古典概型教學(xué)及其解題研究

江蘇省揚(yáng)州市竹西中學(xué) 宋 揚(yáng)

古典概型教學(xué)及其解題研究

江蘇省揚(yáng)州市竹西中學(xué) 宋 揚(yáng)

本文根據(jù)數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)和義務(wù)教育階段江蘇版數(shù)學(xué)教材，結(jié)合初中數(shù)學(xué)活動(dòng)課的教學(xué)實(shí)踐，對(duì)古典概型教學(xué)要領(lǐng)及解題的多種方法做了細(xì)致研究，特別是這部分內(nèi)容對(duì)初中學(xué)生怎么教，怎樣能對(duì)概念和方法理解得精準(zhǔn)到位、通透，又如何掌握解題規(guī)律和技巧等問題，都做了較為詳盡的闡述。

古典概型；等概基本事件組；有利場(chǎng)合數(shù)；樹狀圖法；表格法；乘法原理；排列與組合

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是大學(xué)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)的重要課程和研究?jī)?nèi)容。為加快培養(yǎng)更多創(chuàng)新型人才，逐步將它的一部分基礎(chǔ)知識(shí)下放到了高中、初中乃至小學(xué)，古典概型首當(dāng)其沖。盡管概率的理論性、實(shí)踐性都很強(qiáng)，認(rèn)知過程也較為漫長(zhǎng)，但遵照認(rèn)知規(guī)律，對(duì)于古典概型，中低年級(jí)學(xué)生完全具有良好的可接受性。只要教學(xué)方法得當(dāng)，循序漸進(jìn)，就完全能夠收到頗為理想的效果。

所謂古典概型，顧名思義，就是概率論發(fā)展史上最早被人們發(fā)現(xiàn)、研究并應(yīng)用的概率模型，它與幾何概型、統(tǒng)計(jì)概型、主觀概型等常用概型之間都有著密切的聯(lián)系。

一、古典概型的概念

1．等概基本事件組

設(shè)A1，A2，…，An是一個(gè)事件組，如果它滿足下列三個(gè)條件：

（1）A1，A2，…，An發(fā)生的機(jī)會(huì)相同（等可能性）；

（2）在任意一次試驗(yàn)中，A1，A2，…，An至少有一個(gè)發(fā)生，即除此以外沒有別的結(jié)果(完全性)；

（3）在任意一次試驗(yàn)中，A1，A2，…，An至多有一個(gè)發(fā)生，即不可能有兩個(gè)或兩個(gè)以上同時(shí)發(fā)生（互不相容性）。

則稱A1，A2，…，An為一個(gè)等可能基本事件組，也稱為等概基本事件組，其中任一事件Ai(i=1，2，…，n)稱為基本事件。

2．概率的古典定義

如果試驗(yàn)的所有可能的結(jié)果可以記為一個(gè)等概基本事件組A1，A2，…，An，其中有且僅有m個(gè)基本事件包含于隨機(jī)事件A（即當(dāng)且僅當(dāng)這m個(gè)事件中任一事件發(fā)生時(shí)，事件A發(fā)生），則稱比值m/n為隨機(jī)事件A的概率，記作P(A)= m/n。

其中事件A所包含的基本事件數(shù)，也稱為事件A的有利場(chǎng)合數(shù)，或有利結(jié)果數(shù)。

3．古典概型

可以根據(jù)概率的古典定義來(lái)計(jì)算隨機(jī)事件的概率，這樣的概率模型稱為古典概型。

P(A)= m/n是概率古典定義的核心內(nèi)容，它給出了古典概型中隨機(jī)事件的概率計(jì)算公式。

4．古典概型的兩個(gè)基本特征

（1）試驗(yàn)的所有可能出現(xiàn)的結(jié)果只有有限個(gè)（有限性）；

（2）每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的機(jī)會(huì)相同（等可能性）。

5．判定等可能性的常用依據(jù)

（1）客觀對(duì)稱性（如拋擲硬幣、擲骰子等試驗(yàn)）；

（2）某種均衡性（如摸球、抽簽等試驗(yàn)）。

二、古典概型與概率的統(tǒng)計(jì)定義（統(tǒng)計(jì)概率）之間的聯(lián)系

概率的統(tǒng)計(jì)定義，是指通過大量重復(fù)試驗(yàn)，得到某個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的頻率，并用頻率的穩(wěn)定值作為其發(fā)生的概率。古典概型的最大優(yōu)點(diǎn)，就是不必做大量重復(fù)費(fèi)時(shí)、耗力甚至具有破壞性的試驗(yàn)，只要按照簡(jiǎn)單的計(jì)算公式，就能直接計(jì)算出該事件發(fā)生的概率。但要知道，其理論與實(shí)踐依據(jù)恰恰來(lái)自于概率的統(tǒng)計(jì)定義（統(tǒng)計(jì)概率）。古典概型就是滿足特定條件的統(tǒng)計(jì)概型，所求概率也正是頻率的穩(wěn)定值，而且上升為理論值，是精確值。

三、幾何概型與古典概型的關(guān)系

共同點(diǎn)是其概率均為兩個(gè)數(shù)的比值，分母為試驗(yàn)結(jié)果總數(shù)，分子為隨機(jī)事件的有利場(chǎng)合數(shù)。

在幾何概型中，如果可以將試驗(yàn)結(jié)果總數(shù)（長(zhǎng)度、面積或體積）分成有限個(gè)等份，而且隨機(jī)事件的有利場(chǎng)合數(shù)恰好占其中若干個(gè)等份，這類幾何概型就可以轉(zhuǎn)化為古典概型。問題的關(guān)鍵是能否將無(wú)限轉(zhuǎn)化為有限。反過來(lái)，幾何概型可以看成是對(duì)古典概型的一種推廣。

四、教學(xué)及其解題要領(lǐng)

1.講清基本概念。通過各種實(shí)例，讓學(xué)生感悟具體情境下的等可能性，逐步加深對(duì)等概基本事件組、古典概型的理解，舉一反三。

2.對(duì)所要解決的問題，首先要確認(rèn)是不是屬于古典概型。這一點(diǎn)很重要，否則就會(huì)出錯(cuò)。例如，一個(gè)射手打靶，“中靶”和“脫靶”在一般情況下不是等可能的。又如，任意拋擲1枚圖釘，“針尖著地”和“針尖朝上”也不是等可能的。諸如上述兩個(gè)試驗(yàn)都不適用于古典概型。問題的關(guān)鍵在于試驗(yàn)結(jié)果是否具有有限性和等可能性。再舉一個(gè)例子：不透明的袋子中裝有2個(gè)白球和3個(gè)紅球，這些球除顏色外都相同，攪勻后從中任意摸出1個(gè)球，摸到紅球與摸到白球就不是等可能的。因?yàn)樵谶@個(gè)情境中，摸到紅球相對(duì)摸到白球占有一些優(yōu)勢(shì)，所以不能直接當(dāng)成古典概型來(lái)做。但只要稍作處理，比如把這5個(gè)球編號(hào)，分別記為1，2，3，4，5，則相對(duì)于編號(hào)（即對(duì)于袋中的每一個(gè)球）來(lái)說，出現(xiàn)的結(jié)果就具有等可能性，從而完全適用于古典概型。

3.考察等概率基本事件組。有時(shí)候，等概基本事件組不是唯一的，可供選擇。一般情況下，選擇基本事件的總數(shù)越少，解決問題也就越簡(jiǎn)便。

4.先分別計(jì)算公式中的分母和分子，然后求比值，即為所求概率。分母是基本事件的總數(shù)，分子是相應(yīng)事件所包含的基本事件數(shù)，即有利場(chǎng)合數(shù)。

5.運(yùn)用多種方法實(shí)施計(jì)算：（1）樹狀圖法；（2）表格法；（3）根據(jù)乘法原理；（4）根據(jù)排列與組合的基本知識(shí)；（5）根據(jù)概率的運(yùn)算性質(zhì)。上述方法各有自身的特點(diǎn)、優(yōu)點(diǎn)和缺陷。對(duì)于不同的具體問題、不同的認(rèn)知階段，可靈活采用不同的計(jì)算方法，并從中總結(jié)出相應(yīng)的規(guī)律。

6.不同計(jì)算方法的適用場(chǎng)合。

（1）計(jì)算簡(jiǎn)單隨機(jī)事件發(fā)生的概率，即當(dāng)試驗(yàn)出現(xiàn)的結(jié)果較少時(shí)，可用樹狀圖法或表格法。優(yōu)點(diǎn)是直觀、整齊有序、一目了然，初學(xué)者容易理解和接受。

（2）當(dāng)試驗(yàn)步驟分為三步（或以上）時(shí)，不宜使用表格。

（3）初中前階段，宜采用列舉法（畫樹狀圖或列表），幫助計(jì)算。

（4）初中后階段，可介紹乘法原理，并實(shí)施計(jì)算。

（5）當(dāng)試驗(yàn)出現(xiàn)的結(jié)果較多時(shí)，往往需要運(yùn)用乘法原理或排列與組合的基本知識(shí)加以計(jì)算。

五、古典概型解題實(shí)例與一題多解

在初中，通常用樹狀圖或表格列出所有等可能的結(jié)果，不出錯(cuò)，不遺漏，也不重復(fù)。得到基本事件的總數(shù)，然后從中找出所討論的隨機(jī)事件的有利場(chǎng)合數(shù)，從而求出相應(yīng)事件的概率。等到學(xué)習(xí)了乘法原理、排列與組合的基本知識(shí)以后，還可直接計(jì)算出基本事件的總數(shù)以及某事件的有利場(chǎng)合數(shù)，即可求出該事件的概率。

文中解題過程中，在使用排列數(shù)或組合數(shù)符號(hào)計(jì)算的等號(hào)后面，緊接著寫出了詳細(xì)數(shù)字，是為了看清楚，讓初中學(xué)生在還沒有學(xué)習(xí)排列與組合知識(shí)的情況下，能運(yùn)用乘法原理有效實(shí)施計(jì)算。

為書寫簡(jiǎn)潔起見，同一題中的同一隨機(jī)事件除首次出現(xiàn)外，均用J表示。

例1 一個(gè)均勻的小立方體，每?jī)蓚€(gè)相對(duì)的面上分別畫有相同的圖案。拋擲這個(gè)小立方體2次，求朝上一面出現(xiàn)相同圖案的概率。

解法一：將圖案分別用1、2、3表示，畫樹狀圖或列表，列出所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果：

【注】上述解法一、二中，所選等概基本事件組的基本事件總數(shù)為9，而以下的解法三、四中，所選等概基本事件組的基本事件總數(shù)為36。

解法三：按圖案代號(hào)1，1，2，2，3，3，畫樹狀圖（略）或列表：

例2 有兩道選擇題，每道題所給的4個(gè)選項(xiàng)中，只有1個(gè)選項(xiàng)是正確的。如果從每道題的4個(gè)選項(xiàng)中任選1項(xiàng)，那么兩道選擇題全都正確的概率是多少？

解法一：設(shè)每道選擇題的選項(xiàng)分別為A、B、C、D。列表如下：

可見等概基本事件組的基本事件總數(shù)是16，兩道題各自無(wú)論哪一個(gè)選項(xiàng)是正確的，由于4個(gè)選項(xiàng)中只有1個(gè)是正確的，從而兩道題選擇全都正確只有1種情形，即有利場(chǎng)合數(shù)是1。所以P（兩道題選擇全部正確）

解法三：記Ai=“第i道題選擇正確”，i=1，2。顯然，事件A1，A2相互獨(dú)立，于是有

例3 一只不透明的袋子中裝有2個(gè)紅球和1個(gè)白球，這些球除顏色外都相同。（1）將球攪勻，從中任意摸出1個(gè)球，記下顏色后放回、攪勻 ，再?gòu)闹腥我饷?個(gè)球。求2次都摸到紅球的概率；（2）將球攪勻，從中任意摸出2個(gè)球，求摸到2個(gè)紅球的概率。

（1）解法一：將紅球編號(hào)，分別為紅1、紅2。

畫樹狀圖（略）或列表：

共有9種等可能的結(jié)果，其中2次都摸到紅球有4種情形。所以P（2次都摸到紅球）

解法三：記Bi=“第i次摸到紅球”，i=1，2。顯然，事件B1，B2相互獨(dú)立，于是有

（2）解法一：相當(dāng)于先任意摸出1個(gè)球，不放回，再任意摸出1個(gè)球。

畫樹狀圖：

列表：

共有6種等可能的結(jié)果，其中摸到2個(gè)紅球的情形只有2種。所以P（摸到2個(gè)紅球）

【注】上述解法一、二都是考慮順序的，所選等概基本事件組的基本事件總數(shù)為6，而在解法三中，所選的等概基本事件組是不考慮順序的，其基本事件總數(shù)為3。

例4 有兩副完全相同的手套（分左、右手），從中任意拿兩只。求這兩只手套恰好配成一副的概率。

解法一：相當(dāng)于先任取一只，不放回，再任取一只。用樹狀圖（略）或表格列出所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果：

【注】解法三最為簡(jiǎn)便，這里所選的等概基本事件組，其基本事件的總數(shù)為6。

例5 用抽簽方法從3名同學(xué)中選1名出席某場(chǎng)音樂會(huì)。先準(zhǔn)備3張相同的紙條，并在其中1張上畫個(gè)記號(hào)，分別卷好放在1個(gè)盒子中搖勻，然后讓3名同學(xué)先后從中各抽取1張（抽出的紙條不放回），抽到紙條上畫有記號(hào)的稱為中簽，將出席這場(chǎng)音樂會(huì)。試敘述抽簽方法是公平的。

解法一：不妨設(shè)甲、乙、丙3名同學(xué)抽簽的順序依次為：甲第一，乙第二，丙第三；3張紙條中，畫有記號(hào)的紙條記作A，另外2張記作 B1，B2。

用樹狀圖（略）列出所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果，共有6種，并且從中找出甲、乙、丙中簽各有2種情形。

例6 一批產(chǎn)品共有50個(gè)，其中45個(gè)是合格品，5個(gè)是次品。從這批產(chǎn)品中任取3個(gè)，求其中有次品的概率。

解法一：記A=“取出的3個(gè)產(chǎn)品中有次品”；Ai=“取出的3個(gè)產(chǎn)品中恰有i個(gè)次品”，（i=1，2，3）。

顯然， A1，A2，A3是三個(gè)互不相容事件，且有A=A1+A2+A3。

【注】所求得的概率若用分?jǐn)?shù)表示，就是精確值。

與例題相配套的有課堂練習(xí)題和課后習(xí)題，用以復(fù)習(xí)鞏固。類型基本相同，稍有提高。限于篇幅，暫且略去。

[1]楊裕前，董林偉．等可能條件下的概率，數(shù)學(xué)教師教學(xué)用書（九年級(jí)上冊(cè)）[M]．南京：江蘇鳳凰科學(xué)技術(shù)出版社，2016．

[2]陳家鼎，劉婉如，汪仁官．古典概型，概率統(tǒng)計(jì)講義（第二版）[M]．北京：高等教育出版社，1998．