan distance is constructed for indicator variable such that the mode partitioning is achieved via the small window.Finally,the effectiveness of the proposed algorithm is verified by the experiment of multimode data with transition and nontransition process.

multimode data; mode partitioning; transient process; spectral clustering

TP277

A

1006-3080(2017)05-0669-08

10.14135/j.cnki.1006-3080.2017.05.011

2016-11-15

國家自然科學基金(61374140,61673173)

南 男(1992-),男,山西忻州人,碩士生,研究方向為過程監控、機器學習。

侍洪波,E-mail:hbshi@ecust.edu.cn