基于馬爾克夫灰色殘差GM(1，1)模型的HTPB推進劑貯存壽命預估

杜永強，鄭 堅，彭 威，張 曉，顧志旭，劉忠會

(1.軍械工程學院，石家莊 050003；2.65185部隊，鐵嶺 112611)

2015-12-08；

2016-09-05。

杜永強(1991—)，男，碩士生，研究方向為復合固體推進劑貯存老化性能及建模。E-maildyqangus@163.com

基于馬爾克夫灰色殘差GM(1，1)模型的HTPB推進劑貯存壽命預估

杜永強1，鄭 堅1，彭 威1，張 曉1，顧志旭1，劉忠會2

(1.軍械工程學院，石家莊 050003；2.65185部隊，鐵嶺 112611)

針對Arrhenius方程將活化能假設與溫度無關的常數，給HTPB(端羥基聚丁二烯)推進劑壽命預估引入了誤差的問題，提出了基于馬爾克夫灰色殘差GM(1，1)模型的壽命預估方法。對HTPB推進劑進行了高溫加速壽命試驗，以最大延伸率作為性能變化表征參數，根據老化反應速率常數隨溫度的變化關系，建立了馬爾克夫灰色殘差GM(1,1)模型，對常溫條件下推進劑的老化反應速率常數進行了預測，并預估了HTPB推進劑在常溫條件下的貯存壽命為11.74 a。

HTPB推進劑；高溫加速壽命試驗；馬爾克夫灰色殘差GM(1,1)模型；壽命預估

0 引言

HTPB推進劑是一種以聚合物丁羥粘合劑為基體的并具有特定性能的含能復合材料，是火箭發動機的動力之源。在貯存過程中，由于受到復雜的物理、化學等因素的綜合影響，導致推進劑的力學性能逐漸發生變化而達不到使用要求[1-2]。為防止推進劑提前退役造成的資源浪費和過期服役可能造成的危害，需要對HTPB推進劑的貯存壽命進行預估。目前常用的方法是將高溫加速壽命試驗和Arrhenius方程相結合，建立推進劑力學性能隨貯存時間變化的老化模型，進而外推出常溫貯存下的使用壽命[3]。但Arrhenius方程將活化能假設為與溫度無關的常數，研究結果表明，活化能是反應溫度的函數，在溫度范圍較大時，推進劑的反應活化能發生了改變，因而使用Arrhenius方程為推進劑的壽命預估引入了誤差[4]。為提高壽命預估的精度，高大元等[5]提出了將Arrhenius方程修改為三參數公式，傅惠民等[6]在三參數公式的基礎上提出了整體預測方法，在一定程度上減小了預估結果的誤差。針對常溫自然老化試驗的樣本點有限的問題，陳奎等[7]將考慮馬爾克夫過程的灰色殘差GM(1，1)模型引入到材料的老化行為預測當中。結果表明，該方法的預測精度較高，是一種可靠的老化行為預測方法。但該方法尚未用于HTPB推進劑的高溫加速壽命試驗當中，壽命預估結果的準確性還沒有進行驗證。

本文將考慮馬爾克夫過程的灰色殘差GM(1，1)模型應用于HTPB推進劑貯存壽命預估研究當中，對HTPB推進劑進行了高溫加速壽命試驗，以最大延伸率作為力學性能表征參數，通過修正老化起點和建立老化模型，對HTPB推進劑在常溫下的貯存壽命進行了預估。為了驗證模型的準確性，將引入馬爾克夫過程的灰色殘差GM(1，1)模型的貯存壽命預估結果與Arrhenius方法和常溫外推試驗方法進行了對比分析。

1 試驗

1.1 試件的老化及測試

選取某型號啞鈴型HTPB推進劑試件進行試驗，將試件用鋁塑袋密封包裝，放入DU288型電熱油浴恒溫箱，參照GJB 770B—2005中506.1[8]的相關方法進行高溫加速壽命試驗。設置老化溫度分別為(45±1)、(55±1)、(65±1)、(75±1)℃，控制老化箱內的濕度小于30%RH。老化后的試件在進行最大延伸率測試之前，首先在密閉的干燥器中自然冷卻24 h，然后參照GJB 770B—2005中413.1[8]的方法，使用Instron 5982型材料拉伸機上測試試件的最大延伸率。記錄試驗數據，并繪制HTPB推進劑最大延伸率隨貯存時間的變化曲線。采用洛馬諾夫斯基準則(t檢驗準則)提出異常數據，選用正常的試驗數據進行分析處理。

1.2 試驗結果

圖1為高溫加速壽命試驗推進劑最大延伸率隨貯存時間的變化曲線。

由圖1可看出，在4個老化溫度下，HTPB推進劑最大延伸率隨貯存時間變化曲線的趨勢相同，說明4個溫度下推進劑的老化機理相似，且隨老化溫度升高，推進劑的老化反應速率明顯增加，這是因為高溫條件加速了推進劑的老化反應進程?？傮w上來看，HTPB推進劑最大延伸率隨貯存時間的增加呈現先快速下降后緩慢降低的趨勢[9]。

2 建模及分析

2.1 老化起點的修正

由圖1可看出，HTPB推進劑最大延伸率隨貯存時間的變化曲線與老化的對數模型的趨勢相同，故選取該模型進行分析：

εm=εm0+klgt

(1)

其中，εm為HTPB推進劑最大延伸率；εm0為常數；t為老化反應時間；k為老化反應速率常數，遵從Arrhenius方程[10]，且有：

k=Aexp(-E/RT)

(2)

其中，E為反應活化能，J/mol；A為指前因子；R為普適氣體常數，J/(mol·K)。

在固化過程中，老化反應也在同時進行，因此固化終點并非老化起點。假設HTPB推進劑在溫度T0下進行固化，加上固化前后的升降溫時間，總共的固化時間為t0，則其他溫度T下的對應時間由Arrhenius導出式進行修正：

(3)

式中 ΔT=T0-T。

將推進劑的反應活化能代入式(3)，可求得不同溫度T下k值與固化溫度T0下的k值之比。假設固化結束后式(1)中(εm-εm0)為一定值，則可導出：

(4)

即可求出不同老化溫度下的老化起點。

2.2 灰色殘差GM(1，1)模型

設不同老化溫度下的老化反應速率常數組成了序列K(0)，即K(0)={k(0)(1)，k(0)(2)，…，k(0)(n)}，可得一次累加序列K(1)，K(1)={k(1)(1)，k(1)(2)，…，k(1)(n)}，其中：

(5)

根據式(5)的計算結果，可得到序列K(1)的緊鄰均值序列Z(1)，Z(1)={z(1)(2)，z(1)(3)，…，z(1)(n)}，其中：

z(1)(m)=1/2(x(1)(m)+x(1)(m-1))，

m=2，3，…，n

(6)

構建微分方程dK(1)/dt+aK(1)=b，其中，參數a、b可由式(7)得出：

[a，b]T=(BTB)-1BTY

(7)

對上述微分方程進行求解，可得灰色GM(1，1)模型如式(8)所示：

(8)

其還原值滿足式(9)：

m=1，2，…，n

(9)

(10)

ε(0)={ε(0)(2)，ε(0)(3)，…，ε(0)(n)}

(11)

對得到的ε(0)按照式(5)～式(9)的步驟建立灰色GM(1，1)模型，可得：

m=2，3，…，n

(12)

m=2，3，…，n

(13)

m=2，3，…，n

(14)

2.3 馬爾克夫過程預測模型

灰色殘差GM(1，1)模型可用于預測其他老化溫度下推進劑的老化反應速率常數，但模型中預測的殘差修正值的符號難以確定，采用馬爾克夫過程預測模型，可有效解決這一問題[11]。

假設狀態1表示殘差為正值，狀態2表示殘差為負值，并確定初始狀態向量為

(15)

根據殘差序列的正負狀態，求出狀態轉移概率矩陣P：

(16)

pij=sij/si，i=1，2；j=1，2

(17)

式中sij為狀態i轉移到狀態j的次數；si為狀態i出現的次數。

則灰色殘差GM(1，1)模型預測的殘差修正值在下一時刻t的狀態轉移結果s(t)為

s(t)=s(0)·P

(18)

以s(t)中概率大的狀態作為時刻t時殘差修正值的狀態，即正負號。如果兩者的概率相等，則取上一時刻殘差修正值的狀態作為該時刻的狀態。

3 數據處理及壽命預估

本文所使用的HTPB推進劑在70 ℃條件下固化3 d，加上升降溫的時間，總計為4 d。依據線性活化能法[12]，測得推進劑活化能為21.338×103J/mol，代入式(3)、式(4)中可得修正的老化起點，如表1所示。

表1 修正的老化起點

將4個溫度下高溫加速壽命試驗結果代入式(1)中，借助MATLAB工具做線性擬合，并進行相關性分析，結果如表2所示。其中，r為相關性系數，r0.01為顯著性水平為0.01時的臨界相關系數，n為樣本點數。

表2 參數擬合及相關性分析

由表2分析結果可得出，對數模型的相關系數均大于0.98，說明選擇對數模型進行數據處理相關性水平較高。將表2中不同老化溫度下的老化反應速率常數按照2.2節和2.3節中的方法，建立灰色殘差GM(1，1)模型進行模擬和預測結果，并引入馬爾克夫過程預測模型預測殘差的正負值，結果見表3和表4。

由表3結果可知，灰色殘差GM(1，1)模型的模擬結果與實際值的相對誤差很小，說明該模型可用于老化反應速率常數的模擬和預測中。表4中采用馬爾克夫過程的預測模型預測得到殘差模擬值的符號均為負值，最終計算得到常溫25 ℃(298 K)條件下HTPB推進劑的老化反應速率常數為21.092 6。

表3 老化反應速率常數模擬結果

表4 老化反應速率常數預測結果

由表1老化起點的修正結果可知，在常溫25 ℃條件下HTPB推進劑的老化起點為162 d，最大延伸率初始值為45.7%，將此時預測得到的老化反應速率常數代入式(1)中可得：εm0=45.7+21.092 6×lg(162)=92.304 4，則常溫25 ℃條件下的老化模型為

εm=92.304 4-21.092 6lgt

(19)

以最大延伸率下降30%為失效判據，預估HTPB推進劑在常溫25 ℃條件下的貯存壽命為4.283 5×103d，即11.74 a。

為驗證模型預估壽命結果的準確性，將該模型與傳統Arrhenius方法和常溫外推試驗方法進行對比分析，結果如表5所示。

表5 模型對比分析結果

由表5可得出，傳統Arrhenius方法得到的老化反應速率常數低于考慮馬爾克夫過程的灰色殘差GM(1，1)模型的結果，預估得到的HTPB推進劑在常溫下的貯存壽命要大于常溫外推結果，且相對誤差較大，預估的精度不高；灰色殘差GM(1，1)模型的預估結果和常溫外推試驗結果相比，誤差只有5.06%，在誤差允許的范圍內，可以對HTPB推進劑的貯存壽命進行有效預估。

4 結論

(1)通過結合Arrhenius方程導出式和對數模型，對HTPB推進劑高溫加速壽命試驗的老化起點進行了修正，確保老化試驗結果與實際貯存相符合。

(2)借助灰色殘差GM(1，1)模型對HTPB推進劑在常溫25 ℃條件下的老化反應速率常數進行了預測，并引入馬爾克夫過程預測模型確定殘差修正值的符號，從而得到修正后的老化反應速率常數結果，運用該結果預估HTPB推進劑在常溫25 ℃條件下的貯存壽命為11.735 6 a，該預估壽命和常溫外推試驗結果相比誤差為5.06%，且小于傳統Arrhenius方法，驗證該模型可對HTPB推進劑的貯存壽命進行有效預估。

[1] 侯林法.復合固體推進劑[M].北京:中國宇航出版社,1994:1-2.

[2] 龐愛民.固體火箭推進劑理論與工程[M].北京:中國宇航出版社,2014:129-139.

[3] Huang W,Duane L.An alternative degradation reliability modeling approach using maximum likelihood estimation [J].IEEE Transactions on Reliability,2005,54(2):310-317.

[4] 楊根,趙永俊,張煒,等.HTPB推進劑貯存期預估模型研究[J].固體火箭技術,2006,29(4):283-285.

[5] 高大元,何碧,何松偉,等.Arrhenius方法的局限性討論[J].含能材料,2006,14(2):132-135.

[6] 傅惠民,楊立保,林逢春,等.固體推進劑貯存壽命整體預測方法[J].機械強度,2007,29(5):754-759.

[7] 陳奎,張天云,盧柏林,等.基于馬爾克夫的灰色殘差GM(1,1)模型在塑料老化行為預測中的應用[J].重慶大學學報,2014,37(5):71-76.

[8] GJB 770B—2005.火藥試驗方法[S].2005.

[9] 張興高.HTPB推進劑貯存老化特性及壽命預估研究[D].長沙:國防科技大學,2009.

[10] 胡榮祖,史啟禎.熱分析動力學[M].北京:科學出版社,2001.

[11] 王翠茹,孫辰軍,楊靜,等.改進殘差灰色預測模型在負載預測中的應用[J].電力系統及其自動化學報,2006,18(1):86-89.

[12] 張昊,羅懷德,杜鵑.線性活化能法預估推進劑貯存壽命研究[J].固體火箭技術,2002,25(2):56-58.

Shelf-lifepredictionforHTPBpropellantbasedonaMarkovgreyresidualGM(1，1)model

DU Yong-qiang1，ZHENG Jian1，PENG Wei1，ZHANG Xiao1，GU Zhi-xu1，LIU Zhong-hui2

(1.Ordnance Engineering College，Shijiazhuang 050003，China；2.Unit 65185，Tieling 112611，China)

To solve the problem that the activation energy is assumed to be independent of temperature in the Arrhenius equation, which introduces error to the shelf-life prediction of HTPB propellant,the storage life prediction method was proposed based on Markov grey residual GM(1，1)model.The high temperature accelerated life test of HTPB propellant was carried out,and the maximum elongation was used as the characteristic parameter.According to the relationship between the aging reaction rate constant with temperature change,the Markov grey residual GM(1，1)model was established.The aging reaction rate constant of propellant under room temperature was predicted,and the storage life of HTPB propellant under room temperature condition was estimated for 11.74 years.

HTPB propellant；high temperature accelerated life test；Markov GM(1，1)model；life prediction

V512

A

1006-2793(2017)05-0588-04

10.7673/j.issn.1006-2793.2017.05.009

(編輯：劉紅利)