基于Laurent分解的GMSK定時同步環(huán)路

謝春磊，張 濤

(1.中國電子科技集團公司第五十四研究所，河北 石家莊050081;2.裝備工程技術(shù)研究實驗室，河北 石家莊050081;3.杭州海康威視數(shù)字技術(shù)有限公司，浙江 杭州310051)

基于Laurent分解的GMSK定時同步環(huán)路

謝春磊1,2，張 濤3

(1.中國電子科技集團公司第五十四研究所，河北 石家莊050081;2.裝備工程技術(shù)研究實驗室，河北 石家莊050081;3.杭州?？低晹?shù)字技術(shù)有限公司，浙江 杭州310051)

定時同步是數(shù)字調(diào)制信號接收不可或缺的環(huán)節(jié)。對于GMSK信號定時同步，現(xiàn)有算法多為數(shù)據(jù)輔助或前饋類算法。從GMSK信號的Laurent分解出發(fā)，結(jié)合Gardner定時同步環(huán)路，提出了一種基于Laurent分解的GMSK信號定時同步環(huán)路。該環(huán)路采用2 bit差分來提取定時誤差，用于控制內(nèi)插時刻，環(huán)路簡單，運算量小，易于工程實現(xiàn)。仿真結(jié)果表明，即使對于小BT值GMSK信號，該方法依然可以有效提取定時誤差，且具有較強的抗噪聲性能。

定時同步；高斯最小頻移鍵控；Laurent分解；Gardner算法

0 引言

高斯最小頻移鍵控(GMSK)是一種連續(xù)相位調(diào)制(CPM)方式[1]，其包絡(luò)恒定、帶外輻射小[2]，因此，在GSM系統(tǒng)、無線局域網(wǎng)、航空數(shù)據(jù)鏈以及空間數(shù)據(jù)傳輸[3]等領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。GMSK解調(diào)分為相干解調(diào)和非相干解調(diào)[4]。相干解調(diào)的實現(xiàn)需要進行頻偏和定時誤差補償，還需要進行載波相位同步[5]，實現(xiàn)復(fù)雜度較大；非相干解調(diào)[6]主要有2類：差分方式[7]和限幅鑒頻[8]方式，易于實現(xiàn)，但解調(diào)性能不如相干解調(diào)。

GMSK的解調(diào)無論采用哪種方式，都必須進行定時同步。數(shù)據(jù)輔助定時同步算法[9]的收斂速度快、性能好，但降低了系統(tǒng)傳輸效率；非數(shù)據(jù)輔助定時同步算法具有更普遍的適用性。非數(shù)據(jù)輔助類算法又可以分為前饋算法和反饋算法，前饋算法多是基于最大似然方法對定時誤差估計[10-12]，計算量大，并且無法實時跟蹤定時誤差的變化；反饋算法采用環(huán)路的方法，對定時誤差進行實時檢測、校正，實現(xiàn)簡單。文獻[13]對最小頻移鍵控(MSK)類信號進行非線性變換，提取定時誤差；文獻[14]對差分后GMSK信號采用Gardner算法[15]進行定時誤差提取，但當(dāng)帶寬周期積(BT)值較小時，誤差值較小，算法性能不好。結(jié)合上述反饋算法原理，并考慮Laurent分解，在Gardner算法的基礎(chǔ)上，本文改進了一種GMSK定時同步環(huán)路，其對BT值較小的GMSK也有很好的適用性。

1 Laurent分解

GMSK信號的CPM復(fù)基帶形式為：

s(t)=exp(jδ(t,α)+jφ),

(1)

式中，φ為載波初始相位；δ(t,α)表示相位調(diào)制過程，可用式(2)表示：

nT≤t≤(n+1)T，

(2)

式中，h為調(diào)制指數(shù)，對于GMSK取值固定為0.5；{αk,k=0,1,…,n-1}是取值為±1的符號序列；T為符號周期；g(t)為高斯低通濾波器與持續(xù)時間為T的矩形脈沖卷積結(jié)果，其形式為：

(3)

(4)

式中，B為高斯濾波器3 dB帶寬；Q(t)為互補誤差函數(shù)。

g(t)的主要能量集中在L個符號周期內(nèi)[16]，L的大小由BT值決定，BT越小，L越大，則信號的碼間串?dāng)_越嚴重，對于BT=0.3，可以取L=3，并且g(t)滿足

(5)

s(t)通過加性高斯白噪聲信道傳輸后接收到的信號復(fù)包絡(luò)可表示為：

r(t)=exp{j[2πΔft+δ(t-εT,α)+φ]}+z(t)，

(6)

式中，Δf為載波頻偏，其主要由多普勒頻移、收發(fā)兩端載波偏差引入；εT為定時偏差；z(t)為接收端噪聲。

按照Laurent分解理論，CPM信號可以表示為M=2L-1個脈沖幅度調(diào)制(PAM)信號之和，形式為：

(7)

(8)

(9)

γm,l的取值為0或1，并且滿足

(10)

(11)

偽符號序列αm,i滿足

(12)

通過計算可以獲得各個PAM分量的波形，以BT=0.3，L=4的GMSK信號為例，h0(t)、h1(t)、h2(t)三個幅值較大的PAM波形如圖1所示。

圖1 BT=0.3的GMSK信號PAM分量

可以看出，h0(t)的幅度最大，并且占了信號總能量的99%以上。因此，可以僅用h0(t)來近似GMSK信號，從而有

(13)

(14)

由式(14)可以看出，i為偶數(shù)時，α0～α1的累加和為偶數(shù)；i為奇數(shù)時，α0～α1的累加和為奇數(shù)，即

(15)

(16)

式(13)可以改寫為：

(17)

可以看出，信號形式與OQPSK信號類似，I路和Q路存在一個符號周期的偏差。

2 定時同步算法

由圖1可知，雖然h0(t)的持續(xù)時間為5個符號周期，但僅有中間4個符號周期的幅度較大，因此可以將其截短為4個符號周期，這時I/Q兩路波形如圖2所示。

圖2 I/Q兩路PAM分量示意

按照2個符號周期的間隔，對s(t)進行差分，并取其平方的實部，得

c(t)=Re{[s(t)s*(t-2T)]2}。

(18)

如圖2所示，當(dāng)t在2iT附近時，Q路波形很小，僅有I路波形，且t偏離2iT的距離越大，幅度越小，因此c(t)是|t-2iT|的單調(diào)遞減函數(shù)；同理，當(dāng)t在(2i+1)T附近時也具有該特性，從而c(t)的期望是周期為T的周期函數(shù)[17]。按照式(17)，計算E{c(t)}得到圖3，具有對稱特性。

圖3 代價函數(shù)c(t)的期望

考慮以下定時誤差提取公式：

e(t)= -c(t-Ti)+c(t+Ti)=

-Re[s2(t-Ti)s*2(t-Ti-2T)]+

Re[s2(t+Ti)s*2(t+Ti-2T)]。

(19)

觀察圖3，當(dāng)t=0時，由于其對稱性，c(t-Ti)=c(t+Ti)，誤差e(t)=0；而當(dāng)t<0時，c(t-Ti)0；同理，t>0時，誤差e(t)<0。誤差公式e(t)對應(yīng)的S曲線如圖4所示，與Gardner算法對應(yīng)的S曲線一致[15]。Ti取不同的數(shù)值時，S曲線的趨勢一致，但其幅度有所不同，當(dāng)Ti=T/4時，S曲線的幅度最大。對于定時同步來說，誤差值越大，抗噪聲能力越強，收斂速度越快。

圖4 誤差提取公式e(t)的S曲線

3 算法實現(xiàn)

按照軟件無線電的思想，對A/D采樣后的數(shù)據(jù)進行內(nèi)插，將信號內(nèi)插為4倍符號速率，采樣間隔Ts=T/4。按照式(19)所示誤差提取公式及圖4所示的S曲線，選定Ti=Ts，此時S曲線的幅度最大。參照Gardner定時環(huán)路的原理[18]，將定時誤差檢測結(jié)果通過環(huán)路濾波，進行平滑處理，控制NCO，內(nèi)插出最佳采樣點數(shù)值[19-20]。GMSK定時同步環(huán)路結(jié)構(gòu)如圖5所示，定時誤差檢測的數(shù)據(jù)流圖如圖6所示。

圖5 GMSK定時同步環(huán)路結(jié)構(gòu)

圖6 定時誤差檢測數(shù)據(jù)流

4 性能仿真及分析

性能仿真從以下4個方面來分析、比較本文的定時同步算法：① 不同BT值對應(yīng)的S曲線；② 定時誤差檢測算法的抗頻偏性能；③ 不同信噪比下定時收斂性能；④ 與文獻[13-14]的定時誤差檢測性能進行比較。

4.1 不同BT值對應(yīng)的S曲線

在不同的BT值下，GMSK信號有不同的頻譜特性，BT值越小，帶寬效率越高，相應(yīng)接收復(fù)雜度也越大，好的定時同步算法不僅要適用于大BT值信號，也要適用于小BT值信號。令BT值分別為0.2、0.3、0.5，另外BT值趨于無窮時即為MSK信號，圖7分別給出了其定時誤差檢測S曲線?？梢钥闯觯谙嗤〞r偏差下，BT值越小，定時誤差越小。這是因為隨著BT值的減小，Laurent分解中h0(t)分量所占的比例相應(yīng)降低，用式(13)進行簡化帶來的失真將增大，從而導(dǎo)致定時誤差值減小。

圖7 不同BT值對應(yīng)的S曲線

4.2 定時同步的抗頻偏性能

定時同步受頻偏的影響越小，接收機的抗頻偏性能也就越好，該環(huán)路的工程應(yīng)用價值越高。以BT=0.3的GMSK信號為例，設(shè)定頻偏fc與符號速率Rs的相對值分別為0、1%、3%、5%時，其中Rs=1/T，其定時誤差檢測S曲線如圖8所示。

圖8 不同頻偏值的S曲線

fc在1%Rs以內(nèi)時，S曲線基本沒有變化；fc繼續(xù)增大時，定時誤差值變小，性能變差。

4.3 不同信噪比下定時收斂性能

隨著信噪比的降低，定時環(huán)路的收斂速度會變慢；但好的誤差提取算法可以在更低的信噪比下達到收斂。以BT=0.3、頻偏為1%Rs的GMSK信號為例，分別取Eb/N0=5 dB、10 dB、20 dB，其定時誤差收斂曲線如圖9所示?？梢钥闯?，信噪比越低，收斂速度越慢；同時，環(huán)路在Eb/N0=5 dB時仍然可以達到收斂，可以實現(xiàn)低信噪比信號的解調(diào)。

圖9 不同信噪比下定時誤差收斂曲線

4.4 與現(xiàn)有算法的比較

將本文的算法分別與文獻[13-14]進行比較，對比其定時誤差檢測性能。以BT=0.3的GMSK信號為例，其定時誤差S曲線如圖10所示?？梢钥闯?，在相同定時誤差下，本文算法具有更大的誤差值，可以獲得更快的收斂特性、更好的抗噪特性。

圖10 本文S曲線與文獻[13-14]的比較結(jié)果

5 結(jié)束語

本文從GMSK信號的Laurent分解入手，從現(xiàn)有差分檢測類定時同步算法的原理出發(fā)，并與常用定時同步環(huán)路相結(jié)合，提出了一種改進的GMSK信號定時同步環(huán)路。與現(xiàn)有算法相比，具有更好的定時誤差檢測性能，而且對小BT值GMSK信號也有很好的檢測性能。該同步方法對現(xiàn)有環(huán)路的改動不大，因此可以很好地應(yīng)用于工程實踐。

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ADigitalTimingTrackingLoopBasedonLaurentRepresentationforGMSKModulations

XIE Chun-lei1,2,ZHANG Tao3

(1.The54thResearchInstituteofCETC,ShijiazhuangHebei050081,China; 2.EquipmentEngineeringTechnologyResearchLaboratory,ShijiazhuangHebei050081,China; 3.HangzhouHikvisionDigitalTechnologyCo.Ltd,HangzhouZhejiang310051,China)

Timing synchronization is an indispensable part in receiving digital modulation signal.Most of the existing algorithms for the timing synchronization of GMSK signals are either data aided or feed forward.In this paper we present a digital timing tracking loop for GMSK modulations.This technique is based on Laurent representation and combined with Gardner timing recovery loop.The loop gets the timing error based on two bit differential detection,and then controls the interpolating.The loop is simple,has little computational complexity,and can be easily implemented.Simulation results show that the timing error can be efficiently extracted even for GMSK with small BT,and the loop has a fine anti-noise performance.

timing synchronization;GMSK;Laurent representation;Gardner algorithm

10.3969/j.issn.1003-3106.2017.12.05

謝春磊，張濤.基于Laurent分解的GMSK定時同步環(huán)路[J].無線電工程,2017,47(12)：20-23，60.[XIE Chunlei,ZHANG Tao.A Digital Timing Tracking Loop Based on Laurent Representation for GMSK Modulations[J].Radio Engineering,2017,47(12):20-23，60.]

TN911

A

1003-3106(2017)12-0020-04

2017-01-11

國家部委基金資助項目。

謝春磊男，(1984—)，工程師。主要研究方向：數(shù)字調(diào)制信號解調(diào)、分析。

張濤男，(1986—)，工程師。主要研究方向：計算機視覺、機器學(xué)習(xí)和人工智能等信號處理相關(guān)算法。