考慮土拱效應的非飽和土被動土壓力計算

程 康，夏唐代，單華峰，黃 睿，周 飛

(1.浙江大學 建筑工程學院， 浙江 杭州 310058； 2.臺州學院 濱海環境與巖土工程研究所， 浙江 臺州 318000；3.紹興文理學院 巖石力學與地質災害實驗中心， 浙江 紹興 312000)

考慮土拱效應的非飽和土被動土壓力計算

程 康1，夏唐代1，單華峰2，黃 睿3，周 飛1

(1.浙江大學 建筑工程學院， 浙江 杭州 310058； 2.臺州學院 濱海環境與巖土工程研究所， 浙江 臺州 318000；3.紹興文理學院 巖石力學與地質災害實驗中心， 浙江 紹興 312000)

以墻后填土為非飽和土的剛性擋墻為研究對象，考慮土拱效應和水平微單元體層間剪切作用的影響，假定墻后土拱形狀為拋物線形拱，結合水平單元分析法、朗肯滑裂面等，分別建立了平動模式下水平微單元體平均豎向應力、層間剪切力與被動土壓力的定量關系，然后推導了平動模式下的擋墻被動土壓力系數及被動土壓力解析解，并加以實例及參數分析。該方法能考慮墻后土體中的應力偏轉以及水平微單元體層間剪切作用，較之于傳統的擋墻土壓力計算方法，能夠更真實地反映土體中的應力狀態，可為工程實踐提供一定指導。

非飽和土；土拱效應；拋物線形拱；層間剪切

眾所周知，地球表層很大一部分土體處在半干旱或干旱狀態，即非飽和狀態，因此，將飽和土土壓力計算理論運用于非飽和土土壓力的計算，雖然結果會偏于安全，但與真實狀況不符且不經濟。隨著工程實踐的需要，非飽和土土壓力的計算理論正逐漸受到關注。國內外學者對該問題進行了深入的研究，如：趙均海等[1]通過考慮中間主應力效應并基于非飽和土雙應力狀態變量抗剪強度統一解，建立了非飽和土庫侖土壓力統一解，取得了較好的結果。汪丁建等[2]基于極限狀態分析，運用非飽和土有效應力原理及飽和土朗肯土壓力公式推導了非飽和土朗肯土壓力公式，并將其進一步拓展到降雨入滲工況下。文獻[3]也通過將滑移線理論應用于擋墻土壓力的分析中，其中重點探討了基質吸力對擋墻土壓力的影響。不難發現，當前非飽和土土壓力的相關研究均是在經典土壓力理論下進行，忽略了因墻土摩擦引起的墻后土拱效應。

有關被動土壓力的研究中較少有人考慮土拱效應，如：李永剛[4]考慮了土拱效應，并得到了其被動土壓力分布，但其采用懸鏈線形式的拱跡線會導致在處理微單元體應力關系時只能采用數值解近似解，因而具有一定局限。徐利敏等[5]基于微分薄層法思想推導了被動土壓力沿擋墻墻高的非線性分布式。年延凱等[6]在考慮超載作用下，深入研究了土拱效應和抗滑樁的作用機制和加固效果。吳明[7-8]、王杰等[9-10]在考慮土拱效應的基礎上分別假定拱跡線為圓弧和拋物線，并推導了被動土壓力的分布及其合力作用點解析式。涂兵雄等[11]假定拱跡線為圓弧，利用坐標平移法推導了黏性土的土壓力分布形式。以上研究雖均考慮了土拱效應，但在微分單元法分析的過程中忽略了土層單元間層間剪切作用的影響，與真實情況不符。

因此，針對當前研究中大多忽略的微單元間的層間剪切作用[4-11]，本文在前人的研究基礎上，首先，假定土拱拱跡線為拋物線形，再利用坐標平移法，通過在平移后的新坐標系中定義能反映水平微單元層間剪切作用的剪切系數，進而對土拱效應理論進行了改進，其次，建立土層水平微單元平均豎向應力與被動土壓力的關系，然后，推導出被動土壓力解析解，并探討了層間剪切作用的影響因素，最后加以實例及參數分析。

1 非飽和土被動土壓力計算

1.1 分析模型的建立

本文采用基于飽和土摩爾-庫侖準則推導的雙應力狀態變量公式，該公式由Fredlund提出，以基質吸力(ua-uw)和凈正應力(σ-ua)反映非飽和土強度特征，其表達式如下：

τf=(σ-ua)tanφ′+(ua-uw)tanφb+c′

(1)

式中：τf為非飽和土抗剪強度；(σ-ua)為凈正應力；σ為總應力；ua為孔隙氣壓；φ′為有效內摩擦角；(ua-uw)為基質吸力；uw為孔隙水壓；φb為吸力摩擦角；c′為有效黏聚力；由于φb不易測定，工程應用較困難，Vanapalli S K等[12]將理論和實驗研究結合，通過把φb與體積含水率相聯系，提出經驗公式：

(2)

式中：θ表示體積含水率；θr表示殘余體積含水率；θs表示飽和體積含水率。由于非飽和土的土-水特征試驗過程較復雜，可用冪函數模型來很好地擬合土-水特征曲線，該模型由Van Genuchten[13]提出，如下：

(3)

式中：α和n即為試驗擬合參數。

非飽和土中吸力為深度的函數，隨深度增大而減小，地下水面處為0，地表處吸力最大，當土體處于靜流狀態時，可認為吸力沿深度呈線性分布[14]，則吸力分布函數為：

(4)

(5)

式中：(ua-uw)0為地表土初始基質吸力；hw為墻后填土表面到地下水面的距離；c為總黏聚力。由以上各式，可求非飽和土在不同深度z處的抗剪強度。

在水平單元分析法的基礎上，做如下基本假定：

(1) 擋土墻為剛性，墻背垂直，不考慮墻身變形；

(2) 假定土拱形狀為拋物線；

(3) 墻后土體滑裂傾角為非飽和土朗肯理論所得滑裂面傾角[14]，即β=π/4-φ′/2；

(4) 本文在分析墻后土體應力狀態時，一律采用凈正應力σ′(σ′=σ-ua)變化，非總應力σ。

當擋墻朝向土體產生一定平動位移時，由于墻土間摩擦力的存在，墻后土體主應力將發生一定的偏轉，如圖1所示。對土拱中任一點D作應力分析可知：

(6)

對于黏性土，采用坐標軸平移法將坐標系τoσ′做以下變換：只將坐標縱軸向左平移ccotφ′，得新坐標系τoσt′，因而：

(7)

圖1墻后土體水平微分單元及大主應力拱

坐標平移不改變莫爾圓中各物理量間的幾何關系，故仍可得：

(8)

在墻土接觸面處A點，應力狀態見圖2。

圖2墻后點A莫爾應力圓

由圖2中幾何關系可得：

(9)

(10)

(11)

(12)

1.2 被動側壓力系數和層間剪切系數

根據《數學手冊》[15]，本文采用的拋物線極坐標方程為r=(2η)/(1-cosξ)。其中：r為拋物線任一點極徑；r0為墻背A點極徑；η為拋物線形狀參數；ξ為任一點極角。如圖1所示，根據圖中幾何關系可得ξ=ψ+π/2。

被動側壓力系數反映被動土壓力與土層平均豎向應力的比值，在軸平移后的新坐標系τtoσt中，將微單元土層所受豎向應力σav沿拱跡線方向積分并結合式(8)可求總豎向力Vt：

(13)

水平微單元土層上的平均豎向應力為：

(14)

(15)

式中：Bz為水平微單元土層寬度；r0為墻背A點大主應力土拱線的極徑：Bz=r0cosθ。

在新坐標系中，定義被動側壓力系數：

(16)

前人[4-11]在采用水平微單元對平移模式下的土壓力求解時，多數未考慮水平微單元間的層間剪切作用，因而與實際情況有一定差異。

如圖1所示，將微單元土層所受剪應力τas沿拱跡線方向積分并結合式(8)可求微單元土層間切向力為T：

(17)

則微單元土層間平均切向力為：

(18)

在新坐標系τtoσt′中定義反映水平土層層間切向力與平均豎向應力的比值關系的層間剪切系數。

(19)

1.3 被動土壓力分布

汪丁建等[16]人在有關非飽和土土壓力的研究中，通過考慮微分土層單元間剪切作用，進而改進了土拱模型，但卻忽略了墻土間黏結力cw的影響，顯然與實際有一定的出入。Sanjay K S[17]通過結合理論和試驗研究給出墻土黏結力的一般表達式為：cw=ctanδ/tanφ′，下文采用該表達式來近似表示墻土黏結力，進而確定墻土切向力τw。

圖3水平微單元體受力示意圖

由單元體水平向和豎直向靜力平衡，可得：

(20)

(H-z-dz)cotβ-σfdz-τfcotβdz=0

(21)

(H-z-dz)cotβ-σfcotβdz+τfdz+dG=0

(22)

將式(1)、式(4)、式(20)帶入式(18)、式(19)得一元非齊次線性微分方程：

(23)

其中：

(24)

(25)

(26)

則水平方向被動土壓力分布：

(27)

上式即為能考慮土拱效應及微分單元土層層間剪切作用的非飽和土被動土壓力分布式，其值與非飽和土體參數、墻土摩擦角、土體內摩擦角、墻高以及地下水位等因素有關。

較經典的被動土壓力計算式，該式不僅能考慮非飽和土的性質，且當(ua-uw)0=0時，該式即退化為一般情況下被動土壓力計算式，同時，也考慮了墻后土體土拱效應的影響，所得非飽和土被動土壓力呈非線性分布，能更真實反映土體應力狀態。

2 實例分析

高為2 m的剛性擋土墻，墻背與地面垂直，墻后填土為黏性土，地表面水平，有效內摩擦角φ′=30°，天然重度為γ=17.8 kN/m3，有效黏聚力c′=10 kPa。由試驗得到非飽和土土水特征曲線參數為：α=0.025 kPa-1，n=5。結合以上參數再由本文所給出的土壓力計算公式來分別分析被動土壓力系數Kpw(見圖4)及層間剪切系數Kps(見圖5)隨有效內摩擦角φ′的變化規律、土壓力隨墻土摩擦角δ及地下水位hw的變化規律，最后，將計算結果與朗肯土壓力理論計算結果對比并分析。

圖4 被動側壓力系數Kpw

圖5剪切系數Kps

圖4反映了被動側壓力系數Kpw隨有效內摩擦角φ′的變化曲線，由圖4可見，當δ/φ′一定時，Kpw隨φ′的增大而減小，且δ/φ′越大，相應的Kpw減小越快；而當φ′一定時，Kpw隨δ/φ′的增大而增大，且δ/φ′越小，相應的Kpw增加越快。

圖5反映了剪切系數Kps隨有效內摩擦角φ′的變化曲線，由圖5可見，當δ/φ′一定時，Kps會隨φ′的增大而增大，且δ/φ′越大，Kps增加越快；而當φ′一定時，Kps隨δ/φ′的增大而增大，且δ/φ′越大，相應地Kps增加越快。

產生上述現象的原因在于：δ是提供摩擦導致墻后土體產生應力偏轉的“外因”，故δ越大，偏轉越劇烈，因而土層之間相對運動趨勢越明顯，層間剪切系數Kps也就越大；而φ′是土體抵抗外力保持穩定的“內因”，故φ′越大，內部摩擦越大，土體也就越“穩定”，因而對側向擠壓作用也就越弱，側壓力系數Kpw越小。由上述分析不難發現，δ/φ′的比值大小是影響土層層間剪切作用強弱的重要因素，δ/φ′越大，層間剪切作用越明顯。

經歸一化處理后，圖6(hw=2.4 m)為不同δ/φ′時的被動土壓力分布圖。由圖6可見本文方法計算的非飽和土被動土壓力近似呈“上緩下急”的非線性分布，且整體明顯小于飽和土朗肯土壓力被動土壓力計算值。當δ/φ′大于0.4時，于墻底附近出現“等值點”，即本文計算值開始等于朗肯理論值，并隨δ/φ′的增大，“等值點”的位置開始沿墻身升高。在墻頂附近區域，被動土壓力為負值(取0)，隨深度增加，擋墻被動土壓力的增長速度具有“階段性”，呈現“先緩慢增大、再迅速增大、最后急劇增大”的非線性變化趨勢，于墻底處被動土壓力達到峰值，這表明前文的基本假定(3)：土體潛在的滑裂面通過墻踵是合適的，但滑裂面形態是否為直線有待深究。

圖6不同墻土摩擦角時被動土壓力分布

圖7(δ/φ′=0.6)為按本文計算方法和朗肯理論計算得到的被動土壓力隨地下水位變化分布圖，當hw由2 m逐漸增至2.8 m，被動土壓力逐漸增大，這是由于非飽和土基質吸力的增大所導致。而當地下水位趨近于擋墻底部時，此時被動土壓力趨于穩定，且為最小值，這是由于基質吸力逐漸減小，朗肯理論計算得到的被動土壓力亦有類似的規律，但其線性分布已被證實與實際情況不符。

圖7不同地下水位下的被動土壓力分布

3 結 論

(1)δ/φ′的比值大小是影響土層層間剪切作用強弱的重要因素，δ/φ′越大，層間剪切作用越明顯。δ是提供摩擦產生應力偏轉的“外因”，δ越大，土層應力越易偏轉，層間相對運動趨勢越大。而φ′是土體自身抵御這種偏轉而保持自穩的“內因”，φ′越大，土體內部摩擦越大，抵御偏轉的能力就越強，對側向的擠壓作用就越小。

(2) 非飽和土被動土壓力沿深度呈加速增大的非線性分布，于墻頂處會出現一定的“負壓力區”。沿墻身分布的土壓力值整體上比采用飽和土朗肯土壓力理論計算的被動土壓力值小，表明了將飽和土土壓力朗肯理論用于非飽和土的土壓力計算會偏于安全但不經濟。

(3) 隨地下水位的降低，基質吸力增大，非飽和土被動土壓力增大，于墻底部被動土壓力趨于穩定且達到峰值，這表明土體潛在的滑裂面通過墻踵是合適的，但滑裂面形態是否為直線還有待進一步深究。

[1] 趙均海,梁文彪,張常光,等.非飽和土庫侖主動土壓力統一解[J].巖土力學,2013,34(3):621-630.

[2] 汪丁建,童龍云,邱岳峰.降雨入滲條件下非飽和土朗肯土壓力分析[J].巖土力學,2013,34(11):3192-3196.

[3] VO T, Russell A R. Slip line theory applied to a retaining wall-unsaturated soil interaction problem[J]. Computers and Geotechnics, 2014,55(2):416-428.

[4] 李永剛.擋土墻被動土壓力研究[J].巖土力學,2003,24(2):273-276.

[5] 徐利敏,孫若飛,孫 勇.地震條件下擋土墻被動土壓力及其分布的微分薄層計算方法[J].水利與建筑工程學報,2014,12(6):32-37.

[6] 年廷凱,徐海洋,李東晨,等.超載作用下邊坡-抗滑樁體系穩定性及土拱效應研究[J].水利與建筑工程學報,2014,12(2):177-182.

[7] 吳 明.深基坑工程若干土力學問題研究[D].杭州：浙江大學,2009.

[8] 吳 明,彭建兵,徐 平,等.考慮土拱效應的擋墻后土壓力研究[J].工程力學，2011,28(11):89-95.

[9] 王 杰.考慮土拱效應的擋墻土壓力理論研究[D].杭州:浙江大學,2014.

[10] 王 杰,夏唐代,賀鵬飛,等.考慮土拱效應的剛性擋墻主動土壓力分析[J].巖土力學,2014,35(7):1914-1920.

[11] 涂兵雄,賈金青.考慮土拱效應的黏性填土擋土墻主動土壓力研究[J].巖石力學與工程學報,2012,31(5):1064-1070.

[12] Vanapalli S K, Fredlund D G, Pufahl D E, et al. Model for the prediction of shear strength with respect to soil suction[J]. Canadian Geotechnical Journal, 1996,33(3):379-392.

[13] Genuchten M T V. A closed form equation for predicting the hydraulic conductivity of unsaturated soils[J]. Soil Science of America Journal, 1980,44:892-898.

[14] Lu Ning, William J L. 非飽和土力學[M].韋昌富等譯.北京:高等教育出版社,2012.

[15] 《數學手冊》編寫組.數學手冊[M].北京:高等教育出版社,1979.

[16] 汪丁建,唐輝明,吳 瓊,等.基于土拱效應的非飽和土主動土壓力計算方法[J].長江科學院院報,2016,33(8):69-74.

[17] Sanjay K S. Dynamic active thrust from c-φ soil back fills[J]. Soil Dynamics and Earthquake Engineering, 2010,31(3):526-529.

PassiveEarthPressureCalculationofUnsaturatedSoilConsideringArchingEffect

CHENG Kang1, XIA Tangdai1, SHAN Huafeng2, HUANG Rui3, ZHOU Fei1

(1.CollegeofCivilEngineeringandArchitecture,ZhejiangUniversity，Hangzhou,Zhejiang310058,China；2.InstituteofCoastalEnvironmentandGeotechnicalEngineering,TaizhouUniversity,Taizhou,Zhejiang318000,China;3.RockMechanicsandGeo-hazardCenter,ShaoxingUniversity,Shaoxing,Zhejiang312000,China)

A rigid retaining wall with unsaturated soil backfill was taken as the research object, by considering the soil arching effects and the inter laminar shear action in the process with the assumption of parabolic arch and combining with horizontal layer analysis method and Rankine’slip surface, the quantitative relationships between average vertical stress，the inter laminar shear stress of soil differential element and the passive earth pressure were calculated. Analytical expressions for the passive earth pressure ratio and passive earth pressure were derived, and parameter as well as specific example analysis were given. Compared with the conventional methods, stress deflection and the inter laminar shear action was considered, which were more closed to the true stress state and could provide some guide for engineering practice.

unsaturatedsoil;archingeffects;parabolicarch;interlaminarshear

10.3969/j.issn.1672-1144.2017.05.011

2017-05-04

2017-06-20

國家自然科學基金資助項目(51378463)

程 康(1994—)，男，湖北武漢人，碩士研究生，研究方向為土與結構的相互作用。 E-mail：chengkang@zju.edu.cn

TU432

A

1672—1144(2017)05—0063—06