基于隨機波動率模型的可轉換債券定價研究

湯芮 安徽財經大學金融學院金融工程專業

基于隨機波動率模型的可轉換債券定價研究

湯芮 安徽財經大學金融學院金融工程專業

如何對可轉換債券進行合理的定價是當今數理金融學研究的重要課題之一。然而縱觀現存的大量研究幾乎都是在假設波動率為常數的前提下，將可轉債分成債券與期權兩個相互獨立的部分進行定價求解。而實際中波動率往往是隨機的，將波動率的隨機性考慮到定價之中具有更大的實際意義。本項目將通過建立波動率為隨機條件下的期權定價模型從而對可轉換債券進行更精確地定價研究。

可轉換債券 隨機波動率 heston模型

一、引言

可轉換債券是指允許持有者在規定的時間內將債券按照一定的轉股比率換成公司股份的一種債券。從本質上說，就是在公司債券的基礎上附加一份期權。但不論是相比于基礎金融資產股票、債券，還是衍生金融產品期貨、期權等，可轉換債券都更具優勢。從國際市場上看，可轉債已成為多數發達國家金融資產的重要組成部分。因此如何對可轉換債券進行合理的定價具有很強的學術價值和理論意義。

關于可轉換債券的定價研究最早始于20世紀70年代，Black和Scholes（1973）在政治經濟雜志上發表了著名的B-S期權定價模型，為可轉換債券的定價提供了一定的理論基礎。Ingersoll（1977）率先提出基于公司價值的可轉債定價模型，并且得到了模型的解析解。同年Brennan和Schwartz在此基礎上，進一步考慮了發行公司的最優贖回政策，使用有限差分法得到了可轉債的價格。Sirbu（2006）基于公司價值模型，將可轉債價格看成是股東權益與債務價值的雙人博弈，從而簡化為最優停時問題進行定價。Laura Ballotta和Loannis Kyriakou（2014）假設公司價值服從指數-跳擴散過程，對利率隨機波動條件下的可轉換債券進行了數值定價。

由于這些模型均是在基于公司價值的基礎上給出的，而公司價值相對來說刻畫難度比較大，因此McConnell和Schwartz（1986）最早提出了基于公司股票價值的可轉換債券定價模型。在此基礎上，K.Tsiveriotis和C.Fernandes（1998）兩位學者將可轉換債券分為股權和債權兩個部分，進一步給出了基于股票價格的單因素模型。Kovalov和Linetsky（2008），考慮了利率，股票價格，波動率和違約風險四個因素，提出了可轉債定價的多因素模型，并通過建立偏微分方程，利用有限元方法進行求解。Stuart McCrary（2015）在John Hull（2010）二叉樹模型的基礎上，考慮了違約風險和隨機波動率，提出了期權定價的三叉樹模型。

在我國，可轉換債券的研究起步較晚。李莉等（2009）考慮了利率期限結構和信用風險對可轉債價值的影響，利用二叉樹和蒙特卡羅模擬方法建立了雙因素定價模型。同年，聞岳春和邱小平認為由于我國存在轉股向下修正預案，可轉換債權的價格較大程度被低估，因此在考慮了修正預期的前提下，采用蒙特卡羅模擬法對可轉債進行了定價。張為國等（2010）為考慮股票波動和無風險利率等不確定因素影響，假設連續復利率、無風險利率、股票價格和股價波動率等均為模糊數，運用模糊集理論，得出了可轉債的模糊定價模型。李念夷和陳懿冰（2011）則考慮了可轉債的違約風險，以相似經營業績和同等風險的企業債券收益率而不是無風險利率作為貼現率，給出了基于違約風險的三叉樹定價模型。賈兆麗等（2015）假設公司資產服從馬氏股價過程，同時利用快速傅里葉變換方法，給出了馬氏骨架過程下可轉債的定價公式。可以看出，國內有關可轉換債券的研究大多是在國外已有模型的基礎上進行的，缺乏一定的獨創性和突破性。

二、模型構建

縱觀目前國內外學者對于可轉換債券的研究，基本可以將定價模型大致分為兩類:一是通過對影響可轉換債券定價模型的一系列因素包括利率、股票價格等進行分析或模擬，從而確定可轉換債券的價格；二是將可轉換債券分解成獨立的債券和期權，分別對兩部分定價后再進行加總得到可轉換債券的價格。通過總結我們發現第二種方法普遍被業界接受認同，因此本文也將從可轉換債券的債券和期權兩個部分著手，研究可轉債的定價。

可轉換債權中純債券部分價值即為未來利息與最后本金和現金流的貼現值，而對于內嵌期權部分，大部分學者都是在假設標的資產波動率為常數，可轉換債權的價格只受標的資產價格變動影響的前提下，利用Black-Scholes公式進行建模求解。然而在實際中，由于標的資產本身價格是隨機波動的，所以波動率也應為隨機變量。為使理論定價結果更貼近現實，本文將考慮在標的資產波動率為隨機條件時期權的定價模型。

目前國內外關于隨機波動率的研究已經比較深入，大致可分為離散時間的隨機波動率和連續時間的隨機波動率模型兩類。在資產定價的研究中，連續型隨機波動率模型使用頻率相對更高。其中市場上的比較經典的隨機波動率模型基本可以歸納為Hull-White模型、Stein-Stein模型和Heston模型三種。Hull-White 模型中假設標的資產價格服從擴散過程，波動率服從正擴散過程，雖然適應性較好，但只能得到定價公式的近似解而存在一定的難度和缺陷性；Stein-Stein模型中假設標的資產波動率服從OU，即均值回歸過程，但由于模型中假設標的資產波動率可能存在負值，因此具有一定的局限性；而在仿射Heston模型中假設標的資產的波動率滿足CIR模型，能很好詮釋“波動率微笑”現象，同時給出定價模型具體的解析解，因而本文將在Heston模型的基礎上，建立隨機波動率下的定價模型。

具體地，本文將采取把可轉換債券分解成獨立的債券和期權兩部分進行定價的方法，因此下文將主要從純債券部分和純期權兩部分分別展開。

（一）純債券部分價值模型

對于可轉換債券中的純債券部分，根據現金流貼現理論，可轉換債券中債券部分的價值即為未來利息與最后本金和的現金流的貼現值。因此純債券部分價值為：

其中B表示純債券部分的價值；I表示每年收到的利息；r表示市場貼現率，一般指無風險利率；A表示債券本金；n表示從現在至到期日的剩余年限。

（二）純期權部分價值模型

根據1993年Heston提出的模型，假設標的資產價格和波動率滿足以下的隨機微分方程組：

其中St表示標的資產價格，vt表示標的資產價格的方差，ws、wV為標準布朗運動且相關系數為ρ，k為均值回歸系數，θ為長期方差，η為波動率方差，rt為收益率，假設為常數。

在Heston模型中期權價格滿足偏微分方程：

同時Heston給出了方程的顯形解，即歐式看漲期權的價格公式為：

（三）可轉換債券的價格

綜上所述，將純債券部分價值和純期權部分價值進行組合，得到可轉換債券的定價公式為：

三、實證研究

本文選取了近十年國內的200多只可轉換債券，根據信用評級、發行規模、上市起始和截止日等特征，以中行轉債為代表進行實證分析。基本信息如下表所示。

債券名稱 票面價值 信用評級 債券期限 票面利率 轉股期限中行轉債 100 AAA 2010.6.2-2016.6.2依次為0.5%、0.8%、1.1%、1.4%、1.7%、2%2010.12.2-2016.6.2

（一）純債券部分價值

根據鄭振龍和林海（2004）的研究表明，在中國特殊的制度背景下，可轉債中股性占了絕大部分，而且中國的信用風險溢籌不高，因此使用無風險利率進行貼現并不會產生太大的影響。本文將一年期的SHIBOR利率（4.43%）作為作為無風險利率進行貼現。由（1）式可分別求出三種可轉換的債券純債券部分的價值。

以中行轉債為例：面值為100元，存續期限為6年，票面利率從第一年的0.5%開始，逐年遞增0.3%。不考慮債券的贖回和回售條款，得到中行轉債的純債券部分價值為：

（二）純期權部分價值

1.運用Heston模型

（1）根據Heston模型的定價公式，在給定參數初始值的情況下，使用模擬退火法對模型進行參數校準。1993年Heston根據模型中五個參數的性質，給出了參數的限制范圍。根據Heston給出的參數的范圍，并結合等其他學者的研究結果，我們選取的參數的范圍如下表所示：

參數 參數范圍均值回歸速度：k （0，20）

長期方差：θ （0，2）波動率方差：η （0，2）股價和波動率隨機過程的相關系數：ρ（-1，1）初始方差：ν（0，2）

根據Gauthier & Rivaille(2009)確定初值的方法，本文設置待校準參數的初值為E={9.0，0.05，0.40，-0.5，0.04}。

（2）以中行轉債為例，其轉債條款中規定，初始轉股價格為每股4.02元，即X=4.02；在中行轉債發行時，中國銀行股價為每股4.2元，即S=4.2；轉債期限T-t=6(年)。因此根據Heston公式，得到歐式看漲期權的價格C=30.8657（元）

2.運用B-S模型

（1）歷史波動率的計算首先根據可轉債期限內標的資產價格的歷史數據中估計，得到歷史波動率。以中行轉債為例，從2010年12月2日到2016年6月2日，共有1334個數據，第i日股票價格的連續復利收益率為，則基于收益率樣本的標準差即為對應的日化歷史波動率，其中。

（2）看漲期權價格的計算

根據B-S期權定價公式，可得到歐式看漲期權價格為

以中行轉債為例，其轉債條款中規定，初始轉股價格為每股4.02元，即X=4.02；在中行轉債發行時，中國銀行股價為每股4.2元，即S=4.2；轉債期限T-t=6(年)。因此

查詢正態分布表可得：N(d1)=0.7895，N(d2)=0.5666，所以c=1.5698（元）。

由于轉股價格為每股4.02元，每張可轉換債券的面值為100元，所包含的期權價值C=100/4.02*1.5698=39.0498（元）

（三）可轉換債券的價值

綜上所述，以Heston模型計算出中行轉債的價值V=C+B=30.8657+83.37=114.2357（元）；以B-S模型計算出的價值V=C+B=39.0498+83.37=122.4198（元）。均高于可轉債的面值100元，但Heston模型計算出來的更貼合實際，計算效率更高。

四、結論

可轉換債券在我國仍屬于新興金融衍生產品，考慮隨機波動率下可轉換債券的定價不論是在科研還是實務界都有著其重要的意義。本文將可轉換債券的價值分成純債券部分的價值和純歐式看漲期權的價值，以中行轉債為例，通過Heston歲隨機波動率模型和B-S期權定價公式，分別計算出了可轉換債券的理論價格。同時我們發現，不論是Heston還是B-S公式，計算出的理論價格均高于實際可轉換債券的面值，但利用Heston模型計算出的價格更貼合實際。

了解可轉債的定價機制，有助于融資者制訂更加合理的可轉債條款，成功發行可轉債，同時也讓投資者能更好地進行資金的分配和投資，進一步推動我國證券市場的發展。

安徽財經大學國家級大學生創新訓練項目(項目編號:201610378447)。