地下結構抗震計算中地基反力彈簧剛度取值方法研究

楊 飛， 董新勇， 周沈華， 黃余沖， 閆劉學， 劉 樂

(1.西安市地下鐵道有限責任公司，陜西西安 710018； 2.長安大學建筑工程學院，陜西西安 710061)

地下結構抗震計算中地基反力彈簧剛度取值方法研究

楊 飛1， 董新勇2， 周沈華1， 黃余沖2， 閆劉學2， 劉 樂2

(1.西安市地下鐵道有限責任公司，陜西西安 710018； 2.長安大學建筑工程學院，陜西西安 710061)

地震系數法及反應位移法中土體-地下結構體系均簡化為荷載-結構計算模型，利用模型中的地基反力彈簧剛度參數代替地鐵地下結構周圍巖土介質，地基反力彈簧剛度參數能否正確取值關乎到能否正確模擬巖土介質。為了使地基彈簧系數取值簡單方便、精確可靠，文章基于有限元分析法，研究截面高度、頂板埋深、底板與基巖距離、截面寬度、地基土的彈性模量、泊松比、粘聚力、內摩擦角與地基反力彈簧剛度參數之間的關系，由有限元分析結果為數據依據，對地基反力彈簧參數公式進行擬合。提出考慮了多種影響因素的地基反力彈簧剛度綜合建議公式，并通過振動臺試驗震害現象分析及時程分析驗證了綜合建議公式的可靠性。

地震系數法； 反應位移法； 地基反力彈簧剛度； 限元分析法； 時程分析法

周圍巖土介質在地震中對地下地鐵車站的影響是不容忽略的[1]。周圍土體不僅對結構有作用力，還會對結構起到約束作用并使其共同受力。地下地鐵車站抗震計算一般采用兩種模型：(1)土體-結構整體模型，建模時建立結構及場地的整體模型并共同受力，主要用于動力有限元時程分析。(2)荷載-結構模型，建模時只建地下地鐵車站，不建立地基。地下地鐵車站簡化為規則框架截面，周圍巖土介質對地下地鐵車站的作用簡化為地下地鐵車站周圍的地基彈簧，常用于地下地鐵車站擬靜力計算中。

荷載-結構模型簡明方便，利于一般技術人員操作，在地下地鐵車站擬靜力抗震計算中應用較普及。該計算模型中地基反力彈簧剛度參數的取值對計算結果有直接影響。但針對地基反力彈簧剛度的取值方法研究較少，相關研究也沒有統一結論。

采用試驗及數值模擬可較準確地得出地基反力彈簧剛度，但過程復雜，耗時較長，不適宜應用于實際工程。而日本規范[2]提出的體型修正系數法及陶連金[3]提出的板寬修正法，雖然給出了推薦公式，應用方便，但其只考慮了土體彈性模量及車站尺寸對地基反力彈簧剛度的影響，并未考慮車站埋深及土體泊松比等其它特性指標的影響。本文通過數值模擬和對比分析，研究孔洞高度、頂板埋深、底板與基巖距離、孔洞寬度、地基土的彈性模量、泊松比、粘聚力、內摩擦角與地基反力彈簧剛度的關系，并擬合出地基反力彈簧參數的綜合建議公式，對地鐵地下結構的抗震計算提供可靠參考。

1 地基反力彈簧剛度參數的取值方法

1.1 體型修正法

日本鐵路抗震設計規范[2]建議地基反力彈簧剛度參數采用式(1)～式(4)確定，由于此法計算地基反力彈簧剛度時考慮了底板寬度及側墻高度的影響，稱該法為體型修正法。

(1)頂板、底板下土層的豎直反力系數：

(1)

式中：KV為豎直方向地基彈簧剛度(kN/m3)；ED為土體的動變形模量(kN/m2)；BV為底板寬度(m)。

(2)側面土層的水平反力系數：

(2)

式中：KH為水平方向地基彈簧剛度(kN/m3)；ED為土體的動變形模量(kN/m2)；BH為側墻高度(m)。

(3)頂底板地基反力剪切彈簧剛度：

KSV=KV/3

(3)

(4)側墻地基反力剪切彈簧剛度：

KSH=KH/3

(4)

土體的變形系數：ED=2(1+υ)G

式中：υ為土體泊松比；G為土體的動剪切剛度。

1.2 板寬修正法

板寬修正法由陶連金等人[3]提出，該方法計算地基反力彈簧剛度時考慮結構底板寬度的影響。底板下土層的水平反力系數：

(5)

底板下土層的剪切反力系數同式(3)。

側面土層的水平反力系數：

(6)

式中：frk為土的抵抗系數，取為1.0；αs為側向修正系數，取為1.0。

側面土層的剪切反力系數同式(4)。

1.3 有限元法

GB 50909-2014《城市軌道交通結構抗震設計規范》[4]建議采用有限元法計算地下結構地基反力彈簧剛度。

1.3.1 方法一

計算模型如圖1所示。土體的寬度取6倍至7倍的結構寬度，深度取到基巖面，只對土體進行有限元網格劃分，不對地鐵地下結構進行網格劃分。計算結構頂板豎直方向地基彈簧剛度參數時，在洞口底面施加單位均布力δ，采用有限元法算出底面所有節點沿豎直方向的位移wi，則對應每個節點上的豎向反力系數為Ki=δ/wi，求各個節點反力系數均值，并將其均值作為底邊法向的彈簧剛度。求切向地基彈簧剛度參數時，則施加切向力δ且測土體切向位移wi，其它側面也可采用相同的方法。

1.3.2 方法二

計算模型同方法一，但施加的單位均布力δ替換為單位位移w，計算出對應面各點Ki=Ri/w的反力Ri，則對應每個節點上的地基反力系數為，求該面的所有節點反力系數均值，則為對應面的地基反力彈簧剛度參數(圖1)。

(a) 彈簧剛度計算模型

(b)底面法向彈簧剛度模型

(c) 底面切向彈簧剛度模型圖1 地下結構地基反力彈簧參數有限元計算模型

2 地基反力彈簧剛度的影響因素分析

2.1 結構高度的影響

采用有限元法，分別建立孔洞高度(車站截面高度)分別為5 m、10 m、14 m、20 m、25 m、30 m、35 m、40 m、45 m、50 m的模型。土體的泊松比取0.35，彈性模量取6×108Pa，有效摩擦角取26°，有效粘聚力取16 kPa，結構頂板埋深3 m，寬度19 m。分別在側墻、底板或頂板位置處施加法向或切向單位均布力，通過計算可得各節點的位移，取其倒數的平均值作為模型的地基反力彈簧剛度參數。結構截面高度倒數與地基反力彈簧剛度參數的關系曲線如圖2所示。

圖2中Ki為地基反力彈簧剛度，i為1～6分別表示側面法向、側面切向、底面法向、底面切向、頂面法向、頂面切向的地基反力彈簧剛度。由圖2可知，側面法向與側面切向的地基反力彈簧剛度參數K1、K2隨著結構截面高度倒數增加而增加，即隨著結構截面高度增加而減小。在結構截面高度倒數大于等于0.025，即結構截面高度小于等于40 m時，側面法向與側面切向的地基反力彈簧剛度參數K1、K2與結構截面高度的倒數近似成線性關系。

圖2 地基反力彈簧剛度參數-結構截面高度倒數

底面法向與底面切向的地基反力彈簧剛度參數K3、K4隨著結構截面高度倒數增加而減少，即隨著結構截面高度增加而增加。底面法向與底面切向的地基反力彈簧剛度參數K3、K4與結構截面高度的倒數無明顯的線性關系。頂面法向與頂面切向的地基反力彈簧剛度參數K5、K6隨著結構截面高度增加并沒有明顯的變化，特別是頂面法向的地基反力彈簧剛度，在3.6×106～3.9×106Pa的變化范圍內浮動。

2.2 結構底板與基巖距離的影響

由車站截面高度、埋深可得結構底板到基巖的距離，由此可得結構底板距基巖的距離倒數與地基反力彈簧剛度參數的關系曲線(圖3)。

圖3 地基反力彈簧剛度參數-結構底板與基巖距離的倒數

側面法向與切向的地基反力彈簧剛度參數K1、K2隨著結構底板與基巖之間距離的倒數增加而減小，即隨著結構底板與基巖之間的距離增加而增加。側面法向與切向的地基反力彈簧剛度參數K1、K2與距離倒數無明顯線性關系。

底面法向與切向的地基反力彈簧剛度參數K3、K4隨著結構底板距基巖的距離倒數增加而增加，即隨著結構底板距基巖的距離增加而減少。底面法向與底面切向的地基反力彈簧剛度參數K3、K4與結構底板距基巖距離的倒數近似成線性關系。頂板法向與切向的地基反力彈簧剛度參數K5、K6隨著結構底板距基巖距離的倒數增加而無明顯的變化。

2.3 結構頂板埋深的影響

為了研究結構埋深對地基反力彈簧剛度的影響，建立車站頂板埋深分別為0.5 m、1 m、1.5 m、2 m、2.5 m、3.059 m、3.5 m、4 m、5 m、6 m、8 m的模型，通過有限元法，可得不同埋深模型的地基反力彈簧剛度參數。地基反力彈簧剛度參數與車站頂板埋深的關系曲線如圖4所示。

圖4 地基反力彈簧剛度參數-車站頂板埋深的倒數

由圖4可知，側面法向與切向、底面法向與切向及頂面法向與切向的地基反力彈簧剛度參數K1～K6均隨著埋深的增加而增加，其中K5、K6斜率較大。分析發現，增加單位埋深，K1增加2 %～7 %，K2增加1 %～7 %，K3增加1 %～3 %,K4增加0.3 %～3 %，K5增加3 %～90 %,K6增加4 %～59 %。由此可見：孔洞頂板埋深對K3、K4的影響很小，且底板距基巖距離與頂板埋深為交互因素，即底板距基巖距離與頂板埋深相關,故底面法向及底面切向的地基反力彈簧剛度參數考慮了底板距基巖距離因素后可不考慮頂板埋深的影響。但頂板埋深對K1、K2、K5、K6的影響不可忽略。

2.4 結構截面寬度的影響

為了研究結構寬度對地基反力彈簧剛度的影響，分別建立截面寬度為10 m、13 m、16 m、19.2 m、22 m、25 m、28 m、30 m、35 m、40 m的車站模型，通過有限元法，可得不同寬度模型的地基反力彈簧剛度參數。地基反力彈簧剛度參數與結構截面寬度倒數的關系曲線如圖5所示。

圖5 地基反力彈簧剛度參數-結構截面寬度倒數

側面法向地基反力彈簧剛度參數K1隨著結構截面寬度倒數增加而減小，即隨著結構截面寬度增大而增大。當結構截面寬度小于等于30 m時，K1隨與孔洞高度的倒數成近似線性關系。側面切向地基反力彈簧剛度參數K2隨著結構截面寬度增加而無明顯變化，其值在1.83×107～1.88×107Pa內浮動。

底面法向與切向地基反力彈簧剛度參數K3與K4隨著結構寬度倒數增加而增加，即隨著寬度增加而減小。當結構截面寬度小于等于30 m時，K3、K4與結構截面寬度的倒數成近似線性關系。頂面法向與切向地基反力彈簧剛度參數K5與K6隨著結構截面寬度的倒數增加而增加，即隨著結構截面寬度增加而減小。

2.5 土體彈性模量的影響

為了研究土體彈性模型對地基反力彈簧剛度的影響，分別建立土體彈性模量為4×104、1×108、2×108、3×108、4×108、5×108、6×108、7×108的模型，并進行有限元分析，得到地基反力彈簧剛度參數與土體彈性模量之間的變化關系(圖6)。

圖6 地基反力彈簧剛度-土體彈性模量關系曲線

由圖6可知，結構側面、底面及頂面的地基反力彈簧剛度K1～K6均隨著土體彈性模量增大而增大，且其值均與土體彈性模量有顯著的線性關系。

2.6 土體泊松比的影響

為研究土體泊松比對地基反力彈簧剛度的影響，分別建立土體泊松比為0.2、0.25、0.3、0.35、0.4、0.45及0.5的模型，根據有限元分析可得地基反力彈簧剛度與土體泊松比的關系曲線(圖7)。

圖7 地基反力彈簧剛度參數—土體泊松比關系曲線

由圖7可知，結構側面、底面及頂面的地基反力彈簧剛度K1～K6均隨著土體泊松比的增加而增加。其中，K3的增加幅度顯著大于其它部位地基反力彈簧剛度參數的增加幅度。

2.7 土體內摩擦角及粘聚力的影響

為研究土體粘聚力及內摩擦角對地基反力彈簧剛度的影響，分別建立不同土體粘聚力及內摩擦角的模型，并進行分析計算。結果表明：土體粘聚力和內摩擦角對地基反力彈簧剛度參數的影響規律不明顯。

3 地基反力彈簧剛度綜合建議公式推導

3.1 地基反力彈簧剛度關系函數

由于結構截面高度、結構底板與基巖的距離及地鐵車站頂板埋深這三個因素存在交互作用，其中兩個因素變化必然會導致第三個因素變化，因此，需歸納分析地基反力彈簧剛度參數的主要影響因素。

對比分析圖2與圖3可知，側面法向與切向的地基反力彈簧剛度與結構截面高度的倒數有近似的線性關系，底面法向與切向的地基反力彈簧剛度與結構底板距基巖距離倒數有近似的線性關系。故結構截面高度為側面地基反力彈簧剛度的主要影響因素，底板距基巖距離為底面地基反力彈簧剛度的主要影響因素。由圖4可知，頂板埋深影響對頂面及側面地基反力彈簧剛度的影響較大。將地基反力彈簧剛度影響因素歸納總結如下：

結構側面地基反力彈簧剛度參數的影響因素有：結構截面高度(h)、寬度(b)、頂板埋深(d)、地基土的彈性模量(E)及泊松比(ν),則結構側面的地基彈簧系數K1、K2可以表示為：

K1=α1f1(h)f1(d)f1(b)f1(E)f1(ν)

(7)

K2=α2f2(h)f2(d)f2(b)f2(E)f2(ν)

(8)

fi(α)為某因素與地基反力彈簧剛度的關系函數；i為1～6分別表示側面法向、側面切向、底面法向、底面切向、頂面法向、頂面切向的地基反力彈簧剛度。

結構底面地基反力彈簧剛度參數的因素有：底板與基巖距離(H)、結構截面寬度(b)、土體泊松比(ν)及彈性模量(E)。則底面地基反力彈簧剛度參數K3、K4可以表示為:

K3=α3f3(H)f3(b)f3(E)f3(ν)

(9)

K4=α4f4(H)f4(b)f4(E)f4(ν)

(10)

結構頂面地基彈簧系數的因素有：頂板埋深(d)、結構截面寬度(b)、土體的彈性模量(E)及泊松比(ν)。則頂面地基彈簧系數K5、K6可以表示為:

K5=α5f5(d)f5(b)f5(E)f5(ν)

(11)

K6=α6f6(d)f6(b)f6(E)f6(ν)

(12)

基于數學軟件MATLAB進行擬合分析，可得結構側面法向地基反力彈簧剛度K1與結構截面高度的擬合函數表達式：

式中的系數-7.136×107為其他因素(土體彈性模量等)的影響結果，故將其剔除出去。可得側面法向地基反力彈簧剛度與車站截面高度的關系函數f1(h)：

(13)

式中h為車站截面高度。

同理，可得側面切向地基反力彈簧剛度與車站截面高度的關系函數f2(h)：

(14)

底面地基反力彈簧剛度參數K3、K4與車站底板距基巖距離的關系函數：

(15)

(16)

式中：H為車站底板距基巖距離(m)；c1建議取1或1.1；c2建議取0.1～0.5。

其它因素與地基反力彈簧剛度的關系函數推導過程同上。

3.2 綜合建議公式擬合

基于前文有限元分析結果及擬合分析，可以得到地下地鐵車站結構的地基反力彈簧參數綜合建議計算表達式如下：

(17)

K2= 2.696×10-6E(d3-6.912d2-450.422d-

ν)+1540

(18)

(19)

1.122×107

(20)

4.9×10-5](d3-7.373d2-223.914d+136.272)

(21)

0.00026](d3-18.856d2+149.856d+314.46)

(22)

Ki為地基反力彈簧剛度；i為1～6分別表示側面法向、側面切向、底面法向、底面切向、頂面法向、頂面切向的地基反力彈簧剛度。

對于結構截面寬度小于等于30m，高度小于等于30m，頂板埋深為3～3.5m時，結構地基反力彈簧剛度參數還存在如下關系：

K2=(0.85～0.9)K1

(23)

K4=(0.5～0.6)K3

(24)

4 綜合建議公式可靠性分析

4.1 西安地鐵飛天路車站工程概況

飛天路車站位于黃土臺塬區，地形呈南高北低狀，地面高程在510.5～515.0m之間。根據巖土的時代成因、地層巖性及工程特性，對巖土進行了工程地質分層，場地地層從上到下各層土的巖性特征如表1所示。

表1 土層物理力學性質

地下地鐵車站為鋼筋混凝土閉合框架結構，車站總寬度為19.2m，總高度為14.01m，中柱橫截面尺寸為0.8m×1.2m，縱向間距為9m，車站典型橫斷面如圖8所示。

圖8 飛天路地鐵車站標準斷面示意(單位:mm)

4.2 地鐵車站地震反應數值模型

采用時程分析法對飛天路車站進行抗震計算時，為了簡化計算，將黃土-地鐵地下結構動力相互作用三維體系視為二維平面應變問題來考慮，對黃土場地及地鐵地下結構的典型斷面進行數值模擬。建立模型如圖9所示，模型參數根據試驗確定。

1-無限元邊界 2-固定邊界 3-基巖圖9 黃土-地鐵車站時程分析法計算模型

4.3 地基反力彈簧剛度取值可靠性分析

為了驗證本文提出的綜合建議公式的可靠性，分別采用體型修正法、板寬修正法及綜合建議公式確定地基反力彈簧剛度。基于確定的地基反力彈簧剛度采用反應位移法對地鐵車站進行抗震計算，并將計算得到的地鐵車站結構控制點處彎矩與時程分析法計算結果進行比較(表2、表3)。

表2 地基反力彈簧剛度參數 ×107Pa

表3 反應位移法與時程分析法車站結構控制點彎矩值比較

由表3可知，采用體型修正法及板寬修正法確定地基反力彈簧剛度時，按照反應位移法計算結構控制點彎矩，上層柱頂彎矩顯著偏小。采用本文提出的綜合建議公式確定地基反力彈簧剛度時，計算結構控制點彎矩卻無此現象。由于體型修正法及板寬修正法中底板地基彈簧剛度的計算只強調結構截面尺寸的影響，忽略埋深這一關鍵因素，使得頂板與底板地基反力彈簧剛度一致。而頂底板的地基反力彈簧剛度參數與埋深成正比，頂板應比底板地基反力彈簧剛度取值小。若取頂板與底板地基反力彈簧剛度一致時，頂板地基反力彈簧剛度過大，限制頂板的變形，從而導致中柱的剪切變形過小，使得上層中柱端部彎矩計算結果過小。

課題組對西安地鐵飛天路車站進行了大型地震模擬振動臺試驗，試驗結束后車站結構破壞如圖10所示。由圖可知，上層中柱頂部破壞最嚴重，而體型修正法及板寬修正法確定地基反力彈簧剛度時，內力計算表明上層中柱頂部為中柱構件內彎矩最小部位，與振動臺試驗中地鐵車站震害特征不符合。本文提出的綜合建議公式確定地基反力彈簧剛度時，內力計算得出的結構彎矩與時程分析法計算結果較吻合，且與振動臺試驗地鐵車站震害特征相符，表明本文提出的綜合建議公式確定地基反力彈簧剛度具有較好的可靠性。

(a)中柱破壞

(b)中柱與板連接處破壞

5 小結

本文基于有限元法，分析了地鐵車站截面高度、頂板埋深、底板與基巖距離、車站截面寬度、地基土的彈性模量、泊松比、粘聚力、內摩擦角與地基反力彈簧剛度參數之間的關系。通過數值模擬和對比分析，歸納了各種不同因素對地基反力彈簧剛度取值的影響規律，提出考慮了多種影響因素的地基反力彈簧剛度綜合建議公式。同時，分別采用不同方法確定地基反力彈簧剛度，并基于確定的地基反力彈簧剛度對工程實例進行抗震計算，將計算結果與有限元動力時程分析法計算結果進行對比分析，驗證了本文提出的綜合建議公式確定地基反力彈簧剛度具有較好的可靠性，可為地鐵地下結構的抗震計算提供可靠參考。

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TU435

A

[定稿日期]2017-05-23

國家自然科學基金(編號：2014BAL06B04-4)；西安市地下鐵道有限責任公司科研基金(編號：D4-YJ-042014048)

楊飛(1983～)，男，本科，工程師，主要從事地下結構抗震設計方面工作；董新勇(1990～)，男，碩士研究生，主要從事建筑結構抗震、混凝土結構以及生土結構方面研究；周沈華(1980～)，男，碩士，高級工程師，主要從事巖土與地下工程抗震研究。