關于一類偶階中立型時滯微分不等式最終正解的不存在性的注記

林文賢, 楊雯抒

(1.韓山師范學院 數學與統計學院,廣東 潮州 521041; 2.嘉應學院 數學學院,廣東 梅州 514015)

關于一類偶階中立型時滯微分不等式最終正解的不存在性的注記

林文賢1, 楊雯抒2

(1.韓山師范學院 數學與統計學院,廣東 潮州 521041; 2.嘉應學院 數學學院,廣東 梅州 514015)

利用廣義Riccati變換、積分平均技巧及直接分析方法,研究一類具連續偏差變元與阻尼項的偶數階中立型時滯微分不等式,得到了該時滯微分不等式沒有最終正解的一些新的充分條件, 所得定理拓廣和改進了最近文獻的結論.

最終正解;阻尼項;時滯微分不等式

0 引言和引理

微分不等式是研究常微分方程解的振動性的重要理論.其中具有連續分布時滯和阻尼項的微分不等式,在隨機系統控制、自動控制和神經網絡等實際問題中有著廣泛的應用,所以研究時滯微分不等式,不僅有較高的理論價值,而且有較大的實際應用,因此這一研究領域受到了人們的廣泛關注,并且人們在該領域的研究中已取得了許多較好的結果.本文將研究如下帶有連續分布時滯和阻尼項的偶數階中立型時滯微分不等式:

[m(t)y(n-1)(t)]′+r(t)y(n-1)(t)+?bap(t,ξ)f(x[g(t,ξ)])dσ(ξ)≤0,

(1)

[m(t)y(n-1)(t)]′+r(t)y(n-1)(t)+?bap(t,ξ)f(x[g(t,ξ)])dσ(ξ)≥0,

(2)

其中:y(t)=x(t)+c(t)x(t-τ),n是偶數,τ>0是常數.

假設下列條件(H)成立:

(H1)c(t)∈([t0,∞),[0,1]]),f(x)∈(R,R),且xf(x)>0(x≠0);

(H2)p(t,ξ)∈([t0,∞)×[a,b],[0,∞)),且p(t,ξ)在[t0,∞]×[a,b],tμ≥t0上不最終恒為零;

(H3)r(t),m(t)∈1([0,∞),?+∞t0expdt=∞,r′(t)≥0;

(H4)g(t,ξ)∈([t0,∞)×[a,b],[0,∞)),g(t,a)存在,g(t,ξ)≤t,ξ∈[a,b],g(t,ξ)分別對于t和ξ不減,且

(H5)σ(ξ)∈([a,b],R)非減,不等式(1)和(2)中的積分為Stieltjes積分.

引理1[7]設u(t)∈n([t0,∞),R)保持不變號,在[t0,∞)上u(n)(t)≠0且滿足u(n)(t)u(t)≤0,則有

(i)存在tu≥t0使得u(i)(t)在([t1,∞),R)上不變號,i=1,2,…，n-1；

(ii)存在l∈{0,1,2,…n-1},n+l為奇數,使得u(i)(t)>0,t≥tu,i=0,1,2，…，l;(-1)1+lu(i)(t)>0,t≥tu,i=l+1,…，n.

引理2[8]如果引理1的條件成立,且u(n-1)(t)·u(n)(t)≤0,t≥t0,則存在常數θ∈(0,1)和M>0,使得對足夠大的t,有|u′(θt)|≥Mtn-2|u(n-1)(t)|.

1 主要結果

(3)

則時滯微分不等式(1)沒有最終正解.

證明用反證法.假設x(t)是時滯微分不等式(1)的最終正解,則必有t1≥t0,使得

x(t)>0,x(t-τ)>0,x[g(t,ξ)]>0,t≥t1,ξ∈[a,b].

則有:y(t)≥x(t)>0,t≥t1,且

[m(t)y(n-1)(t)]′+r(t)y(n-1)(t)≤-λ?bap(t,ξ)x[g(t,ξ)]dσ(ξ)≤0,t≥t1.

b(t)[m(t)y(n-1)(t)]′+b(t)y(n-1)(t)≤-λb(t)?bap(t,ξ)x[g(t,ξ)]dσ(ξ)≤0,t≥t1,

上式可變為

[m(t)b(t)y(n-1)(t)]′≤-λb(t)?bap(t,ξ)x[g(t,ξ)]dσ(ξ)≤0,t≥t1.

(4)

因為m(t)b(t)y(n-1)(t2)<0為t的單調遞減函數,從而可證y(n-1)(t)≥0,t≥t1.事實上,若存在t2≥t1,使得y(n-1)(t2)<0,則當t>t2時有[m(t)b(t)y(n-1)(t)]′≤m(t2)b(t2)y(n-1)(t2)<0,從t2到t對上式積分, 得

同時由于[m(t)b(t)y(n-1)(t)]′=b(t)[m′(t)y(n-1)(t)+m(t)y(n)]≤0.以及條件(H3)可得y(n)(t)≤0,t≥t2.

由引理1可知存在t3≥t2和奇整數l(0≤1≤n-1),使得:

y(i)(t)>0,0≤i0,l≤i

取i=1,得y′(t)>0,t≥t3.由定理的條件得

0≥[b(t)y(n-1)(t)]′+b(t)?bap(t,ξ)f(x[g(t,ξ)]dσ(ξ)≥

[b(t)y(n-1)(t)]′+λb(t)?bap(t,ξ){y[g(t,ξ)]-c[g(t,ξ)]x[g(t,ξ)-τ]}dσ(ξ).

又由于y′(t)>0,y(t)≥x(t)>0,t≥t3,有y[g(s,ξ)]≥x[g(s,ξ)]≥x[g(s,ξ)-τ]，所以

[b(t)y(n-1)(t)]′+λb(t)?bap(t,ξ){1-c[g(s,ξ)]}y[g(s,ξ)]}dσ(ξ)≤0,t≥t3.

(5)

又由引理2,存在常數θ∈(0,1)和M>0有

y′[θg(t,a)]≥M[g(t,a)](n-2)y(n-1)[g(t,a)],t≥t3.

(6)

因為g(t,ξ)關于ξ不減,由(5)有

[b(t)y(n-1)(t)]′+λb(t)y[θg(t,a)]?bap(t,ξ){1-c[g(t,ξ)]}dσ(ξ)≤0,t≥t3.

(7)

令

(8)

則z(t)≥0.由g(t,ξ)≤t,ξ∈[a,b]有:

g(t,a)≤g(t,ξ)≤t,y(n-1)[g(t,a)]>0,y(n-1)[g(t,a)]≤0,t≥t3.

由式(6),(7)及(8)得到

(9)

于是對任意的t≥t2,有

?tt2λ(t-s)mb(s)?bap(s,ξ){1-c[g(s,ξ)]}dσ(ξ)ds≤

由此得到：

和

z(t2)+λ?t3t0b(s)?bap(s,ξ){1-c[g(s,ξ)]}dσ(ξ)ds.

在上式里令t→∞,并取上極限有

z(t3)+λ?t3t0b(s)?bap(s,ξ){1-c[g(s,ξ)]}dσ(ξ)ds<∞.

這樣與式(3)矛盾.定理1證畢.

定理2 令定理1中的條件成立.如果常數m≥2和存在p(t)∈′([t0,∞),(0,∞))有:

(10)

(11)

則時滯微分不等式(1)沒有最終正解.

證明假設結論不成立,x(t)是時滯微分不等式(1)最終正解,則由定理1證明過程中的式(9),有

?tt3λ(t-s)mp(s)b(s)?bap(s,ξ){1-c[g(s,ξ)]}dσ(ξ)ds≤

(t-t3)mρ(t3)z(t3)-?tt3(t-s)m-1[mp(s)-(t-s)p′(s)]z(s)ds-

(12)

進而得

利用式(10),得到

這樣與式(11)矛盾.定理2證畢.

定理3 設定理1中的條件成立,如果存在常數m≥2和函數p(t)∈′([t0,∞),(0,∞)),有

(13)

且存在φ(t)∈([t0,∞),R),使得對所有的u≥t0,有:

(14)

(15)

證明假設結論不成立,x(t)是時滯微分不等式(1)最終正解,則由定理2的證明可知,?t3≥t2≥t0,常數M>0,使得當t>u≥t3時,有:

?tu(t-s)mp(s)b(s)?bap(s,ξ){1-c[g(s,ξ)]}dσ(ξ)ds≤

進而有

定義函數:

則由式(12)可知:

(16)

(17)

(18)

利用式(13)和(18)得到

(19)

在式(16)里中令t→∞,取上極限,并使用式(17)可得

(20)

所以對足夠大的n,有v(tn)+w(tn)k為常數.由w(t)的定義,有

(21)

此外,由著名的Schwarz不等式得

于是有

令t→∞,利用式(19)得

(22)

利用式(21)可知

和

這樣與式(15)矛盾.定理3證畢.

相似于時滯微分不等式(1),我們也可以得到時滯微分不等式(2)的若干結論.也就是假設定理1～3的條件分別成立,則時滯微分不等式(2)沒有最終負解.

2 注記

注1當m(t)≡1和r(t)=0時,時滯微分不等式(1)和(2)就是文獻[1]所討論的偶階中立型時滯微分不等式,因而本文所得的定理改進和拓廣了文獻[1]的結論.

注2 當m(t)≡1時,時滯微分不等式(1)和(2)就是文獻[4]所討論的具阻尼項的偶階中立型時滯微分不等式,因而本文所得的定理改進和拓廣了文獻[4]的結論.

[1]林丹玲,俞元洪.偶階中立型分布時滯不等式最終正解的不存在性[J].安徽大學學報(自然科學版),2009,33(5):5-9.

[2]楊雯抒.含最小函數和時滯的二階中立型微分不等式[J].貴州師范大學學報(自然科學版),2007,25(3):78-80.

[3]林文賢.三階中立型分布時滯阻尼微分方程的振動定理[J].瓊州學院學報,2014,21(2):7-11.

[4]林文賢,陳秋杏.具阻尼項的偶階中立型微分不等式最終正解的不存在性[J].瓊州學院學報,2014,21(5):6-11.

[5]林文賢,張君敏.具分布時滯的偶數階非線性中立型泛函微分方程的Philos型振動定理[J].瓊州學院學報,2015,22(5):1-5.

[6]林文賢.一類三階半線性中立型阻尼微分方程的振動性[J].海南熱帶海洋學院學報,2016,23(5):38-43.

[7]KIGURADZE I T.On the oscillation of solutions of the equationdmu/dtm+a(t)|u|nsghu=0[J].Mat Sb,1964,65(2):172-187.

[8]PHILOS C G.A new criterion for the oscillatory and asymptotic behavior of delay differential equations[J].Bull.Acad.Pol.Sci.Ser.Sci.Mat,1981,39(1):61-64.

NotesonNon-existenceofEventuallyPositiveSolutionstoaClassofEvenOrderNeutralTimeDelayDifferentialInequalities

LIN Wen-xian1, YANG Wen-shu2

(1.School of Mathematics and Statistics, Hanshan Normal University, Chaozhou Guangdong 521041, China;2.School of Mathematics, Jiaying University, Meizhou Guangdong 514015, China)

A class of even order neutral functional differential inequalities with a damping term and continuous distributed deviating arguments was considered.By adopting the generalized Riccati transformation, integral average technique and direct analysis, several new results related to the nonexistence criteria for eventually positive solutions to such inequalities were developed.The works generalize various existing results.

eventually positive solutions; damp terms; time delay differential inequalities

格式：林文賢,楊雯抒.關于一類偶階中立型時滯微分不等式最終正解的不存在性的注記[J].海南熱帶海洋學院學報,2017,24(5):50-55+91.

2017-02-28

廣東省高等學校特色創新項目(2014GXJK125);廣東省高等教育教學改革項目(GDJG20142396)

林文賢(1966-),男,廣東潮州人,韓山師范學院教授,研究方向為泛函微分方程理論及應用的研究.

O175.13

A

2096-3122(2017) 05-0050-06

10.13307/j.issn.2096-3122.2017.05.09

(編校曾福庚)