三階矩陣李超代數的一類中心化子

侯 瑩, 鄭克禮, 陳良云

(1.東北師范大學 數學與統計學院,長春 130024; 2.東北林業大學 理學院,哈爾濱 150040 )

三階矩陣李超代數的一類中心化子

侯 瑩1, 鄭克禮2, 陳良云1

(1.東北師范大學 數學與統計學院,長春 130024; 2.東北林業大學 理學院,哈爾濱 150040 )

本文主要研究三階矩陣李超代數的一類中心化子.先將三階矩陣分為四種情況,即gl(2,1),gl(1,2),gl(3,0)以及gl(0,3);然后計算并證明了gl(2,1)在偶部和奇部(i=0,1,2)的中心化子，gl(1,2)在偶部(i=0,1,2)和在奇部(i=0)的中心化子, 并給出了gl(3,0)在偶部和奇部(i=0,1,2)的中心化子;最后,總結給出了三階矩陣李超代數的中心化子的一般規律及其結論.

3×3矩陣; 中心化子; 李超代數

0 引言

中心化子的概念最早是在研究抽象代數中的群結構時候被提出來的.毋庸置疑的是中心化子它不僅僅是一個子集, 還是一個子代數.所以中心化子也是研究李超代數結構時需要考慮的內容, 并且它還是一個不容忽視的研究方向.在數學研究中,上同調是一種十分重要的工具, 它涵蓋了拓撲、代數、全純函數等多領域;在李理論里,許多結論都可用它來解釋,例如李代數模擴張的結構就能用1-階上同調來闡明.此外,李超代數中的泛包絡代數的形變理論也為物理學中的量子超群理論的研究提供了強有力的幫助.這些都極大地促進了李超代數的上同調理論的發展.我們知道,用伴隨去體現一個李超代數能夠看作其子代數的一個自然模,這個時候中心化子能夠等價的看作零維上同調群.在文獻[1]中,詳細地研究與討論了有關系數在Witt上的單模李超代數gl2|1的低維上同調方面的問題,同時還給出了求解有關該類問題的同調方法.所以能夠確定,線性李超代數的低維上同調的方法會在研究李超代數的一些問題中具不可取代的重大意義.近年來對于中心化子的研究已有的成果主要集中在以下幾方面中心化子的刻畫:矩陣的中心化子及其維數, 中心化子階的性質等.但對于矩陣作為李超代數的中心化子的研究報道非常少,尤其是關于求解這類中心化子的報道.本文就以三階矩陣為例,探求其作為李超代數中心化子的相關問題.

本文以文獻[2]中的素特征域上的CW(gl(0,3))為基礎,在第二節里計算并證明了gl(2,1)在wi(i=0,1,2)和ωi(i=0,1,2)的中心化子,在第三節里計算并證明了gl(1,2)在wi(i=0,1,2)和ω0的中心化子,在第四節中利用前兩節的思路直接給出了gl(3,0)在wi(i=0,1,2)和ωi(i=0,1,2)的中心化子的相關命題.最后給出了三階矩陣李超代數的中心化子的一般規律及其結論.

1預備知識

[x,y]=-(-1)d(x)d(y)[y,x],?x,yhg(L),

(-1)d(z)d(x)[x,[y,z]]+(-1)d(x)d(y)[y,[z,x]]+(-1)d(y)d(z)[z,[x,y]]=0(?x,y,zhg(L)),

則稱L是F上的李超代數.

Endθ(V)={xEnd(V)|x(Vμ)?Vμ+0},?μZ2},

根據文獻[4],我們知道廣義Witt型李超代數有如下結構

W=w⊕ω,

其中:

則顯然有:

{X1D1,X2D1,ζ1D1,X1D2,X2D2,ζ1D2,X1d1,X2d1,ζ1d1}是李超代數gl(2,1)的基,{X1D1,ζ1D1,ζ2D1,X1d1,ζ1d1,ζ1d2,X1d2,ζ1d2,ζ2d2} 是李超代數gl(1,2)的基, {X1D1,X2D1,X3D1,X1D2,X2D2,X3D2,X1D3,X2D3,X3D3}是李超代數gl(3,0)的基.

定義1.3 設L是李代數,A是L-模,Hn(L,A)=kerδn/Imδn-1稱為L的系數在其模A上的n維上同調.

顯然H0(L,A)則表示零維上同調.有關李代數上同調的相關概念及其性質請參見文獻[5].對于任意的L-模A有如下引理1.1.

引理1.1 對于任意L-模A,H0(L,A)={aA|x·a=0,xL}.

滿足此性質的元素a稱為A中的不變元, 由所有的不變元構成的模A的子空間記為AL.素特征域上的CW(gl(0,3))詳見文獻[4].

2中心化子CW(gl(2,1))

2.1H0(gl(2,1),w)

命題1H0(gl(2,1),w0)=〈X(α)-〈i〉Dk|i{1,2},|α|=2,kY0{1,2}〉 ⊕

〈ζjDk|jY1{1},kY0{1,2})〉.

證明由w0=〈X(α)ζuDk||α|+|u|=1,kY0〉可知,將其分為ζjDk和X(α)Dk,|α|=1.

由D1,D2,…，Dm線性無關,所以ck=0,則gj1-gj2=0,g1k=0.此時結果為

〈ζjDk|jY1{1},kY0{1,2}〉.

[XsDt,a]=0,[Xsd1,a]=0,[ζ1Dt,a]=0,[ζ1d1,a]=0

此時結果為〈X(α)-〈i〉Dk|i{1,2},|α|=2,kY0{1,2}〉.

綜上所述,H0(gl(2,1),w0)=〈X(α)-〈i〉Dk|i{1,2},|α|=2,kY0{1,2}〉⊕

〈ζjDk|jY1{1},kY0{1,2}〉.

命題2H0(gl(2,1),w1)=〈X(α)-〈i〉ζjDk|i{1,2},|α|=2,jY1{1},kY0{1,2}〉⊕

〈X(β)-〈i〉Dk|i{1,2},|β|=3,kY0{1,2}〉⊕〈ζu-〈j〉Dk|j{1},|u|=3,kY0{1,2}〉.

證明由w1=〈X(α)ζuDk||α|+|u|=2,kY0〉可知,將其分為ζiζjDk,X(α)ζjDk和X(β)Dk三種情況.其中|α|=1,|β|=2.

(1) 當X(α)ζttDk的X(α)為X1或X2,X(β)中含有X1或X2時,對于ζiζjDk(i

則根據[ζ1D1,a]=0,[ζ1D2,a]=0以及D1,D2,…，Dm線性無關,可知cjk=gk=0.根據[XsD1,a]=0(s,t=1,2),[Xsd1,a]=0,[ζ1d1,a]=0.可知hij1=hij2=0,h1jk=0.

對于kY0{1,2}時，討論ζiζjDk中的i,j的取值問題.若i=j=1,則有[ζ1d1,ζiζjDk]=ζ1ζ1Dk;若i=j且均≠1時，[gl(2,1),ζiζjDk]=0.此時結果為

〈ζu-〈i〉Dk|jY1{1},|u|=3,kY0{1,2}〉.

(2)當X(α)ζjDk中X(α)不為X1或X2,其中：jY1{1},kY0{1,2},并且同時滿足X(β)中不含有X1或X2，kY0{1,2}時，則有[gl(2,1),a]=0此時結果為

〈X(α)-〈i〉ζjDk|i{1,2},|α|=2,jY1{1},kY0{1,2}〉⊕〈X(β)-〈i〉Dk|i{1,2},|β|=3,kY0{1,2}〉.

綜上所述,有

H0(gl(2,1),w1)=〈X(α)-〈i〉ζjDk|i{1,2},|α|=2,jY1{1},kY0{1,2}〉⊕

〈X(β)-〈i〉Dk|i{1,2},|β|=3,kY0{1,2}〉⊕〈ζu-〈j〉Dk|j{1},|u|=3,kY0{1,2}〉.

命題3H0(gl(2,1),w2)=〈X(α)-〈i〉ζu=〈j〉Dk||α|=2,i{1,2},|u|=3,j{1},kY0{1,2}〉⊕

〈X(β)-〈i〉ζjDk|i{1,2},|β|=3,jY1{1},kY0{1,2}〉⊕

〈X(γ)-〈i〉Dk|i{1,2},|γ|=4,kY0{1,2}〉⊕〈ζu-〈j〉Dk|j{1},|u|=4,kY0{1,2}〉.

證明由w2=〈X(α)ζuDk||α|+|u|=3,kY0〉可知,將其分為ζiζjDk,X(α)ζiζjDk,X(β)ζjζjDk和X(γ)Dk,四種情況.其中|α|=1,|β|=2，|γ|=3.

(1) 當X(α),X(β),X(γ)中含有X1或X2時,對于ζiζjζ1Dk(i

則根據[ζ1D1,a]=0,[ζ1D2,a]=0以及D1,D2,…，Dm線性無關,可知hijk=cjk=gk=0.根據[XsDt,a]=0(s,t=1,2),[Xsd1,a]=0,[ζ1d1,a]=0.可知mijl1=mijl2=0,m1jlk=0.

對于kY0{1,2}時，討論ζiζjζlDk中的i,j,l的取值問題.若i,j,l至少有兩個相等且不等于1時,則[ζ1d1,ζiζjζlDk]≠0；若i,j,l至少有兩個相等且不等于1時,則[gl(2,1),ζiζjζlDk]=0.此時結果為〈ζu-〈i〉Dk|j{1},|u|=4,kY0{1,2}〉.

(2)當X(α),X(β),X(γ)中不含有為X1或X2,其中jY1{1},kY0{1,2},則[gl(2,1),a]=0.

此時結果為

〈X(α)-〈i〉ζu=〈j〉Dk|α|=2,i{1,2},|u|=3,j{1},kY0{1,2}〉⊕

〈X(β)-〈i〉ζjDk|i{1,2},|β|=3,jY1{1},kY0{1,2}〉⊕

〈X(γ)-〈i〉Dk|i{1,2},|γ|=4,kY0{1,2}〉.

綜上所述, 有

H0(gl(2,1),w2)=〈X(α)-〈i〉ζu=〈j〉Dk||α|=2,i{1,2},|u|=3,j{1},kY0{1,2}〉⊕

〈X(β)-〈i〉ζjDk|i{1,2},|β|=3,jY1{1},kY0{1,2}〉⊕

〈X(γ)-〈i〉Dk|i{1,2},|γ|=4,kY0{1,2}〉⊕〈ζu-〈j〉Dk|j{1},|u|=4,kY0{1,2}〉.

推論1 對于Wk(k≥1)而言,結果應有k+2項直和.即

H0(gl(2,1),wk)=⊕〈X(α)-〈i〉ζu=〈j〉Dk|2≤α≤k+1,i{1,2},|α|+|u|=k+3,j{1},kY0{1,2}〉⊕

〈X(α)-〈i〉Dk|i{1,2},|α|=k+2,kY0{1,2}⊕ 〈ζu-〈j〉Dk|j{1},|u|=k+2,kY0{1,2}〉.

由命題1-3以及推論1可得定理1.

定理1H0(gl(2,1),w)=H0(gl(2,1),w0)⊕H0(gl(2,1),wk)(1≤k≤n).

2.2H0(gl(2,1),ω)

命題4H0(gl(2,1),ω0)=〈X(α)-〈i〉dk|i{1,2},|α|=2,kY1{1}⊕ 〈ζjDk|jY1{1},kY1{1}〉.

證明由ω0=〈X(α)ζudk||α|+|u|=1,kY1〉可知,將其分為ζjdk和X(α)dk,|α|=1.

由d1,d2,…，dn線性無關,則有ck=0,所以gj1=0,g1k=0.此時結果為

〈ζjdk|jY1{1},kY0{1,2}〉.

[XsDt,a]=0,[Xsd1,a]=0,[ζ1Dt,a]=0,[ζ1d1,a]=0.

此時結果為〈X(α)-〈i〉dk|i{1,2},|α|=2,kY1{1}〉.

綜上所述,H0(gl(2,1),ω0)=〈X(α)-〈i〉dk|i{1,2},|α|=2,kY1{1}⊕ 〈ζjDk|jY1{1},kY1{1}〉.

命題5H0(gl(2,1),ω1)=〈X(α)-〈i〉ζjdk|i{1,2},|α|=2,jY1{1},kY1{1}〉⊕

〈X(β)-〈i〉dk|i{1,2},|β|=3,kY1{1}〉⊕〈ζu-〈jdk|j{1},|u|=3,kY1{1}〉.

證明由ω1=〈X(α)ζukk||α|+|u|=2,kY1〉可知,將其分為ζiζjdk,X(α)ζjdk和X(β)dk三種情況.其中|α|=1,|β|=2.

(1) 當X(β)中含有X1或X2時,對于ζiζjDk,i

則根據[XsDt,a]=0(s,t=1,2)及d1,d2,…，dn線性無關有cjk=gk=0.由[ζ1D1,a]=0,[ζ1D2,a]=0.可知hij1=0.由[Xsd1,a]=0,可得hij1=0，hijk=0.對于kY1{1}時，討論ζiζjDk中的i,j的取值問題.若i=j=1,則有[X1,d1,ζiζjdk]=X,ζ1dk≠0;若i=j且均≠1時，[gl(2,1),ζiζjdk]=0.此時結果為

〈ζu-〈i〉dk|j{1},|u|=3,kY1{1}〉.

(2)當X(α)ζjdk中X(α)不為X1或X2,其中：jY1{1},kY1{1},X(β)中不含有X1或X2，kY1{1}時，

則有[gl(2,1),a]=0,此時結果為

〈X(α)-〈i〉ζjDk|i{1,2},|α|=2,jY1{1},kY0{1,2}〉⊕

〈X(β)-〈i〉Dk|i{1,2},|β|=3,kY0{1,2}〉.

綜上所述,有

H0(gl(2,1),ω1)=〈X(α)-〈i〉ζjdk|i{1,2},|α|=2,jY1{1},kY1{1}〉⊕

〈X(β)-〈i〉dk|i{1,2},|β|=3,kY1{1}〉⊕〈ζu-〈j〉dk|j{1},|u|=3,kY1⊕{1}〉.

命題6

H0(gl(2,1),ω2)=〈X(α)-〈i〉ζu=〈j〉dk||α|=2,i{1,2},|u|=3,j{1},kY1{1}〉⊕

〈X(β)-〈i〉ζjdk|i{1,2},|β|=3,jY1{1},kY1{1}〉⊕

〈X(γ)-〈i〉dk|i{1,2},|γ|=4,kY1{1}〉⊕〈ζu-〈j〉dk|j{1},|u|=4,kY1{1}〉.

證明由ω2=〈X(α)ζudk||α|+|u|=3,kY1〉可知,將其分為ζiζjζ1dk,X(α)ζiζjdk,X(β)ζjζjdk和X(γ)dk,四種情況.其中|α|=1,|β|=2，|γ|=3.

(1) 當X(α),X(β),X(γ)中含有X1或X2時,對于ζiζjζldk(i

則根據[XsD1,a]=0,(s,t=1,2]及d1,d2,…，dn線性無關,可知hijk=cjk=gk=0.由[ζ1Dt,a]=0可知mijl1=0,由[Xsd1,a]=0,得到m1jlk=0,由[ζ1d1,a]=0,有m1jlk=mijl1=0.

對于kY1{1}時，討論ζiζjζldk中的i,j,l的取值問題.若i,j,l至少有兩個相等且不等于1時,則[ζtD1,ζiζjζldk]≠0；若i,j,l至少有兩個相等且不等于1時有[gl(2,1),ζiζjζldk]=0.此時結果為

〈ζu-〈j〉dk|j{1},|u|=4,kY1{1}〉.

(2)當X(α),X(β),X(γ)中不含有為X1或X2,其中jY1{1},kY1{1},則[gl(2,1),a]=0.此時,結果為

〈X(α)-〈i〉ζu=〈j〉dk|α|=2,i{1,2},|u|=3,j{1},kY1{1}〉⊕

〈X(β)-〈i〉ζjdk|i{1,2},|β|=3,jY1{1},kY1{1}〉⊕〈X(γ)-〈i〉dk|i{1,2},|γ|=4,kY1{1}〉.

綜上所述, 有

H0(gl(2,1),ω2)=〈X(α)-〈i〉ζu-〈j〉dk||α|=2,i{1,2},|u|=3,j{1},kY1{1}〉⊕

〈X(β)-〈i〉ζjdk|i{1,2},|β|=3,jY1{1},kY1{1}〉⊕

〈X(γ)-〈i〉dk|i{1,2},|γ|=4,kY1{1}〉⊕〈ζu-〈j〉dk|j{1},|u|=4,kY1{1}〉.

推論2 對于ωk(k≥1)而言,結果應有k+2項直和.即

〈X(α)-〈i〉dk|i{1,2},|α|=k+2,kY1{1}⊕ 〈ζu-〈j〉dk|j{1},|u|=k+2,kY1{1}〉.

由命題4-6以及推論2可得定理2.

定理2H0(gl(2,1),ω)=H0(gl(2,1),ω0)⊕H0(gl(2,1),ωk)(1≤k≤n).

所以結論如下:

Cw(gl(2,1))=H0(gl(2,1),W)=H0(gl(2,1),w)⊕H0(gl(2,1),ω)=

H0(gl(2,1),w0)⊕H0(gl(2,1),wk)⊕H0(gl(2,1),ω0)H0(gl(2,1),ωk),

其中1≤k≤n.

3中心化子CW(gl(1,2))

3.1H0(gl(1,2),w)

命題7H0(gl(2,1),w0)=〈X(α)-〈i〉Dk|i{1},|α|=2,kY0{1}〉 ⊕

〈ζjDk|jY1{1,2},kY0{1})〉.

證明由w0=〈X(α)ζuDk||α|+|u|=1,kY0〉可知,將其分為ζjDk和X(α)Dk,|α|=1,

〈ζjDk|jY1{1,2},kY0{1}〉.

〈X(α)-〈i〉Dk|i{1},|α|=2,kY0{1}〉.

綜上所述有H0(gl(1,2),w0)=〈X(α)-〈i〉Dk|i{1},|α|=2,kY0{1}〉⊕〈ζjDk|jY1{1,2},kY0{1}〉.

命題8H0(gl(1,2),w1)=〈X(α)-〈i〉ζu-〈j〉Dk|i{1},|α|=2,j{1,2},|u|=2,kY0{1}〉⊕

〈X(β)-〈i〉Dk|i{1},|β|=3,kY0{1}〉⊕〈ζu-〈j〉Dk|j{1,2},|u|=3,kY0{1}〉.

證明由w1=〈X(α)ζuDk||α|+|u|=2,kY0〉可知,將其分為ζiζjDk,X(α)ζjDk和X(β)Dk三種情況.其中|α|=1,|β|=2.

(1) 當X(α)ζuDk的X(α)為X1,X(β)為X1時,對于ζiζjDk(i

則根據[ζ1D1,a]=0,[ζ2D1,a]=0以及D1,D2,…，Dm線性無關,可知cjk=gk=0.由[ζsdt,a]=0(s,t=1,2).可得h1jk=h2jk=0,再由[X1dt,a]=0,[X1D1,a]=0有h1jk=0，hij1=0.

對于kY0{1}時，討論ζ1ζ1ζDk;若i=j且均≠1時，[gl(2,1),ζiζjDk]=0.此時結果為

〈ζu-〈j〉Dk|jY1{1},|u|=3,kY0{1}〉.

(2)當X(α)ζjDk中X(α)不為X1或X2,其中：jY1{1},kY0{1,2},并且同時滿足X(β)中不含有X1或X2，kY0{1,2}時，則有[gl(2,1),a]=0.此時結果為

〈X(α)-〈i〉ζjDk|i{1,2},|α|=2,jY1{1},kY0{1,2}〉⊕〈X(β)-〈i〉Dk|i{1,2},|β|=3,kY0{1,2}〉.

綜上所述,有

H0(gl(1,2),w1)=〈X(α)-〈i〉ζjDk|i{1},|α|=2,jY1{1},kY0{1,2}〉⊕

〈X(β)-〈i〉Dk|i{1,2},|β|=3,kY0{1}〉⊕〈ζu-〈j〉Dk|j{1,2},|u|=3,kY0{1}〉.

命題9H0(gl(1,2),w2)=〈X(α)-〈i〉ζu=〈j〉Dk||α|=2,i{1},|u|=3,j{1,2},kY0{1}〉⊕

〈X(β)-〈i〉ζu=〈j〉Dk|i{1},|β|=3,j{1，2}，|u|=2,kY0{1}〉⊕

〈X(γ)-〈i〉Dk|i{1},|γ|=4,kY0{1}〉⊕〈ζu-〈j〉Dk|j{1,2},|u|=4,kY0{1}〉.

證明由w2=〈X(α)ζuDk||α|+|u|=3,kY0〉可知,將其分為ζiζjζ1Dk,X(α)ζiζjDk,X(β)ζjDk和X(γ)Dk四種情況.其中|α|=1,|β|=2，|γ|=3.

(1) 當X(α),X(β),X(γ)中含有X1時,對于ζiζjζ1Dk,i

根據,[ζ1D1,a]=0,[ζ2D1,a]=0及D1,D2,…，Dn線性無關,可知hijk=cjk=gk=0.由[ζsdt,a]=0(s,t=1,2),[X1dt,a]=0,得到m1jlk=m2jlk=0.由[X1D1,a]=0,有hijl1=0.

對于kY0{1}時，討論ζiζjζldk中的i,j,l的取值問題.若i,j,l至少有兩個相等且不等于1(或者2),則[ζsdt,ζiζjζlDk]≠0；若i,j,l至少有兩個相等且不等于1(和2)時有[gl(1,2),ζiζjζldk]=0.此時結果為〈ζu-〈j〉Dk|j{1，2},|u|=4,kY0{1}〉.

(2)當X(α),X(β),X(γ)中不含有為X1,而kY0{1},則[gl(2,1),a]=0.此時,結果為

〈X(α)-〈i〉ζu=〈j〉Dk|α|=2,i{1},|u|=3,j{1，2},kY0{1}〉⊕

〈X(β)-〈i〉ζu=〈j〉Dk|i{1},|β|=3,j{1，2}，|u|=2,kY0{1}〉⊕

〈X(γ)-〈i〉Dk|i{1},|γ|=4,kY0{1}〉.

綜上所述, 有

H0(gl(1,2),w2)=〈X(α)-〈i〉ζu=〈j〉Dk||α|=2,i{1},|u|=3,j{1,2},kY0{1}〉⊕

〈X(β)-〈i〉ζu=〈j〉Dk||β|=3,i{1},|u|=2,j{1,2},kY0{1}〉⊕

〈X(γ)-〈i〉Dk||γ|=4,1{1},kY0{1}〉⊕〈ζu-〈j〉Dk||u|=4,j{1,2},kY0{1}〉.

推論3 對于wk(k≥1)而言,結果應有k+2項直和.即

〈X(α)-〈i〉Dk|i{1},|α|=k+2,kY0{1}⊕ 〈ζu-〈j〉Dk|j{1,2},|u|=k+2,kY0{1}〉.

由命題7-9以及推論3可得定理3.

定理3H0(gl(1,2),w)=H0(gl(1,2),w0)⊕H0(gl(1,2),wk)(1≤k≤n).

3.2H0(gl(2,1),ω)

命題10H0(gl(2,1),ω0)=〈X(α)-〈i〉dk|i{1},|α|=2,kY1{1,2}〉 ⊕

〈ζjDk|jY1{1,2},kY1{1,2})〉.

證明類似命題4的證明方法可證,在此省略.

命題11H0(gl(1,2),ω1)=〈X(α)-〈i〉ζu-〈j〉dk|i{1},|α|=2,j{1,2},kY1{1,2}〉⊕

〈X(β)-〈i〉dk|i{1},|β|=3,kY1{1,2}〉⊕〈ζu-〈j〉dk|j{1,2},|u|=3,kY1{1,2}〉.

證明類似命題5的證明方法可證,在此省略.

類比推論2的結論,同理可得推論4.

推論4 對于ωk(k≥1)而言,結果應有k+2項直和.即

〈X(α)-〈i〉dk|i{1},|α|=k+2,kY1{1,2}⊕ 〈ζu-〈j〉dk|j{1,2},|u|=k+2,kY1{1,2}〉.

由命題10-11以及推論4可得定理4.

定理4H0(gl(1,2),ω)=H0(gl(1,2),ω0)⊕H0(gl(1,2),ωk)(1≤k≤n).

由此可得如下結論:

Cw(gl(1,2))=H0(gl(1,2),W)=H0(gl(1,2),w)⊕H0(gl(1,2),ω)=

H0(gl(1,2),w0)⊕H0(gl(1,2),wk)⊕H0(gl(1,2),ω0)⊕H0(gl(1,2),ωk),

其中1≤k≤n.

4中心化子Cw(gl(3,0))

4.1H0(gl(3,0),w)

參考2.1節和3.1節的證明方法,同理可得到以下命題和定理.

命題12H0(gl(3,0),w0)=〈X(α)-〈i〉Dk|i{1,2,3},|α|=2,kY0{1,2,3}〉 ⊕

〈X1D1+X2D2+X3D3〉⊕〈ζuDk||u|=1,kY0{1,2,3})〉.

命題13H0(gl(3,1),w1)=〈X(α)-〈i〉Dk|i{1,2,3},|α|=3,kY0{1,2,3}〉⊕

〈X2(1)D1+X2(2)D2+X2(3)D3〉⊕〈X(α)-〈i〉ζjDk|i{1,2,3},|α|=2,jY1,kY0{1,2,3}〉⊕

〈X1ζjD1+X2ζjD2+X3ζjD3+|jY1〉⊕〈ζuDk||u|=2,kY0{1,2,3}〉.

命題14H0(gl(3,0),w2)=〈X(α)-〈i〉Dk|i{1,2,3},|α|=4,kY0{1,2,3}〉⊕

〈X3(1)D1+X3(2)D2+X3(3)D3〉⊕〈X(α)-〈i〉ζjDk|i{1,2,3},|α|=3,jY1,kY0{1,2,3}〉⊕

〈X2(1)ζjD1+X2(2)ζjD2+X2(3)ζjD3|jY1〉〉

〈X(α)-〈i〉ζuDk|i{1,2,3},|α|=2,|u|=2,kY0{1,2,3}〉⊕

〈X1ζuD1+X2ζuD2+X3ζuD3+||u|=2〉⊕〈ζuDk||u|=3,kY0{1,2,3}〉.

推論5 對于wk(k≥0)而言,結果應有2k+3項直和.即

〈Xm(1)ζuD1+Xm(2)ζuD2+Xm(3)ζuD3|0≤m≤k+1,|m|+|u|=k+1〉⊕

〈X(α)-〈i〉Dk|i{1,2,3},|α|=k+2,kY0{1,2,3}〉.

說明在這一節中凡是含偶部元素的情況,均須單獨考慮它的冪次.

4.2H0(gl(3,0),ω)

參考2.2節和3.2節的證明方法, 同理可得到以下命題和定理.

命題15H0(gl(3,0),ω0)=〈X(α)-〈i〉dk|i{1,2,3},|α|=2,kY1〉⊕〈ζjdk|j,kY1〉.

命題16H0(gl(3,0),ω1)=〈X(α)-〈i〉dk|i{1,2,3},|α|=3,kY1〉⊕

〈X(α)-〈i〉ζjdk|i{1,2,3},|α|=2,j,kY1〉⊕〈ζudk||u|=2,kY1〉.

命題17H0(gl(3,0),ω2)=〈X(α)-〈i〉dk|i{1,2,3},|α|=4,kY1〉⊕

〈X(α)-〈i〉ζjdk|i{1,2,3},|α|=3,j,kY1〉⊕

〈X(α)-〈i〉ζjdk|i{1,2,3},|α|=2,|u|=2,kY1〉⊕〈ζudk||u|=4,kY1〉.

推論6 對于ωk(k≥0)而言,結果應有k+2項直和.即

〈X(α)-〈i〉dk|i{1,2,3},|α|=k+2,kY1〉⊕〈ζudk||u|=k+1,kY1〉.

因此得到如下結論：

CW(gl(3,0))=H0(gl(3,0),W)=H0(gl(3,0),w)⊕H0(gl(3,0),ω)=

其中0≤k≤n.

[1]孫麗萍,遠繼霞,劉文德.李超代數g(l)2|1到Witt超代數的低維上同調[J].數學的實踐與認識,2013,43(8)238-243.

[2]田麗媛,侯瑩,鄭克禮.素特征域上gl(0,3)在廣義Witt李超代數中的中心化子[J].哈爾濱師范大學自然科學學報,2016,32(2):5-7.

[3]張永正,劉文德.模李超代數[M].北京：科學出版社,2004.

[4]鄭克禮.李超代數的若干結構與表示[D].長春：東北師范大學,2014.

[5]HOCHSCHILD G.Cohomology of Lie Algebras[J].Annals of Mathematics,1953,57(3):591-603.

CentralizerofLieSuperalgebrasof3×3Matrix

HOU Ying1,ZHENG Ke-li2, CHEN Liang-yun1

(1.School of Mathematics and Statistics, Northeast Normal University, Changchun 130024, China; 2.Northeast Forestry University, Harbin 150040, China )

This paper mainly discussed the centralizer of Lie superalgebras of 3×3 matrix which is divided into four conditions, namely, gl(2,1),gl(1,2),gl(3,0) and gl(0,3).On the basis of the previous conclusions, the similar method was applied to the analysis.Calculated and proved were the centralizer of the even and odd situation of gl(2,1) when i=0,1,2, and that of the even situation of gl(1,2) when i=0,1,2 and that of the odd situation of gl(1,2) when i=0, and that of the even and odd situation of gl(3,0) when i=0,1,2.The general rules of the centralizer of Lie superalgebras of 3×3 matrix were summarized and conclusions were put forward.

3×3 matrix; centralizer; Lie superalgebra

格式：侯瑩,鄭克禮,陳良云.三階矩陣李超代數的一類中心化子[J].海南熱帶海洋學院學報,2017,24(5):42-49.

2017-09-11

國家自然科學基金資助項目(11171055)

侯瑩(1995-),女,吉林舒蘭人,東北師范大學數學與統計學院基礎數學專業2017級碩士研究生,研究方向為李代數.

陳良云(1972-),男,四川廣安人,東北師范大學數學與統計學院教授,博士,博士生導師,研究方向為李代數.

O152.5

A

2096-3122(2017) 05-0042-08

10.13307/j.issn.2096-3122.2017.05.08

(編校吳炎)