基于隨機(jī)波動(dòng)率模型的可轉(zhuǎn)換債券定價(jià)研究

湯芮 安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)金融學(xué)院金融工程專(zhuān)業(yè)

基于隨機(jī)波動(dòng)率模型的可轉(zhuǎn)換債券定價(jià)研究

湯芮 安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)金融學(xué)院金融工程專(zhuān)業(yè)

如何對(duì)可轉(zhuǎn)換債券進(jìn)行合理的定價(jià)是當(dāng)今數(shù)理金融學(xué)研究的重要課題之一。然而縱觀現(xiàn)存的大量研究幾乎都是在假設(shè)波動(dòng)率為常數(shù)的前提下，將可轉(zhuǎn)債分成債券與期權(quán)兩個(gè)相互獨(dú)立的部分進(jìn)行定價(jià)求解。而實(shí)際中波動(dòng)率往往是隨機(jī)的，將波動(dòng)率的隨機(jī)性考慮到定價(jià)之中具有更大的實(shí)際意義。本項(xiàng)目將通過(guò)建立波動(dòng)率為隨機(jī)條件下的期權(quán)定價(jià)模型從而對(duì)可轉(zhuǎn)換債券進(jìn)行更精確地定價(jià)研究。

可轉(zhuǎn)換債券 隨機(jī)波動(dòng)率 heston模型

一、引言

可轉(zhuǎn)換債券是指允許持有者在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)將債券按照一定的轉(zhuǎn)股比率換成公司股份的一種債券。從本質(zhì)上說(shuō)，就是在公司債券的基礎(chǔ)上附加一份期權(quán)。但不論是相比于基礎(chǔ)金融資產(chǎn)股票、債券，還是衍生金融產(chǎn)品期貨、期權(quán)等，可轉(zhuǎn)換債券都更具優(yōu)勢(shì)。從國(guó)際市場(chǎng)上看，可轉(zhuǎn)債已成為多數(shù)發(fā)達(dá)國(guó)家金融資產(chǎn)的重要組成部分。因此如何對(duì)可轉(zhuǎn)換債券進(jìn)行合理的定價(jià)具有很強(qiáng)的學(xué)術(shù)價(jià)值和理論意義。

關(guān)于可轉(zhuǎn)換債券的定價(jià)研究最早始于20世紀(jì)70年代，Black和Scholes（1973）在政治經(jīng)濟(jì)雜志上發(fā)表了著名的B-S期權(quán)定價(jià)模型，為可轉(zhuǎn)換債券的定價(jià)提供了一定的理論基礎(chǔ)。Ingersoll（1977）率先提出基于公司價(jià)值的可轉(zhuǎn)債定價(jià)模型，并且得到了模型的解析解。同年Brennan和Schwartz在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步考慮了發(fā)行公司的最優(yōu)贖回政策，使用有限差分法得到了可轉(zhuǎn)債的價(jià)格。Sirbu（2006）基于公司價(jià)值模型，將可轉(zhuǎn)債價(jià)格看成是股東權(quán)益與債務(wù)價(jià)值的雙人博弈，從而簡(jiǎn)化為最優(yōu)停時(shí)問(wèn)題進(jìn)行定價(jià)。Laura Ballotta和Loannis Kyriakou（2014）假設(shè)公司價(jià)值服從指數(shù)-跳擴(kuò)散過(guò)程，對(duì)利率隨機(jī)波動(dòng)條件下的可轉(zhuǎn)換債券進(jìn)行了數(shù)值定價(jià)。

由于這些模型均是在基于公司價(jià)值的基礎(chǔ)上給出的，而公司價(jià)值相對(duì)來(lái)說(shuō)刻畫(huà)難度比較大，因此McConnell和Schwartz（1986）最早提出了基于公司股票價(jià)值的可轉(zhuǎn)換債券定價(jià)模型。在此基礎(chǔ)上，K.Tsiveriotis和C.Fernandes（1998）兩位學(xué)者將可轉(zhuǎn)換債券分為股權(quán)和債權(quán)兩個(gè)部分，進(jìn)一步給出了基于股票價(jià)格的單因素模型。Kovalov和Linetsky（2008），考慮了利率，股票價(jià)格，波動(dòng)率和違約風(fēng)險(xiǎn)四個(gè)因素，提出了可轉(zhuǎn)債定價(jià)的多因素模型，并通過(guò)建立偏微分方程，利用有限元方法進(jìn)行求解。Stuart McCrary（2015）在John Hull（2010）二叉樹(shù)模型的基礎(chǔ)上，考慮了違約風(fēng)險(xiǎn)和隨機(jī)波動(dòng)率，提出了期權(quán)定價(jià)的三叉樹(shù)模型。

在我國(guó)，可轉(zhuǎn)換債券的研究起步較晚。李莉等（2009）考慮了利率期限結(jié)構(gòu)和信用風(fēng)險(xiǎn)對(duì)可轉(zhuǎn)債價(jià)值的影響，利用二叉樹(shù)和蒙特卡羅模擬方法建立了雙因素定價(jià)模型。同年，聞岳春和邱小平認(rèn)為由于我國(guó)存在轉(zhuǎn)股向下修正預(yù)案，可轉(zhuǎn)換債權(quán)的價(jià)格較大程度被低估，因此在考慮了修正預(yù)期的前提下，采用蒙特卡羅模擬法對(duì)可轉(zhuǎn)債進(jìn)行了定價(jià)。張為國(guó)等（2010）為考慮股票波動(dòng)和無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率等不確定因素影響，假設(shè)連續(xù)復(fù)利率、無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率、股票價(jià)格和股價(jià)波動(dòng)率等均為模糊數(shù)，運(yùn)用模糊集理論，得出了可轉(zhuǎn)債的模糊定價(jià)模型。李念夷和陳懿冰（2011）則考慮了可轉(zhuǎn)債的違約風(fēng)險(xiǎn)，以相似經(jīng)營(yíng)業(yè)績(jī)和同等風(fēng)險(xiǎn)的企業(yè)債券收益率而不是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率作為貼現(xiàn)率，給出了基于違約風(fēng)險(xiǎn)的三叉樹(shù)定價(jià)模型。賈兆麗等（2015）假設(shè)公司資產(chǎn)服從馬氏股價(jià)過(guò)程，同時(shí)利用快速傅里葉變換方法，給出了馬氏骨架過(guò)程下可轉(zhuǎn)債的定價(jià)公式。可以看出，國(guó)內(nèi)有關(guān)可轉(zhuǎn)換債券的研究大多是在國(guó)外已有模型的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，缺乏一定的獨(dú)創(chuàng)性和突破性。

二、模型構(gòu)建

縱觀目前國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)于可轉(zhuǎn)換債券的研究，基本可以將定價(jià)模型大致分為兩類(lèi):一是通過(guò)對(duì)影響可轉(zhuǎn)換債券定價(jià)模型的一系列因素包括利率、股票價(jià)格等進(jìn)行分析或模擬，從而確定可轉(zhuǎn)換債券的價(jià)格；二是將可轉(zhuǎn)換債券分解成獨(dú)立的債券和期權(quán)，分別對(duì)兩部分定價(jià)后再進(jìn)行加總得到可轉(zhuǎn)換債券的價(jià)格。通過(guò)總結(jié)我們發(fā)現(xiàn)第二種方法普遍被業(yè)界接受認(rèn)同，因此本文也將從可轉(zhuǎn)換債券的債券和期權(quán)兩個(gè)部分著手，研究可轉(zhuǎn)債的定價(jià)。

可轉(zhuǎn)換債權(quán)中純債券部分價(jià)值即為未來(lái)利息與最后本金和現(xiàn)金流的貼現(xiàn)值，而對(duì)于內(nèi)嵌期權(quán)部分，大部分學(xué)者都是在假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)波動(dòng)率為常數(shù)，可轉(zhuǎn)換債權(quán)的價(jià)格只受標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格變動(dòng)影響的前提下，利用Black-Scholes公式進(jìn)行建模求解。然而在實(shí)際中，由于標(biāo)的資產(chǎn)本身價(jià)格是隨機(jī)波動(dòng)的，所以波動(dòng)率也應(yīng)為隨機(jī)變量。為使理論定價(jià)結(jié)果更貼近現(xiàn)實(shí)，本文將考慮在標(biāo)的資產(chǎn)波動(dòng)率為隨機(jī)條件時(shí)期權(quán)的定價(jià)模型。

目前國(guó)內(nèi)外關(guān)于隨機(jī)波動(dòng)率的研究已經(jīng)比較深入，大致可分為離散時(shí)間的隨機(jī)波動(dòng)率和連續(xù)時(shí)間的隨機(jī)波動(dòng)率模型兩類(lèi)。在資產(chǎn)定價(jià)的研究中，連續(xù)型隨機(jī)波動(dòng)率模型使用頻率相對(duì)更高。其中市場(chǎng)上的比較經(jīng)典的隨機(jī)波動(dòng)率模型基本可以歸納為Hull-White模型、Stein-Stein模型和Heston模型三種。Hull-White 模型中假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格服從擴(kuò)散過(guò)程，波動(dòng)率服從正擴(kuò)散過(guò)程，雖然適應(yīng)性較好，但只能得到定價(jià)公式的近似解而存在一定的難度和缺陷性；Stein-Stein模型中假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)波動(dòng)率服從OU，即均值回歸過(guò)程，但由于模型中假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)波動(dòng)率可能存在負(fù)值，因此具有一定的局限性；而在仿射Heston模型中假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)的波動(dòng)率滿(mǎn)足CIR模型，能很好詮釋“波動(dòng)率微笑”現(xiàn)象，同時(shí)給出定價(jià)模型具體的解析解，因而本文將在Heston模型的基礎(chǔ)上，建立隨機(jī)波動(dòng)率下的定價(jià)模型。

具體地，本文將采取把可轉(zhuǎn)換債券分解成獨(dú)立的債券和期權(quán)兩部分進(jìn)行定價(jià)的方法，因此下文將主要從純債券部分和純期權(quán)兩部分分別展開(kāi)。

（一）純債券部分價(jià)值模型

對(duì)于可轉(zhuǎn)換債券中的純債券部分，根據(jù)現(xiàn)金流貼現(xiàn)理論，可轉(zhuǎn)換債券中債券部分的價(jià)值即為未來(lái)利息與最后本金和的現(xiàn)金流的貼現(xiàn)值。因此純債券部分價(jià)值為：

其中B表示純債券部分的價(jià)值；I表示每年收到的利息；r表示市場(chǎng)貼現(xiàn)率，一般指無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率；A表示債券本金；n表示從現(xiàn)在至到期日的剩余年限。

（二）純期權(quán)部分價(jià)值模型

根據(jù)1993年Heston提出的模型，假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格和波動(dòng)率滿(mǎn)足以下的隨機(jī)微分方程組：

其中St表示標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格，vt表示標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的方差，ws、wV為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)且相關(guān)系數(shù)為ρ，k為均值回歸系數(shù)，θ為長(zhǎng)期方差，η為波動(dòng)率方差，rt為收益率，假設(shè)為常數(shù)。

在Heston模型中期權(quán)價(jià)格滿(mǎn)足偏微分方程：

同時(shí)Heston給出了方程的顯形解，即歐式看漲期權(quán)的價(jià)格公式為：

（三）可轉(zhuǎn)換債券的價(jià)格

綜上所述，將純債券部分價(jià)值和純期權(quán)部分價(jià)值進(jìn)行組合，得到可轉(zhuǎn)換債券的定價(jià)公式為：

三、實(shí)證研究

本文選取了近十年國(guó)內(nèi)的200多只可轉(zhuǎn)換債券，根據(jù)信用評(píng)級(jí)、發(fā)行規(guī)模、上市起始和截止日等特征，以中行轉(zhuǎn)債為代表進(jìn)行實(shí)證分析?；拘畔⑷缦卤硭?。

債券名稱(chēng) 票面價(jià)值 信用評(píng)級(jí) 債券期限 票面利率 轉(zhuǎn)股期限中行轉(zhuǎn)債 100 AAA 2010.6.2-2016.6.2依次為0.5%、0.8%、1.1%、1.4%、1.7%、2%2010.12.2-2016.6.2

（一）純債券部分價(jià)值

根據(jù)鄭振龍和林海（2004）的研究表明，在中國(guó)特殊的制度背景下，可轉(zhuǎn)債中股性占了絕大部分，而且中國(guó)的信用風(fēng)險(xiǎn)溢籌不高，因此使用無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率進(jìn)行貼現(xiàn)并不會(huì)產(chǎn)生太大的影響。本文將一年期的SHIBOR利率（4.43%）作為作為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率進(jìn)行貼現(xiàn)。由（1）式可分別求出三種可轉(zhuǎn)換的債券純債券部分的價(jià)值。

以中行轉(zhuǎn)債為例：面值為100元，存續(xù)期限為6年，票面利率從第一年的0.5%開(kāi)始，逐年遞增0.3%。不考慮債券的贖回和回售條款，得到中行轉(zhuǎn)債的純債券部分價(jià)值為：

（二）純期權(quán)部分價(jià)值

1.運(yùn)用Heston模型

（1）根據(jù)Heston模型的定價(jià)公式，在給定參數(shù)初始值的情況下，使用模擬退火法對(duì)模型進(jìn)行參數(shù)校準(zhǔn)。1993年Heston根據(jù)模型中五個(gè)參數(shù)的性質(zhì)，給出了參數(shù)的限制范圍。根據(jù)Heston給出的參數(shù)的范圍，并結(jié)合等其他學(xué)者的研究結(jié)果，我們選取的參數(shù)的范圍如下表所示：

參數(shù) 參數(shù)范圍均值回歸速度：k （0，20）

長(zhǎng)期方差：θ （0，2）波動(dòng)率方差：η （0，2）股價(jià)和波動(dòng)率隨機(jī)過(guò)程的相關(guān)系數(shù)：ρ（-1，1）初始方差：ν（0，2）

根據(jù)Gauthier & Rivaille(2009)確定初值的方法，本文設(shè)置待校準(zhǔn)參數(shù)的初值為E={9.0，0.05，0.40，-0.5，0.04}。

（2）以中行轉(zhuǎn)債為例，其轉(zhuǎn)債條款中規(guī)定，初始轉(zhuǎn)股價(jià)格為每股4.02元，即X=4.02；在中行轉(zhuǎn)債發(fā)行時(shí)，中國(guó)銀行股價(jià)為每股4.2元，即S=4.2；轉(zhuǎn)債期限T-t=6(年)。因此根據(jù)Heston公式，得到歐式看漲期權(quán)的價(jià)格C=30.8657（元）

2.運(yùn)用B-S模型

（1）歷史波動(dòng)率的計(jì)算首先根據(jù)可轉(zhuǎn)債期限內(nèi)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的歷史數(shù)據(jù)中估計(jì)，得到歷史波動(dòng)率。以中行轉(zhuǎn)債為例，從2010年12月2日到2016年6月2日，共有1334個(gè)數(shù)據(jù)，第i日股票價(jià)格的連續(xù)復(fù)利收益率為，則基于收益率樣本的標(biāo)準(zhǔn)差即為對(duì)應(yīng)的日化歷史波動(dòng)率，其中。

（2）看漲期權(quán)價(jià)格的計(jì)算

根據(jù)B-S期權(quán)定價(jià)公式，可得到歐式看漲期權(quán)價(jià)格為

以中行轉(zhuǎn)債為例，其轉(zhuǎn)債條款中規(guī)定，初始轉(zhuǎn)股價(jià)格為每股4.02元，即X=4.02；在中行轉(zhuǎn)債發(fā)行時(shí)，中國(guó)銀行股價(jià)為每股4.2元，即S=4.2；轉(zhuǎn)債期限T-t=6(年)。因此

查詢(xún)正態(tài)分布表可得：N(d1)=0.7895，N(d2)=0.5666，所以c=1.5698（元）。

由于轉(zhuǎn)股價(jià)格為每股4.02元，每張可轉(zhuǎn)換債券的面值為100元，所包含的期權(quán)價(jià)值C=100/4.02*1.5698=39.0498（元）

（三）可轉(zhuǎn)換債券的價(jià)值

綜上所述，以Heston模型計(jì)算出中行轉(zhuǎn)債的價(jià)值V=C+B=30.8657+83.37=114.2357（元）；以B-S模型計(jì)算出的價(jià)值V=C+B=39.0498+83.37=122.4198（元）。均高于可轉(zhuǎn)債的面值100元，但Heston模型計(jì)算出來(lái)的更貼合實(shí)際，計(jì)算效率更高。

四、結(jié)論

可轉(zhuǎn)換債券在我國(guó)仍屬于新興金融衍生產(chǎn)品，考慮隨機(jī)波動(dòng)率下可轉(zhuǎn)換債券的定價(jià)不論是在科研還是實(shí)務(wù)界都有著其重要的意義。本文將可轉(zhuǎn)換債券的價(jià)值分成純債券部分的價(jià)值和純歐式看漲期權(quán)的價(jià)值，以中行轉(zhuǎn)債為例，通過(guò)Heston歲隨機(jī)波動(dòng)率模型和B-S期權(quán)定價(jià)公式，分別計(jì)算出了可轉(zhuǎn)換債券的理論價(jià)格。同時(shí)我們發(fā)現(xiàn)，不論是Heston還是B-S公式，計(jì)算出的理論價(jià)格均高于實(shí)際可轉(zhuǎn)換債券的面值，但利用Heston模型計(jì)算出的價(jià)格更貼合實(shí)際。

了解可轉(zhuǎn)債的定價(jià)機(jī)制，有助于融資者制訂更加合理的可轉(zhuǎn)債條款，成功發(fā)行可轉(zhuǎn)債，同時(shí)也讓投資者能更好地進(jìn)行資金的分配和投資，進(jìn)一步推動(dòng)我國(guó)證券市場(chǎng)的發(fā)展。

安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)國(guó)家級(jí)大學(xué)生創(chuàng)新訓(xùn)練項(xiàng)目(項(xiàng)目編號(hào):201610378447)。