一類免疫缺陷病毒傳播的非線性動力學(xué)系統(tǒng)

馮依虎，陳賢峰，莫嘉琪

(1. 亳州學(xué)院電子與信息工程系，安徽 亳州 236800；2. 上海交通大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，上海 200240；3. 安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)系，安徽 蕪湖 241003)

一類免疫缺陷病毒傳播的非線性動力學(xué)系統(tǒng)

馮依虎1，陳賢峰2，莫嘉琪3

(1. 亳州學(xué)院電子與信息工程系，安徽 亳州 236800；2. 上海交通大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，上海 200240；3. 安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)系，安徽 蕪湖 241003)

研究了人體免疫缺陷病毒(HIV)傳播的動力學(xué)系統(tǒng)，描述了流行性傳染病區(qū)域的人群傳播規(guī)律，提出了一類更廣泛的HIV傳播的動力學(xué)系統(tǒng)。首先，利用泛函廣義變分迭代方法對一類艾滋病的傳播動力學(xué)非線性系統(tǒng)求得到了近似解的迭代序列，并敘述了它的一致收斂性。通過舉例, 較簡單地得到各次近似解。最后對HIV傳播的動力學(xué)系統(tǒng)的解作了定量、定性方面的論述和展望。

變分；艾滋病；非線性

流行性傳染病的傳播，特別是艾滋病等這類人體免疫缺陷病毒(HIV)的傳播是生態(tài)學(xué)界、醫(yī)學(xué)界十分重視的一個研究方面。它對人類健康帶來嚴(yán)重的威脅。對于HIV傳播的研究，起初只局限于用一些觀察的數(shù)據(jù)來作為分析和推斷的依據(jù)。這不能完全反映其的本質(zhì)。當(dāng)前對艾滋病等這類人體免疫缺陷病毒的傳播的探討，在國際學(xué)術(shù)界已經(jīng)將它重點歸化為動力學(xué)的方法[1-3]。即建立反映其基本現(xiàn)象的微分系統(tǒng), 并用數(shù)學(xué)的解析方法求模型的近似解。然后將其研究結(jié)果與實際觀察作依據(jù)，從生態(tài)學(xué)、醫(yī)學(xué)、數(shù)學(xué)等交叉學(xué)科的理論和方法來研究它的動態(tài)規(guī)律。本文是以一個非線性動力學(xué)HIV傳播模型為基礎(chǔ)，利用數(shù)學(xué)中的解析理論工具來研究這類人體免疫缺陷病毒的傳播。非線性問題在學(xué)術(shù)界中是一個極為關(guān)注的研究對象。一些科研工作者做了很多工作[4-9]。提出了許多可行的近似方法。作者等也研究了一些非線性問題[10-19]。本文是利用一個簡單、有效的泛函廣義變分方法研究人體免疫缺陷病毒傳播的傳染人群中非線性微分系統(tǒng)的模型[1]。

1 免疫缺陷病毒的傳播動力學(xué)微分系統(tǒng)

討論如下更廣泛的一類人體免疫缺陷病毒的傳播人群的生態(tài)動力學(xué)微分系統(tǒng)的模型：

(1)

dx+e-f2(x,y)

(2)

其中x(t)表示在HIV 傳播區(qū)域內(nèi)的感染者人數(shù)，y(t)為易感者人數(shù)，t為時間，e≥0為易感者的出生率，a,b,c,d為常數(shù)。在系統(tǒng)(1)-(2)中，a(x+y)y項表示感染者與易感者因“交感”而造成的患者的增加速度，-bx項表示由于患者死亡而引起的患者的減少速度，-a(x+y)x項表示感染者與易感者“交感”易感者變?yōu)榛颊吆笫沟靡赘姓邷p少的速度， -cx2y項表示采取一般的防疫措施后使得易感者減少的速度，f1(x,y)項為由于其它因素的干擾使得感者增加的速度，-f2(x,y)項為采取更特殊防疫措施后使得易感者減少的速度，不妨設(shè)fi(i=1,2)為充分光滑的有界函數(shù)。系統(tǒng)(1)-(2)是一個在患區(qū)人群的HIV傳播的生態(tài)動力學(xué)模型。我們來構(gòu)造模型(1)-(2)近似解的表達式，并從得到的表示式來研究HIV的傳播性態(tài)和規(guī)律。

首先考慮系統(tǒng)(1)-(2)的一類簡化問題

(3)

(4)

由系統(tǒng)(3)-(4)，不難得到它的解

X0(t)=C0exp(-bt)

(5)

(6)

式中X0由式(5)表示。而C0和D0為任意常數(shù)，它們可由系統(tǒng)的初始狀態(tài)來決定。為了方便，我們?nèi)o量綱參數(shù)C0=1,D0=0(下同)。因此由式(5)-(6), 得

X0(t)=exp(-bt)

(7)

Y0(t)=

(8)

2 廣義泛函變分迭代

現(xiàn)討論HIV生態(tài)動力學(xué)非線性微分系統(tǒng)(1)-(2)的解。顯然, 非線性微分系統(tǒng)一般是不能用有限項的初等函數(shù)來得到其精確解的。為此下面用泛函廣義變分迭代方法來求其近似解。

引入一組泛函Fi(i=1,2):

F1[x]=x-

(9)

(10)

取泛函(9)-(10)的變分, 并令其為零:

δF1=δ,

于是

故有

(11)

由關(guān)系式(9)-(10), 我們構(gòu)造如下一組廣義變分迭代式:

(12)

(13)

因此, 當(dāng)選定一組初始迭代函數(shù)(x0,y0)后, 我們可以由廣義變分迭代式(12)-(13)決定函數(shù)序列{xn(t)},{yn(t)}。

事實上, 選取初始迭代函數(shù)(x0,y0)為由式(7)-(8)表示的一組函數(shù)(X0,Y0)。即

x0(t)=exp(-bt)

(14)

y0(t)=

(15)

由廣義變分迭代式(12)-(13)和初始迭代函數(shù)(14)-(15), 可以得到生態(tài)動力學(xué)非線性微分系統(tǒng)(1)-(2)的一次近似解(x1,y1):

[-a(exp(-bt)+y0)y0-f1(exp(-bτ),y0)]dτ

(16)

(17)

其中y0由式(15)表示。

依次地, 生態(tài)動力學(xué)非線性微分系統(tǒng)(1)-(2)的二次近似解(x2,y2)為

(18)

(19)

其中(x1,y1)由式(16)-(17)表示。

同樣, 可依次地得到HIV生態(tài)動力學(xué)非線性微分系統(tǒng)(1)-(2)的更高次的表示式(xm,ym),m=3,4,…。

3 舉 例

為了簡單起見, 設(shè)人體免疫缺陷病毒的傳播人群的生態(tài)動力學(xué)微分系統(tǒng)的模型(1)-(2)中的參數(shù)為無量綱數(shù):a=b=c=d=1,e=0, 而擾動函數(shù)分別為f1=siny,f2=cosx, 這時HIV生態(tài)動力學(xué)微分系統(tǒng)的模型(1)-(2)為

(20)

(21)

由式(14)-(15), 廣義變分迭代的初始函數(shù)為

x0(t)=exp(-t)

(22)

(23)

由式(16)-(17), HIV生態(tài)動力學(xué)非線性微分系統(tǒng)(1)-(2)的一次近似解(x1,y1)為

[(exp(-τ)+y0)y0+siny0]dτ

(24)

(25)

其中y0由式(23)表示。

由式(18)-(19), HIV生態(tài)動力學(xué)非線性微分系統(tǒng)(1)-(2)的二次近似解(x2,y2)為

y2(t)=y1(t)-

其中(x1,y1)由式(24)-(25)表示。

可以繼續(xù)得到人體免疫缺陷病毒的傳播人群的生態(tài)動力學(xué)微分系統(tǒng)的模型(20)-(21)的更高次近似解。

4 結(jié) 論

1) 由人體免疫缺陷病毒的傳播人群的生態(tài)動力學(xué)微分系統(tǒng)的模型(1)-(2)的近似解的解析展開式，我們能夠研究HIV的傳播性態(tài)和規(guī)律，并利用微分系統(tǒng)的模型參數(shù)來發(fā)現(xiàn)和控制人體免疫缺陷病毒的傳播區(qū)域內(nèi)在不同時間內(nèi)的感染者人數(shù)和易感者人數(shù)和采取措施來控制感染者人數(shù)和易感者人數(shù)。

2) 從數(shù)學(xué)觀點來看，廣義變分迭代法是一個解析的方法。它不同于通常的數(shù)值求解法，更不是簡單的模擬。本方法得到的解的近似解析表示式，還可進行解析運算。例如可以由得到的近似解析表示式進行定性和定量方面的研究。諸如，用微分的方法算出感染者和易感染者數(shù)量的變化速度、畫出在不同時間的數(shù)量變化曲線，并發(fā)現(xiàn)其規(guī)律和預(yù)報感染者和易感染者在相關(guān)時期內(nèi)的數(shù)量和發(fā)展趨向的規(guī)律等等。

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AclassofnonlineardynamicsystemofhumangroupsforHIVtransmission

FENGYihu1,CHENXiangfeng2,MOJiaqi3

(1. Department of electronics and Information Engineering, Bozhou College, Bozhou 236800, China;2. School of Mathematics Sciences, Shanghai Jiaotong University, Shanghai 200240, China;3. Department of Mathematics, Anhui Normal University, Wuhu 241003, China)

A class of dynamic system for the human groups in epidemic contagion region (HIV) transmission is studied. Transmission mode of the human groups in epidemic contagion region is described. Firstly, using the generalized functional variational iteration method for a class of AIDS transmission dynamic system, the approximate iteration sequence is solved. Its uniformly convergent is illustrated. And from an example, any times approximate solutions are obtained. Finally, the quantity and quality of the solution for HIV transmission dynamic system are illustrated and forecasted.

variational; AIDS; nonlinear

O175.14

A

0529-6579(2017)05-0060-04

10.13471/j.cnki.acta.snus.2017.05.008

2016-12-16

國家自然科學(xué)基金 (110371248)；安徽省教育廳自然科學(xué)重點基金(KJ2015A347)；安徽省高校優(yōu)秀青年人才支持計劃重點項目(gxyqZD2016520)

馮依虎(1982年生)，男；研究方向應(yīng)用數(shù)學(xué)；E-mail: fengyihubzsz@163.com

莫嘉琪(1937年生)，男；研究方向：應(yīng)用數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)物理；E-mail: mojiaqi@mail.ahnu.edu.cn