“簡潔、初等、本源”2016浙江(理)高考數學試題印象

潘建偉 虞關壽

浙江省紹興魯迅中學 (312000)

“簡潔、初等、本源”2016浙江(理)高考數學試題印象

潘建偉 虞關壽

浙江省紹興魯迅中學 (312000)

2015年與2016年這兩年浙江數學高考有點特殊，這兩年的數學高考的考查內容與形式與以往和以后數學高考在內容與形式上有所不同，這使得這兩年的高考試題尤為令人關注，高考之前撲朔迷離，總有許多的猜測，高考之后甜酸苦辣總有許多感慨.筆者閱讀了這份試卷，并認真演算了一番，感覺到這份試卷與以往的高考試題在考查知識能力，及方法上符合考綱要求，承延了以往高考試題的風格與特點，但這份試卷又有自已獨特的個性，給筆者印象頗深的是六個字：簡潔、初等、本源.下面具體展開，與同行商討，一家之言，謹請批評指正.

一、簡潔

浙江數學高考卷與其它省市的高考試卷相比，從外觀上一個顯著的特征是“簡潔”.試題設計簡潔，題干語言簡潔，不過多浪費考生的閱讀時間.今年的高考試題不但試題外觀簡潔，題干語言簡潔，更值得推崇的是考題中呈現的所有圖形簡潔明了，這是區別于以往考題的明顯特點，不論是立體幾何的圖形，還是解析幾何的圖形，呈現給考生的是一目了然，清晰意會的圖形，圖形中線條較少，且都是涉及圖形面上、形上的問題.

A.m>n且e1e2>1

B.m>n且e1e2<1

C.m1

D.m

例2 (第14題)如圖1，在ΔABC中，AB=BC=2,∠ABC=120°.若平面ABC外的點P和線段AC上的點D，滿足PD=DA，PB=BA，則四面體PBCD的體積的最大值是________.

圖1

解析：本題考查空間幾何體及其體積的求法等知識，意在考查學生的空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力.本題所給的圖形清楚簡單樸素.

由AB=BC=2,∠ABC=120°，可得AC=

例3 (第16題)在ΔABC中，內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知b+c=2acosB.

(1)證明：A=2B；

解析：把三角恒等變換與解三角形結合起來是近幾年高考考查的主要形式與內容，但考查核心依舊是三角恒等變換、正弦定理、余弦定理、三角形內角和定理及三角形面積公式.該題設計簡潔，題意清楚明了.在解決此題時易抓住問題的本質，能選好公式快速解決.

(1)∵b+c=2acosB，由正弦定理得sinB+sinC=2sinAcosB，故2sinAcosB=sinB+sin(A+B)=sinB+sinAcosB+cosAsinB，于是sinB=sin(A-B).又A,B∈(0,π)，故0

圖2

例4 (第17題)如圖2，在三棱臺ABC-DEF中，平面BCEF⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.

(1)求證：BF⊥平面ACFD；

(2)求二面角B-AD-F的平面角的余弦值.

解析：本題圖形簡單，所給的條件與所要求的結論都在面上，所要添加的輔助線也不多.本題主要考查線面垂直的證明、二面角的計算等基礎知識，同時考查學生的空間想象能力和運算求解能力.

圖3

(1)延長AD,BE,CF相交于一點K，如圖3所示.∵平面BCFE⊥平面ABC，平面BCFE∩平面ABC=BC，且AC⊥BC，∴AC⊥平面BCK，∴BF⊥AC，又EF∥BC,BE=EF=FC=1,BC=2，∴ΔBCK為等邊三角形，且F為CK的中點，則BF⊥CK，又∵AC∩CK=C，∴BF⊥平面ACFD；

注：第(2)題也可用空間直角坐標向量解決.

二、初等

在高考之前，我們所進行的專題復習中，可能會熱衷于搞好一些與高等數學相關聯或以高等數學為背景的題，我們在各種高考模擬考題中總能看到這類題，但從今年的高考試題一掃這類題目，反而增多了背景“初等”的題目，比如考幾何多以三角形的背景的圖形、考函數多以二次函數為背景、考數列多以等差等比數列為背景等.難怪，2016年高考之后，許多老師感慨這一年高三復習又白復習了，復習方向走偏了，這值得我們來年高三復習深思.下面例舉幾題并作適當的評說.

解析：本題主要考查了不等式組表示的平面區域、兩點間的距離公式、投影等基本知識，通過這些初等知識的考查，意在考查學生的轉化與化歸、數形結合的數學思想.

圖4

作出不等式組所表示的平面區域如圖4中的ΔCDE，過C、D分別作直線x+y-2=0的垂線，垂足分別為A、B，則四邊形ABDC為矩形，又C(2,-2),D(-1,1)，

∴|AB|=|CD|=

例6 (第6題)如圖5，點列{An},{Bn}分別在某銳角的兩邊上，且|AnAn+1|=|An+1An+2|，An≠An+2,n∈N*；|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|，Bn≠Bn+2,n∈N*(P≠Q表示點P與Q不重合).若dn=

|AnBn|，Sn為ΔAnBnBn+1的面積，則( ).

A．{Sn}是等差數列B.{S2n}是等差數列

C.{dn}是等差數列D.{d2n}是等差數列

圖5

解析：本題考查等差數列的概念、平行線的性質等初等基礎知識，意在考查學生分析問題和解決問的能力.

|BnBn+1|×hn,|BnBn+1|為定值，所以{Sn}是等差數列.故選A.

例7 (第13題)設數列{an}的前n項和為Sn.若S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*，則a1=________,S5=___________.

解析：本題主要考查等比數列的概念、通項公式，通項與前n項和之間的關系等基礎知識，意在考查學生的基本運算求解能力、分析問題的能力和解決問題的能力.

(1)求使得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范圍；

(2)①求F(x)的最小值m(a)；②求F(x)在區間[0,6]上的最大值M(a).

解析：本題涉及二次函數、二次不等式等基礎知識，主要考查函數的單調性、最值等基本性質，同時考查了學生的推理論證、分析問題等基本能力.處理函數問題，數形結合和分類討論是最常用和最基本的思想方法，準確地畫出圖像可以規避許多冗長的計算，所以從最基本的方法著手，可直至問題的核心.最值函數是浙江省高考的特色，利用max函數、min函數可讓分類討論更簡捷.

(1)由于a≥3，故當x≤1時，(x2-2ax+4a-2)-2|x-1|=x2+2(a-1)(2-x)>0；當x>1時，(x2-2ax+4a-2)-2|x-1|=(x-2)(x-2a).∴使得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范圍為[2,2a].

(2)①設函數f(x)=2|x-1|,g(x)=x2-2ax+4a-2，則f(x)min=f(1)=0，g(x)min=g(a)=-a2+4a-2，∴由F(x)的定義知m(a)=

min{f(1),g(a)}，即

②當0≤x≤2時，F(x)=f(x)≤max{f(0),f(2)}=2=F(2)；當2≤x≤6時，F(x)=f(x)≤max{g(2),g(6)}=max{2,34-8a}=

max{F(2),F(6)}.

三、本源

2016年的浙江高考試題給我們有這樣的一個共同感受：運算量明顯減少，思維量增大，好多題不是靠“算”能夠解決的，感覺到“有力使不進去”，考查數學概念化的東西明顯增多，試卷的“數學味”增濃了.可能這也是我們高三復習所要重視的問題，我們應更加關注數學本源的東西，讓學生明白所學的知識內容“源頭”是什么，為什么要學，學了又有何用.比如說什么是函數？函數的本質是什么？學習數列，我們到底要培養哪種素能？又比如說，碰到絕對值問題，我們第一反應是如何脫絕對值符號，那如何去脫呢等.

例9 (第5題)設函數f(x)=sin2x+bsinx+c，則f(x)的最小正周期( ).

A.與b有關，且與c有關

B.與b有關，但與c無關

C.與b無關，且與c無關

D.與b無關，但與c有關

解析：本題主要考查三角恒等變換、三角函數的最小正周期等基礎知識，其本質上主要考查了形如“y=Acos(ωx+φ)+B”的周期公式.

例10 (第8題)已知實數a,b,c.

A．若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1，則a2+b2+c2<100

B．若|a2+b+c|+|a2+b-c|≤1，則a2+b2+c2<100

C．若|a+b+c2|+|a+b-c2|≤1，則a2+b2+c2<100

D．若|a2+b+c|+|a+b2-c|≤1，則a2+b2+c2<100

解析：本題給學生的感覺是選擇題的壓軸題很難，從正面去化解絕對值符號，的確較難，但該題的考查本意是看考生能不能找到適合的“反例”去破解問題，這是該題本源的東西.

取a=10,b=10,c=-110，可排除選項A；取a=10,b=-100,c=0，可排除選項B；取a=10,b=-10,c=0，可排除選項C.故選D.

圖6

(1)求直線y=kx+1被橢圓截得的線段長(用a,k表示)；

(2)若任意以點A(0,1)為圓心的圓與橢圓至多有3個公共點，求橢圓離心率的取值范圍.

解析：解析幾何重點考查圓錐曲線的方程、幾何性質、直線與圓錐曲線的位置關系以及與圓結合的綜合問題等.本題就考查了這個本源的內容，第(1)問只要聯立方程，利用弦長公式即可求得；第(2)問先假設圓與橢圓的公共點有4個，利用|AP|=|AQ|，求得a的取值范圍，進而得到滿足題目要求的a的取值范圍，從而求得離心率的取值范圍.

(2)假設圓與橢圓的公共點有4個，由對稱性可設y軸左側的橢圓上有兩個不同的點Ρ，Q，滿足|ΑΡ|=|ΑQ|．記直線ΑΡ，ΑQ的斜率分別為k1，k2，且k1，k2>0，k1≠k2．

例13 (第20題)設數列{an}滿足|an-

(1)證明：|an|≥2n-1(|a1|-2),n∈N*；

∴|an|≥2n-1(|a1|-2),n∈N*.

綜上，對于任意n∈Ν*，均有|an|≤2,n∈N*.