Y型微通道中壓力驅動冪律流的流動分離

郭松燦，朱慶勇，陳耀欽

(中山大學應用力學與工程系， 廣東 廣州 510275)

Y型微通道中壓力驅動冪律流的流動分離

郭松燦，朱慶勇，陳耀欽

(中山大學應用力學與工程系， 廣東 廣州 510275)

基于Poisson-Boltzmann方程、修正的Cauchy動量方程和流體連續性方程，對壓力驅動下的冪律流在Y型微通道中的流動過程進行了數值模擬。分析了不同的冪律指數、壓強差下雙電層電場、速度場的分布，以及雙電層對速度場的影響。計算結果表明：① 在Y型微通道的某些位置會發生流動分離(回流)；② 發生回流時的臨界壓強差和分叉角關系曲線表明：增大分叉角或降低冪律指數可使臨界壓強差下降；③ 冪律指數越小，雙電層影響越明顯；④ 增大壓強差、降低冪律指數和增大分叉角度，均可使回流區域變大。

Y型微通道；冪律流體；雙電層；回流

固體壁面與電解質溶液接觸時，壁面會發生電離而帶電并產生壁面電位勢，從而使溶液中同種電荷受到排斥，異種電荷受到吸引聚集到壁面附近。固體壁面附近的帶電液體薄層即為雙電層[1]。雙電層厚度極小，一般只有幾百納米。在宏觀流動中，雙電層作用可以忽略。而在微通道內，雙電層對流動的影響卻不容忽視。這是因為在壓強差的作用下，流體會與帶電顆粒一起運動，形成電流。流動的電荷隨即在微通道內誘導出一個電位差(流動電位勢)[2]，電荷因流動電位勢的作用而受到一個與運動方向相反的電場力。流動電位勢的作用效果與增大流體黏性相似，所以這種現象被稱為雙電層的電黏性效應[3]。

早有學者研究了雙電層作用下的流體在無限長等截面微通道中的流動。Li[4]研究了矩形微流道內流體流動的機理，得到關于二維流動的解析解。Wu等[5-7]研究了無限長平行板微流道中各種復雜邊界條件下牛頓流體的流動特性，并給出了相應的解析解。工業中大部分的流體并不是牛頓流體，如橡膠溶液、工程塑料等[8]，僅研究牛頓流體的微流動不能完全滿足實際需要。隨后，Jian等[9-11]研究了在矩形、圓形截面等微通道中的非牛頓流體的流動及傳熱特性。Zhu等[12]研究了矩形微通道內受周期性壓力驅動的冪律流體的流動特性，發現：冪律指數影響流體在微通道內的速度分布，且冪律指數越小雙電層作用越明顯。與此同時，更接近實際情況的復雜微通道內的流體流動研究也在不斷開展。例如，段娟等[13]探討了微擴張管道內冪律流體非定常電滲流動，給出了恒定電場下流場隨時間的變化情況。龔磊等[14]模擬了微擴散通道中的壓力驅動流，給出了從瞬態到穩態的發展過程中流動電位勢和流場的變化，并對電黏性作出了分析。也有學者對更為復雜的微通道內的流體流動進行模擬，如T型微混合器等[15]。但少有學者深入研究非牛頓流體在復雜微通道中的流動特性。

因此，本文選取平面Y型通道作為幾何模型，結合雙電層電黏性和冪律流體本構關系，討論了Y型微通道內回流產生的臨界條件，及回流區域大小與各參數間的關系。研究結果揭示了非牛頓流體在Y型微流道中的流動機理，對工程和實際應用都有重要的意義。

1 物理和數學模型

1.1 物理模型

本文的研究對象為二維Y型微通道，其結構如圖1所示。

圖1 Y型微通道模型Fig.1 Y-shaped microchannel model

如圖所示，θ為兩分支通道的夾角(分叉角)。計算模型中，假設兩分支通道與主通道夾角相等。若流體從主通道向分支通道流動，則稱為正向流動；反之稱為反向流動。流動方向不同，流體所受到的阻力不同，并產生不一樣的流場。

1.2 數學模型

冪律流體的本構模型如下[16]：

τij=-pδij+2μaDij

(1)

其中τij為應力張量，p為壓力，δij為單位張量，即

Dij為速度變形張量，μa為表觀黏度。在二維平面流動中，Dij和μa定義如下：

(2)

(3)

式中n為冪律指數，是無量綱量。μ0為稠度系數，量綱為N·sn/m2。顯然，當n=1時，μa為常數，流體為一般牛頓流體；n<1時流體呈剪切變稀，n>1時流體呈剪切變稠。將冪律流體本構關系代入動量方程中，忽略電場力以外的體積力。因此，流體控制方程如下：

(4)

(5)

其中，(4)式為二維不可壓縮流體連續性方程。ρ為流體密度， (5)式最后一項為作用于流體的電場力，其作用方向總與流體運動方向相反，表現為流動附加阻力。雙電層電位勢以及電荷體積密度滿足Poisson-Boltzmann方程[17]：

(6)

(7)

其中，ψ為雙電層電位勢，ρe為電荷體積密度，ε為溶液介電常數，n∞表示不受雙電層影響處單位體積所含離子個數，z為溶液離子價，kb是Boltzmann常數，T為絕對溫度，e為電子電荷量。式中F=Eρe，E為微通道內流動電場強度。根據電流密度平衡條件[18]，E應滿足：

(8)

式中，λ為微通道總電導率。所以：

(9)

1.3 控制方程的無量綱化和邊界條件

為了便于計算，將控制方程進行無量綱化，即引入以下無量綱量

(10)

(11)

(12)

(13)

速度和電勢場在進出口取第二類邊界條件，壓力在進出口取第一類邊界條件，通道壁面處取無邊界滑移條件，對稱邊JH取對稱邊界條件。(11)、(12)式的邊界條件為：

2 數值分析

2.1 數值離散

本文所研究幾何模型具有對稱性，在Re數不太大的情況下，流動也具有對稱性。故取主通道中線為對稱軸，僅對上半部分進行計算分析，計算區域如圖2所示。時間方向上，采用三階Runge-Kutta法離散。空間方向上，使用邊界擬合坐標，將物理平面上的網格變換到計算平面中的規則矩形網格，其網格步長為1。采用四階緊致差分格式進行離散[19]：

圖2 計算區域Fig.2 Computational domain

(14)

(15)

其中，算子I滿足：

Imf(x)=f(x+mΔx)

(16)

而，Fi(f)，Fj(f)為一階偏導的差分逼近，Si(f)，Sj(f)為二階偏導的差分逼近，下標i,j分別表示水平方向第i節點和豎直方向第j節點，f表示式(11)、(12)，中的

(17)

(18)

S1(f)=2f1-5f2+4f3-f4

(19)

Sn(f)=2fn-5fn-1+4fn-2-fn-3

(20)

(18)、(20)式中各項的下標表示一行(列)中的節點號，n為一行(列)中最后一個的節點的節點號。(11)式的半離散形式為：

(21)

其中

(12)式半離散形式為：

(22)

部分文獻對方程(12)右端的源項進行線性化處理，這使得在Zeta電位較大時誤差明顯。為擴大動量方程適用范圍，本文求解式源項采用以下格式[21]：

sinh(φk+1)=sinh(φk)+(φk+1-φk)cosh(φk)

(23)

2.2 數值模擬結果

[12,18,22],本文各算例中的參數取值如表1所示。正向流動時，Δp取正值；反向流動時，Δp取負值。

表1 計算中各參數取值Table 1 Value of parameters used for simulation

2.2.1 模型驗證 將分叉角設為0°，HF邊設為對稱邊，本文模型即為二維均勻微通道內的流動。文獻[5]中給出了對應的牛頓流體的解析解。EF邊的模擬結果與文獻[5]中解析解如圖3所示，其中橫坐標表示CH截面的無量綱高度，縱坐標表示沿水平方向的無量綱速度。可以看出，模擬結果與解析解高度吻合，模擬算法是有效的。

2.2.2 雙電層電勢場 圖4為無量綱雙電層電勢在計算區域內的分布圖。在本文所選取的數學模型中，雙電層電勢依賴于求解式，與其它流體參數無關。電勢沿通道徑向變化快慢依賴于κH，本文取κH=32。如圖4所示，在壁面附近電勢迅速變化，在計算區域的其它位置，電勢幾乎不變化，符合雙電層理論假設。

圖3 牛頓流體數值解與解析解對比Fig.3 Results comparison of the numerical of Newtonian fluid with the analytical solution

2.2.3 不同冪律指數下的流動特性 圖5給出牛頓流體在Y型微通道中的流線圖，其中背景色表示速度值的大小。如圖5表明：相同的壓差(|Δp|=100 Pa)下，冪律指數不同或流動方向不同時，呈現不同的流動形態?；趦缏闪黧w的本構關系，n>1(脹流型流體)流體剪切率越高表觀黏度越高；n<1(擬塑性流體)流體剪切率越高表觀黏度越低。且，相同條件下，脹流型流體受到壁面的粘性力作用較大。從圖5的(c)和(d)可以看出，脹流型流體在遠離分叉處的流動基本與壁面平行；在分叉處附近的速度等值線輪廓較為相似。與之相反，相同條件下擬塑性流體受到較小的壁面粘性力，受壁面的約束能力較弱，所以有較高的速度峰值并且容易產生渦結構，如圖5(b)所示。由于正向流動中FH邊提供阻力，可有效約束在分叉點后的流體流動。同時，由于流體會保持原有的慣性，使得分支通道中軸線偏H點一側的平均流速大于偏C點一側的平均流速。在反向流動中，JH邊為對稱邊界，在下游不提供壁面粘性力約束流體流動。所以，相同情況下H點附近和C點下游的區域更容易產生回流，如圖5(b)所示。

圖4 雙電層無量綱電勢場Fig.4 Dimensionless potential of electric double layer

圖5 不同冪律指數和流動方向的流線圖Fig.5 Streamline of different power-law index and the flow direction

圖6為n=0.8和n=1.2的冪律流體正(反)向流動的無量綱表觀黏度分布圖。在計算區域中，主通道與分支通道截面積相同，流體不可壓縮，結合流體連續性可知，主通道和分支通道的截面平均流速相同。但是分支通道有兩側邊界提供壁面約束流動(壁面上流速為零)，而主通道只有一側，所以一般情況下分支通道內流體剪切率比主通道的大。剪切率最大的位置并不在通道壁上。如圖6中的 (a)和(c)所示，壁面附近，由于有雙電層作用，降低壁面附近流速，導致壁面附近的流體剪切率較低。離開雙電層后，速度迅速變大，流體剪切率達最大值。對比圖5 (b)和圖6 (b)，可以看出：渦結構附近流速較低、有較低的剪切率，所以在擬塑性流體的黏度分布圖中表現為獲得較大的表觀黏度。圖6中的(c)和(d)黏度等值線的輪廓相似度較高，表明脹流型流體流動受壁面約束作用明顯，在低壓(|Δp|=100 Pa)狀態下，正向、反向流動有相似的速度等值線，所引起的流體剪切率分布幾乎相同。

圖6 無量綱表觀黏度Fig.6 Dimensionless apparent viscosity

壓強差是流體流動的主要因素。進出口壓差相反，則流動方向相反。圖7給出不同冪律指數下，正(反)方向流動的無量綱壓強分布。在分支通道有兩邊壁面提供流動阻力，而在主通道只有一邊提供流動阻力。所以分支通道的壓力梯度比主通道的大，這在脹流型流體中尤為明顯，如圖7(c)和(d)所示。由于流體動量的作用，在H點產生了局部的高壓；同時，由于流體保持其原有流動慣性，在C點及C點下游產生了局部的低壓。這在擬塑性流體中尤為明顯，如圖7(a)和(b)所示。所以，相同條件下，慣性力對擬塑性流體的作用比脹流型流體要顯著；粘性力對脹流型流體作用比擬塑性流體要顯著。對比圖7的(c)和(d)，可以看出：脹流型流體在遠離分叉處的壓強等值線幾乎相互平行。這說明：在該條件下，流體受粘性力顯著，表現為層流流動。

圖7 無量綱壓強Fig.7 Dimensionless pressure

如圖8所示，由于雙電層的作用，考慮雙電層時的整體速度相對于無雙電層時的整體速度有所減小。擬塑性流體受粘性阻力作用較小，其可獲得較高速度峰值。從而受較大的電場力，所以擬塑性流體的雙電層作用尤為明顯。與之相反，在本文算例中脹流型流體所獲得的速度較低、受到的電場力極小，在所選取的觀察截面中雙電層作用并不十分明顯。這與文獻[12]的結論相符。本文基于無壁面滑移假設進行模擬，結合(9)式可知，在壁面處電場力為零。所以本文計算結果中，如圖8(d)，未出現采用截面均勻流動電位勢所致的非物理的局部回流現象，與文獻[18]結論相符。結合圖8(a)、圖8(b)和圖5(b)分析擬塑性流體反向流動，在H點附近發生回流，且在回流區域中流速較低。

2.2.5 各參數對回流區域的影響 在一定條件下，C點下游和H點附近會產生回流渦。下面討論產生回流的臨界條件，以及冪律指數、壓強差和分叉角對回流區域大小的影響。

1) 產生回流的臨界條件。觀察流場時，根據各節點速度方向判斷是否發生回流。將各節點速度投影至其最近的壁面上，若平行于壁面的速度分量與微通道內主要流動方向相反，則認為發生回流。計算結果表明，一般情況下，在三處發生回流，分別為：正向流動CD附近、反向流動BC附近、反向流動H點附近。獲得各組臨界壓強后，對數據進行回歸分析。正向流動使用冪函數模型，反向流動使用指數模型，效果較好。計算結果如圖9，圓點為數值結果，曲線為對應的擬合結果。

圖8 不同冪律指數下不同截面的無量綱速度輪廓Fig.8 Dimensionless velocity profiles of different power-law index and different section (a) section C-H; (b) section B-I; (c) section D-G; (d) detail view of point B

圖9 分叉角與發生回流的臨界壓強的變化曲線Fig.9 Branching angle and the vortex generating critical pressure (a) normal flow, nearby CD; (b) reversed flow, nearby BC; (c) reversed flow, nearby point H

流動分離主要由慣性力、粘性力和壓強梯度共同作用產生。在C點上游，流體的慣性力與壓強梯度共同克服流體的粘性力，使流體順利地沿固壁往下流動。流體進入逆壓區，慣性力要克服粘性力和逆壓強，慣性力不足時流體就會回流。從圖9可以看出，冪律指數越小越“容易”產生回流(相同條件下，產生回流所需的臨界壓差較低)，冪律指數越大越“不容易”產生回流(相同條件下，產生回流所需的臨界壓差較高)。

當分叉角變大時，流動方向改變的角度變大，C點下游附近平行于壁面的速度分量越小，即慣性力平行于壁面方向的分量越小，同時由于流體動量的作用，逆壓區變大。慣性力不足以克服粘性力和逆壓強。所以分叉角越大，越“容易”發生回流。分叉角變小，慣性力在壁面方向的分量迅速變大，同時由于流體動量分布不均勻引起的逆壓區迅速變小，導致發生回流所需壓強差急劇上升。

主通道寬度較大，導致主通道中流動的Re數較大，并且電黏性影響較??；相反分支通道寬度較小，流動Re數較小，并且電黏性影響較大。所以如圖9(a)和(b)，反向流動更“容易”發生回流。H點附近回流渦的鞍點在H點的下游一側對稱邊上，該點的剪切應力為零。把無阻力邊設置在H點下游一側，是H點附近發生回流的有利條件，所以正向流動時在H點附近一般不發生回流。對比圖9的(b)和(c)，可以看出：一般情況下，BC附近比H點附近更“容易”發生回流。

2)回流區域的大小。為方便探究回流區域的大小，記流動分離的再附點為S點。在S點上，流體對壁面的剪切力為零，在垂直于壁面的方向上速度梯度為零。根據邊界附近節點的速度，使用線性插值的方式近似地找出S點的位置。進一步求出S點與C點的無量綱距離，記為LS，用來衡量回流區域的大小。n和θ分別取(0.97,110°),(1.00,110°),(1.00,120°),(1.03,120°)，在適當的壓強差下求出LS，計算結果如圖10所示。

圖10 不同參數下回流區域的大小Fig.10 Size of vortex regions with different parameters (a) normal flow; (b) reversed flow

圖10顯示，回流區域的大小與壓強差正相關。且在一定的壓強差范圍內，回流區域的大小隨壓強差線性增長，其變化率與n和θ的取值有關。對比圖10的(a)和 (b)，要獲得大小相近的逆壓區，反向流動所需要的壓力差較小。對比n和θ取(1.00,110°),(1.00,120°)時的數據，發現：在適當的范圍內增大分叉角，可使回流區域變大，與減小冪律指數的效果相似。進一步比較n和θ取(0.97,110°),(1.00,110°),(1.00,120°)時的三組數據，可以看出：在一定范圍內，回流區域的大小對冪律指數的變化較為敏感。綜上所述，減小冪律指數、增大壓強差或增大分叉角均能使回流區域變大。

3 結 論

本文研究了壓力驅動下冪律流體在Y型微通道中的流動，并討論了微通道的某些位置發生回流的條件，回流區域大小的變化趨勢以及影響回流區域大小因素。研究結果對于工業中的微流控芯片的設計與生產有一定指導意義。主要結論如下：

1)相同條件下，擬塑性流體獲得較低的表觀黏度，流速峰值較高，受雙電層影響較大；脹流型流體獲得較高的表觀黏度，流速峰值較低，受雙電層影響較小。牛頓流體表現介于兩者之間。冪律指數越小，流場對各參數的影響越敏感。

2)反向流動比正向流動更“容易”產生回流。相同條件下，若都產生回流，反向流動的回流區域較大。

3)分叉角減小到一定的程度，產生回流所需的壓力差(臨界壓差)將急劇上升。正向流動時，分叉角和臨界壓差呈冪函數關系；反向流動時，分叉角和臨界壓強呈指數函數關系。

4)其它條件不變的前提下，單一增大壓強差、減少冪律指數或變大分叉角度，若未發生回流則能促進回流的產生，若已發生回流則可使回流區域變大。在一定范圍內，壓強差與回流區域大小之間呈線性正相關。

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Flowseparationofthepressuredrivenpower-lawflowinY-shapedmicrochannel

GUOSongcan，ZHUQingyong，CHENYaoqin

(Department of Applied Mechanics and Engineering, Sun Yat-sen University,Guangzhou 510275,China

The pressure driven flow of power-law fluids in Y-shape microchannel is calculated by the fourth-order compact difference scheme. The governing equations are established by the complete Poisson-Boltzmann equation, modified Cauchy momentum equation and continuity equation. The distribution of the electric double layer potential, the pressure, the apparent viscosity and the velocity profiles of different parameters are obtained by the simulation. The results of the simulation are discussed. Furthermore, the effects of the electric double layer on the velocity profile were investigated. The results show that with the decrease of the power-law index, the velocity peak of the flow is larger in the microchannel, the effects of the electric double layer are more obvious. Compared the shear thickening and Newtonian fluids, the shear thinning fluids are much more sensitive to the other parameters. The recirculation generating conditions are studied. The recirculation generating critical pressure decrease with enlarging the branching angle or decreasing the power-law index. The pressure, the power-law index and the branching angle have significant influence on the flow separation when fixing the other parameters. Increasing the pressure, decreasing the power-law index or enlarging the branching angle also can extend the region of the flow separation.

Y-shaped microchannel; power-law fluid; electric double layer; backflow

O357.1

A

0529-6579(2017)05-0139-10

10.13471/j.cnki.acta.snus.2017.05.018

2017-01-03

國家自然科學基金重大研究計劃(91230114); 地震科技星火計劃攻關項目(XH17045)

郭松燦(1991年生)，男；研究方向流體力學；E-mail: guosongcan@gmail.com

朱慶勇(1969年生)，男；研究方向：流體力學；E-mail: mcszqy@mail.sysu.edu.cn