地鐵圓弧形隧道等腰楔形環的拼裝與設計
——齊次變換方法

張忠楨， 駱漢賓， 余群舟， 盛 達

(華中科技大學工程管理研究所, 湖北 武漢 430074)

地鐵圓弧形隧道等腰楔形環的拼裝與設計
——齊次變換方法

張忠楨， 駱漢賓， 余群舟， 盛 達

(華中科技大學工程管理研究所, 湖北 武漢 430074)

為提高地鐵盾構隧道施工效率和管片拼裝精度，提出用等腰楔形環拼裝圓弧形盾構隧道的新的理論與算法。主要結論如下： 1)從理論上證明當等腰楔形環依次向相反方向旋轉相同角度θ時，隧道軸線在一個平面上，隧道半徑R=L/(2sinα/2· cosθ/2)，其中L是環寬，α是楔形角； 2)提出一種采用容許旋轉角拼裝楔形環的算法，確定整個盾構隧道上每個襯砌管片環的位置和方位； 3)根據楔形環的方位可以確定隧道上的第幾環是左轉彎環，第幾環是右轉彎環，使封頂塊的位置在隧道上部，從而確定整個盾構線路所需左、右轉彎環的數量。

地鐵圓弧形隧道； 管片拼裝； 等腰楔形環； 容許旋轉角； 齊次變換

0 引言

管片選型與拼裝是地鐵盾構隧道建設的關鍵。從襯砌管片環的組合方式看主要有3種： 標準環加左、右轉彎環； 通用管片環； 左、右轉彎環。

國內地鐵普遍采用第1種管片環組合方式對圓曲線和緩和曲線盾構隧道進行排版計算[1-7]，計算依據是根據實踐經驗總結出來的2張表。1)一張表是楔形量、楔形角與管片環外徑關系表。例如： 管片環外徑為6～8 m時，楔形量為30～90 mm； 管片環外徑為10 m以上時，楔形量為40～70 mm。2)另一張表是標準環與楔形環配比表。例如： 隧道半徑為300 m時，標準環與楔形環的環數比為1∶1； 半徑500 m時為7∶3； 半徑 1 000 m 時為17∶3。為了得到半徑更大的圓弧形隧道，設計時將楔形環旋轉一定角度與標準環對接。楔形環旋轉后，朝向隧道軸線中心的楔形量變小，垂直方向的楔形量變大。不同旋轉角的環寬不同，需列出第3張表，叫做楔形環管片端點寬度計算表。表中每行4個環寬數值，兩兩的差值便是朝向隧道軸線中心的楔形量和垂直方向的楔形量。最后歸結為一個平面幾何公式： 弧長等于半徑乘以圓心角，這里的弧長便是要建的隧道長度。

按以上計算方法確定的楔形環的楔形量普遍偏大，因而對標準環、左右轉彎環所需數量的估計粗略。

標準環又稱作直線環，對于向圓弧隧道內側偏移的管片環有向外糾偏的作用。但是，如果一個管片環既向圓弧隧道內側偏移，其朝向又偏離設計隧道平面時，安裝標準環可能使其首端面中心離設計隧道平面更遠。由于標準環的糾偏作用有限，有些城市(如深圳地鐵一期工程第7標段)開始僅采用一種型式的楔形環，稱為通用管片環[8]，拼裝盾構隧道。由于封頂塊僅限于環的一側，安裝時有些楔形環的封頂塊會朝下，給施工帶來一些困難。國內文獻中有許多關于通用楔形環的模擬或虛擬拼裝算法[9-12]，這些算法僅僅以相鄰2環的拼裝計算公式為基礎。當環數較多時計算工作量很大，難以找到充分接近設計隧道軸線的拼裝方案。

本文將介紹如何利用左右轉彎環拼裝圓弧形隧道。根據筑龍網的一篇文章《鋼筋混凝土襯砌管片的設計與制造》介紹，這種方法歐洲常采用，國內地鐵區間未采用。左右轉彎環都是等腰楔形環(也叫做雙面楔形環)，封頂塊在環的腰部，但位置不同，成鏡像對稱。本文通過在每個管片環上建立一個空間坐標系，利用齊次變換方法精確地計算出成型隧道每一環的位置和方位。根據楔形環的方位可以確定隧道上的第幾環是左轉彎環，第幾環是右轉彎環，使封頂塊的位置在隧道上部，從而確定盾構線路所需左、右轉彎環的數量，為楔形環的采購計劃提供理論依據。

本文介紹的計算方法可以提高隧道襯砌管片的通用性，降低管片制造成本，為實現地鐵盾構隧道精確拼裝提供新的途徑。

1 等腰楔形環的幾何性質及坐標系的設置

在地鐵隧道施工過程中，盾構每推進一段距離，就安裝一節管片環。通用楔形環具有統一的幾何尺寸，不僅能形成直線隧道，還能形成曲線隧道。本文研究如何采用等腰楔形環拼裝圓弧形隧道，使盾構施工滿足設計要求。

圖1 等腰楔形環的幾何形狀

例如，武漢市某地鐵線路所用楔形環尺寸為： 外徑D2=6.2 m，環寬L=1.5 m, 最小環寬L1=1.48 m, 最大環寬L2=1.52 m, 楔形量δ=40 mm。 要求拼裝一段半徑等于450 m的圓弧形隧道。 可以算出橢圓長軸等于6.200 032 m，楔形角α=0.369 649°。

設G0、G1、G2、…、Gi是依次安裝的楔形環，它們的中心軸線首尾相連形成的一條折線稱為隧道軸線。要求安裝成型的隧道軸線與隧道設計軸線DTA(designed tunnel axis)盡可能一致。在我們的研究中，楔形環的初始排列是最小環寬處與最小環寬處、最大環寬處與最大環寬處正對齊。這時相鄰2個楔形環中心軸線的夾角最小, 隧道軸線成為半徑最小的“圓弧”。為了得到更大半徑的圓弧，需要將相鄰2個楔形環向相反的方向旋轉同樣大小角度，即使得相鄰2個楔形環接觸面橢圓長軸的夾角相等。其大小用θ表示，稱為相鄰2個楔形環的夾角。θ=0°時即為楔形環排列的初始位置；θ=180°時，隧道軸線成直線形。以下都約定 0≤θ<180°。

每個楔形環沿盾構推進方向的那一面稱為首端面，后面那一面稱為末端面。第i個楔形環Gi首端面的中心用oi表示，末端面的中心用oib表示。為了描述不同θ值時每個楔形環兩端中心的位置以及楔形環的方位，以每個楔形環的首端面為yz平面建立右手直角坐標系。第i個楔形環Gi上的直角坐標系記為oixiyizi, 其原點是首端面的中心，x軸與首端面垂直，指向盾構前進方向；y軸與橢圓長軸重合，方向由最大環寬處指向最小環寬處；z軸與橢圓短軸重合，方向按右手規則確定。

本文以楔形環G0上的坐標系作為“全局坐標系”，記為oxyz，這意味著G0不旋轉，從G1起各楔形環依次繞前面的楔形環向相反方向旋轉θ度。為了計算每個楔形環在全局坐標系中的位置和方位，需要用到齊次變換。

2 隧道軸線的位置、中心及半徑

2.1隧道軸線的平面性質

本節說明隧道軸線在全局坐標系中的位置、中心及半徑。首先證明，當相鄰楔形環向相反方向旋轉相等角度時，形成的隧道軸線在同一個平面上。楔形環排列的初始位置及G1旋轉后的情形如圖2所示。

(a) 楔形環排列的初始位置

(b) 楔形環G1首端面中間部分的俯視圖

圖2(a)顯示楔形環G0、G1和G2排列的初始位置，它們的最小環寬處與最小環寬處、最大環寬處與最大環寬處完全對齊，這時產生最大彎曲效果。

在圖2(a)中，o1A垂直于x軸,o1B垂直于y軸。利用直角三角形相似關系，可以得到∠o1oA=α/2。記|oA| =a, |oB| =b，由于|oo1| =L,得到

整理后得到

-bsinθx-asinθy+a(1+cosθ)z=0。

將a和b的表達式代入上式并消去L可得

(1)

利用三角函數公式也可將式(1)表示為

(2)

這個平面用Ptunnel表示。

為了得到圓弧形隧道，將Gi+1繞Gi上的xi軸旋轉-θ度，將Gi+2繞Gi+1上的xi+1軸旋轉θ度，i=1, 3,…，即相鄰的楔形環向相反的方向相對旋轉θ度。

為了計算楔形環Gi上每一點在全局坐標系oxyz中的坐標，需要用到以下幾種形式的基本變換，分別為繞x軸的旋轉、平移和繞z軸的旋轉：

令

T(θ)=Rot(x;θ)Trans(a,b,0)Rot(z；α)=

(3)

將坐標系oxyz移動到oixiyizi的變換矩陣如下：

下文證明楔形環G2首端面中心o2的3個坐標滿足式(1), 即o2也在平面Ptunnel上。

(4)

其前3個分量便是o2在坐標系oxyz中的坐標。 將其代入式(1)的左邊得

在以上推導過程中，除了消掉若干項外，還用到公式：

sin2θ+cos2θ=1 。

所以，楔形環G2的首端面中心o2在平面Ptunnel上。

同樣，如果將楔形環G1首端面上的坐標系o1x1y1z1作為全局坐標系oxyz，可以證明G3首端面中心o3在由o1b、o和o2確定的平面上，因而在平面Ptunnel上。 其中o1b是G1末端面的中心。 以此類推，可以證明所有楔形環兩端的中心都在同一個平面上，故Ptunnel是隧道軸線所在的平面，稱為隧道軸線平面或隧道平面。

2.2圓弧形隧道軸線的中心及半徑

本節首先求楔形環G1的首端面，G0的首端面和末端面所在平面的交點，然后證明此交點到每個楔形環兩端中心的距離相等。

cosαx+sinαcosθy+sinαsinθz=acosα+b·sinαcos2θ+bsinαsin2θ=acosα+bsinα。

將a和b的表達式代入上式化簡得

楔形環G0末端面中心o0b的坐標為(-a,b,0)，容易求得G0末端面的平面方程為

將G1的首端面，G0的首端面和末端面的交點記為O，則

(5)

容易驗證它滿足式(2)，即O在隧道軸線平面上。

下文求o到O的距離。

經化簡得

(6)

同理可證明楔形環G2首端面的中心o2到O的距離也等于R(略)。

同樣，如果將楔形環G1首端面上的坐標系o1x1y1z1作為全局坐標系oxyz，可以證明G3首端面中心o3到O的距離也等于R。 以此類推，可以證明所有楔形環兩端的中心到O的距離都等于R，即所有楔形環兩端的中心在一個以O為圓心、半徑等于R的圓弧上。 所以O是隧道軸線中心，簡稱隧道中心；R是隧道軸線半徑，簡稱隧道半徑。

在式(6)中令θ=0，可得到

這是楔形環最小環寬處與最小環寬處、最大環寬處與最大環寬處完全對齊時的隧道半徑。

為了錯縫拼裝，楔形環至少要旋轉一個角度θmin，可以形成的圓弧隧道半徑大于或等于

(7)

2.3隧道平面坐標系統

上文將全局坐標系oxyz建立在楔形環G0首端面，求出了隧道軸線平面方程、中心的位置以及隧道半徑； 但是隧道軸線不在oxyz的坐標平面上，中心不在坐標軸上。此節以隧道軸線平面為XY平面，仍以o為原點，建立坐標系oXYZ，以便將坐標系oxyz中表示的隧道軸線以及其他一些參數換算成oXYZ中的坐標，更直觀地反映成型隧道中每個楔形環的位置和方位。 可以推導出將坐標系oXYZ移動到oxyz的變換矩陣如下：

(8)

其中

可得

前文已經指出θ是小于180°的正數，故隧道平面的法向量與坐標系oXYZ的Z軸同方向，即隧道軸線在oXYZ坐標系的XY平面上。

2.4用等腰楔形環拼裝圓弧形隧道的算例

從上面的分析可以得到以下結論。

2)在楔形環尺寸給定的條件下，由于楔形環的拼裝點位有限，實際只能形成有限的幾種隧道半徑。例如，有的楔形環由6個管片拼接而成，2楔形環對接有16個拼裝點位，在圓周上均勻分布，相鄰2個安裝點位對應的圓心角等于22.5°。由于2環對接時要求管片錯縫拼裝，所以θ= 0°不允許, 最小旋轉角θmin=22.5°。要形成圓弧形隧道，θ只能是22.5°、45°、67.5°、90°、112.5°、135°、157.5°等7種容許值，得到7種隧道半徑。如果隧道設計半徑對應的旋轉角不等于這7種數值，安裝楔形環時就必須采用多種容許旋轉角，形成的隧道軸線不是嚴格的圓弧形。

3)由隧道半徑的計算式(6)可以看出，安裝點位給定時，通過改變楔形環的尺寸可以使隧道半徑達到設計要求。

在下文的算例中假設旋轉角θ有22.5°、45°、67.5°、90°、112.5°、135°、157.5°等7種容許值。

2.4.1 算例1

某等腰楔形環的外徑D2=6.2 m, 寬度L=1.5 m，最小環寬L1=1.48 m，要求用其拼裝成半徑為450 m的圓弧形隧道。

表1采用7種容許旋轉角的圓弧隧道半徑(L1=1.48 m)
Table 1 Tunnel radii by using 7 kinds of allowable rotation angles (L1=1.48 m)

θ/(°)R/m22．5237．0645251．6667．5279．6390328．81112．5418．49135607．55157．51191．75

由表1可知： 容許旋轉角等于112.5°時的隧道半徑為418.49 m，在7個半徑數值中最接近設計值450 m。容易想到，前2個楔形環應該依次旋轉±112.5°，以后每個楔形環旋轉多少度由其首端面中心到隧道設計軸線的距離確定。具體做法下節討論。

2.4.2 算例2

某等腰楔形環的外徑D2=6.2 m, 寬度L=1.5 m，最小環寬L1=1.485 4 m。要求用其拼裝成半徑為450 m的圓弧形隧道。

表2采用7種容許旋轉角的圓弧隧道半徑(L1=1.485 4 m)
Table 2 Tunnel radii by using 7 kinds of allowable rotation angles (L1=1.485 4 m)

θ/(°)R/m22．5324．7345344．7367．5383．0590450．42112．5573．27135832．26157．51632．53

由表2可知：L1=1.485 4 m，θ=90°時, 隧道半徑等于450.42 m，滿足設計要求。

在楔形環的拼裝過程中, 楔形環首端面中心不可避免地會偏離隧道設計軸線，產生一定的偏差，需要不斷地調整楔形環之間的夾角。當楔形環尺寸固定時，由表1和表2都可以看出，相鄰2環的夾角θ增加時形成的隧道半徑R增加很快。顯然，θ較小時調整拼裝誤差要容易一些，故設計楔形環尺寸時應考慮采用較小的楔形量，以便使用較小的容許旋轉角安裝楔形環。

2.4.3 算例3

某等腰楔形環的外徑D2=6.2 m, 寬度L=1.5 m。根據不同容許旋轉角確定楔形量，使得隧道半徑等于450 m。

當楔形環之間的夾角θ變化時，楔形環的楔形角α也要改變才能使得隧道半徑等于設計值。在楔形環外徑D2和寬度L不變的條件下，通過改變最小環寬L1可以改變楔形角α。利用式(6), 實現設計半徑等于450 m的計算結果見表3。

表3 實現設計隧道半徑450 m的最小環寬

楔形量δ=2(L-L1)。由表3可知： 只要楔形量適當，采用7種容許旋轉角中的任何一種，都可以使隧道半徑接近450 m。

2.4.4 算例4

某等腰楔形環的外徑D2= 6.2 m, 寬度L=1.5 m，最小環寬L1=1.485 4 m，用其拼裝圓弧形隧道。楔形環的旋轉角θ=±90°，需要求出以下要素。

1)在坐標系oxyz中, 隧道軸線所在平面方程、隧道中心位置以及隧道半徑。

2)在坐標系oxyz中, 前10個楔形環首端面與隧道軸線平面的夾角。

3)前10個楔形環首端面中心在坐標系oxyz和oXYZ中的位置。

具體解法如下。

1)根據式(2), 隧道軸線平面方程為

-0.001 7x-0.707 1y+0.707 1z=0。

此方程經過規范化，其系數平方和等于1。根據式(5)和式(6)，隧道中心O=(0, 318.493 2, 0, 318.492 8), 隧道半徑R=450.417 1 m。

2)利用楔形環首端面所在平面方程和隧道平面方程，可以求出楔形環首端面與隧道軸線平面的夾角依次為90.095 3°和89.904 7°。

3)前10個楔形環首端面中心在坐標系oxyz的坐標(x,y,z)，在oXYZ中的坐標(X,Y,Z)見表4。

表4 前10個楔形環首端面中心的坐標

由表4最后一列可見，楔形環兩端中心都在平面XY上。

另外，還可以計算出每個楔形環的方位。例如，在坐標系oXYZ中第1個楔形環首端面法向量為(0.999 3, 0.036 6, 0.001 7)。

3 利用不同容許旋轉角實現隧道設計半徑

3.1圓弧形隧道楔形環的排版計算

在地鐵隧道建設中，隧道的轉彎半徑多種多樣，楔形環的尺寸和安裝點位可能是固定的，本節介紹在拼裝過程中如何根據安裝點位將楔形環旋轉不同角度得到設計要求的隧道。

假設隧道設計半徑為RD，θ0是實現RD的旋轉角，即θ0是由式(6)確定的旋轉角，滿足

(9)

楔形環依次反向旋轉θ0得到的隧道軸線稱為精確隧道軸線。 根據式(5)，這時的隧道中心為

(10)

根據式(2)，隧道平面方程為

(11)

一般來說，θ0不是容許旋轉角，只能采用一些容許旋轉角實現設計隧道半徑。在楔形環對接點位為16個的條件下，除了前面提到的7種容許旋轉角外還可能使用180°。 下文介紹一種算法安裝楔形環，計算步驟大致如下：

1)利用式(9)確定的旋轉角θ0旋轉楔形環，構造一個半徑等于RD的精確隧道軸線。

2)采用容許旋轉角拼裝楔形環，使成型隧道軸線盡可能接近精確隧道軸線。

3)以精確隧道軸線所在平面為XY平面建立坐標系，在其中反映上一步得到的每個楔形環的位置和方位。

為表述方便，下文用Oi表示第i個楔形環首端面中心在精確隧道軸線上的位置，oi表示使用容許旋轉角得到的位置，假設共安裝n個楔形環。

3.1.1 采用多種容許旋轉角實現設計隧道半徑

其中‖·‖2表示歐氏范數，arg min表示使‖·‖2取得極小的θ值。 作變換

3.1.2 算例

某等腰楔形環的外徑D2=6.2 m,寬度L=1.5 m，最小環寬L1=1.48 m。 要求用其拼裝成半徑為450 m的圓弧形隧道，共100環。

此處隧道設計半徑RD=450 m，利用式(9)可得cos (θ0/2)=0.516 7，θ0=117.781 8°。 根據式(5), 在坐標系oxyz中，θ0對應的隧道中心O=(0, 232.501 4, 385.283 1)m； 根據式(2)，隧道平面方程為

-0.002 8x-0.856 2y+0.516 7z=0。

(12)

此方程已規范化，即其系數的平方和等于1。

按3.1.1方法步驟計算結果見表5。 其前3列數字是采用容許旋轉角得到的各楔形環中心在坐標系oxyz中的坐標，即oi的3個分量。 |oiOi|列的數字是oi到Oi的距離(Oi的3個分量未列于表中)。 disP0列的數字是將oi的3個分量代入平面方程式(12)左邊得到的數值, 是oi到精確隧道平面的“距離”，負數表示oi在該平面之下，單位都是m。θ列的數字是楔形環的旋轉角度。

表5 100個楔形環首端面中心的坐標及有關參數
Table 5 Coordinates of front centers of 100 wedged rings and relevant parameters

楔形環x/my/mz/m|oiOi|/mdisP0/mθ/(°)11．5000-0．00190．00450．0004-0．0002112．523．0000-0．00070．01340．0013-0．0007-112．534．49990．00180．02580．0009-0．000713545．99980．00540．04340．00120．0012-112．557．49960．01690．06630．0032-0．000922．568．99930．02740．09080．0023-0．0014157．5710．49910．03680．11680．0035-0．0001-157．5811．99860．05140．15080．00440．000722．5913．49790．07140．19260．00130．0011-22．51014．99720．09290．23340．0022-0．0004-157．51116．49650．11440．27410．0088-0．00191801217．99550．13780．32420．0112-0．000122．51319．49410．16450．38260．01030．0029-451420．99240．19920．44620．00540．0020-22．51522．49030．23650．51610．00260．0021901623．98820．27380．58600．00390．00211801725．48600．31290．65630．00150．0008157．51826．98350．35690．73140．0023-0．0022-901928．48070．40220．80990．0047-0．00461352029．97760．44610．89630．0024-0．0016-67．53044．92501．05261．98400．0056-0．0002904059．82221．91983．50120．00450．0000-455074．65233．04555．44460．0010-0．0006906089．40044．42347．80510．0026-0．001522．570104．04876．055010．58710．0023-0．00169080118．58297．936613．78000．0072-0．0030-22．590132．982210．070017．39730．0012-0．0003-157．5100147．236312．448321．41500．0025-0．000245

由表5中|oiOi|和disP0列數字可知，根據3.1.1方法形成的隧道軸線很接近精確隧道軸線，基本上在隧道平面上。由表5中θ列可知，旋轉角變化很大，最小和最大容許旋轉角都列在其中。

表6 100個楔形環首端面中心在坐標系oXYZ中的坐標及隧道半徑
Table 6 Coordinates of front centers of 100 wedged rings inoXYZand tunnel radii m

楔形環XYZR11．50000．0029-0．0002449．999623．00000．0111-0．0007449．998934．49990．0230-0．0007449．999545．99980．04000．0012450．000057．49960．0655-0．0009449．997068．99940．0919-0．0014449．9981710．49910．1190-0．0001450．0035811．99870．15570．0007450．0043913．49800．20180．0011450．00071014．99730．2478-0．0004450．00221116．49660．2938-0．0019450．00861217．99560．3488-0．0001450．01121319．49420．41260．0029450．00991420．99240．48490．0020450．00501522．49040．56400．0021449．99831623．98830．64320．0021449．99671725．48610．72350．0008449．99881826．98360．8106-0．0022449．99921928．48080．9013-0．0046450．00092029．97770．9979-0．0016450．00173044．92522．2425-0．0002450．00564059．82243．98960．0000450．00455074．65266．2351-0．0006450．00036089．40078．9680-0．0015450．001970104．049112．1930-0．0016450．001380118．583315．8989-0．0030450．006590132．982720．0982-0．0003450．0000100147．236824．7669-0．0002450．0021

由表6的Z列和R列可知，每個楔形環兩端面中心離XY平面很近，到(0, 450)的平面距離都接近450 m。第28個楔形環首端面中心到XY平面的距離最遠，為0.009 206 m(表6的Z列未列出)。

由上分析，還可以給出每個楔形環的方位。例如，在坐標系oXYZ中，第1個楔形環首端面的法向量為(0.999 990, 0.003 828, 0.002 432)。

3.2楔形環的實際應用方法

按圖2(a)每個楔形環上坐標系的設置，第i個楔形環的封頂塊在oixiyizi坐標系的zi軸方向時，為左轉彎環；在-zi軸方向時，為右轉彎環。

如果隧道平面在水平面上(或有一定坡度)，oXYZ坐標系的Z軸方向朝上，圖2(a)所示為左轉彎隧道。計算結果表明，3.1.2算例的100環中有81環的zi軸與Z軸的夾角小于90°，19環的zi軸與Z軸的夾角大于90°。為了使每環的封頂塊朝上，這81環應采用左轉彎環，19環采用右轉彎環。如果是同樣半徑的右轉彎隧道，那么81環為右轉彎環，19環為左轉彎環。

還可以將楔形環的橫截面分成若干扇區，如頂部、左上、右上、左側、右側等，計算出每個封頂塊所在的扇區。或者在排版計算時避免兩側的扇區，使封頂塊盡可能集中在隧道頂部、左上、右上等位置，以便施工拼裝。

對于隧道軸線平面垂直于水平面的隧道，如大直徑過江隧道，應考慮進行專門設計，將封頂塊放在楔形環最小環寬處[6]，可以做到楔形環的封頂塊都在隧道上部，安裝十分方便。

值得注意的是，本文雖然僅介紹了如何用等腰楔形環拼裝圓弧形隧道，但也可以用于其他形式的管片環，如標準環、左右轉彎環、單面楔形環的混合排版；還可以用于回旋線等緩和曲線隧道的排版。

對于我國廣泛采用的標準環加左右轉彎環的隧道拼裝模式，可以通過調整變換矩陣T(θ)中的參數進行計算，而且這種計算可以在隧道施工過程中隨時進行。由于周圍環境、地質和盾構精度等條件的限制，成型隧道不可避免地會偏離設計隧道軸線； 但是只要測定出剛剛安裝好的一環首端面的位置和方位，就可以利用齊次變換方法預估余下隧道的走向和終點的位置，以及各種管片環需要的數量，做到心中有數。在施工過程中成型隧道軸線出現較大偏差時，通過調整變換矩陣中的參數和設置一些限制條件，計算出不同拼裝方案，從中選擇一個較好的方案實施。如果需要優先采用某些安裝點位或者禁止某些安裝點位，也可以通過計算進行分析。

本文關于隧道軸線半徑的計算式(6)給出的實際上是相鄰2環結合處的曲率半徑。回旋線上每點的曲率各不相同，根據回旋線上一些點的曲率半徑按照該式計算2環的相對旋轉角，可以使隧道轉彎半徑由一個數值逐漸變化到另一個數值，使回旋線形隧道軸線與兩端的曲線(直線)線路盡可能相切。

4 結論與討論

本文重點介紹如何利用等腰楔形環拼裝圓弧形隧道，主要結論如下。

2)提出一種用等腰楔形環拼裝圓弧形盾構隧道的算法。可以計算出整個盾構隧道上每個管片環的位置和方位以及所需左、右轉彎環數量，對于提高盾構隧道施工效率和拼裝精度有重要實用價值。

3)建議用左右轉彎環拼裝地鐵盾構隧道。與目前廣泛采用的標準環加左右轉彎環拼裝模式相比，可以減少管片制造鋼模數量，提高襯砌管片的通用性，降低地鐵建設成本。

4)增加盾構隧道管片環寬度可以提高經濟效益[13]； 但是環寬增加后，其擬合曲線隧道的精度會降低并且導致管片環彎曲應力增加。本文介紹的方法可以計算出整個隧道管片排列的狀況，有助于對隧道的關鍵部位和全局進行分析，以確定適當的環寬數值。

為了提高盾構隧道的施工效率和成型質量，管片環的分塊設計及管片制造鋼模的加工精度十分重要。封頂塊是每一管片環最后拼裝的一塊，是尺寸設計的關鍵。為了便于安裝，其兩端寬度不同，成楔形。通常先在三分之二長度的位置徑向嵌入2個相鄰塊，再縱向推入剩余部分。目前我國廣泛使用CAD或Solidworks等軟件用作圖方式設計管片形狀，需要反復試探地確定封頂塊尺寸，工作量較大且精度有限。雖然有學者介紹解析計算方法[14]，但很復雜。今后我們將介紹一套簡便的解析計算公式，可按任何分塊方式精確地計算出每個管片4周的平面方程及8個角點的空間坐標，供數控機床加工鋼模型腔使用。

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DesignandAssemblyofIsoscelesWedgedRingsforCircularMetroShieldTunnel:AHomogeneousTransformationMethod

ZHANG Zhongzhen, LUO Hanbin, YU Qunzhou, SHENG Da

(InstituteofEngineeringManagement,HuazhongUniversityofScienceandTechnology,Wuhan430074,Hubei,China)

A new theory and algorithm for assembling a circular metro shield tunnel segment by using isosceles wedged rings are proposed to improve the tunnel construction efficiency and segment assembling precision. Main conclusions are drawn as follows: 1) It is theoretically proved that the tunnel axis is on a plane when rings are alternately rotated about the same angleθand the tunnel radiusR=L/(2 sinα/2 cosθ/2) whereLis the ring′s width andαis wedged angle. 2) An algorithm, using allowable rotation angle method, is given to compute the position and orientation of every lining ring in the whole circular shield tunnel. 3) Every isosceles wedged ring can be identified as a left bend ring or a right bend one according to its orientation where the K-segment is on the top of the tunnel, which means that the amounts of left and right bend rings can be respectively foreknown before constructing a shield tunnel.

circular metro tunnel; segment assembly; isosceles wedged rings; allowable rotation angle; homogeneous transformation

2017-03-01;

2017-06-12

張忠楨(1946—)，男，湖北武漢人，1980年畢業于華中科技大學，系統工程專業，碩士，教授，主要從事于數學建模與計算研究工作。 E-mail: zhangzz321@126.com。

10.3973/j.issn.1672-741X.2017.10.003

U 45

A

1672-741X(2017)10-1217-10