基于擴展DFT的諧波檢測算法的研究

張靜　趙慶生　王旭平　郭尊

摘 要： 傳統離散傅里葉變換（DFT）算法因其具有計算效率高，便于在嵌入式系統中應用的優點而廣泛應用于諧波檢測中，但其在非同步采樣下，頻譜泄露和柵欄效應的存在將會影響到測量結果的精確性。將擴展傅里葉變換（EDFT）應用于諧波檢測中，EDFT以傅里葉積分變換為目標，在擴展的頻率范圍內優化變換基即利用變換基函數取代傳統DFT變換中的指數基來構造信號的目標函數，并將原始數據通過迭代近似擬合從而使測量精度得以提高。經驗證，在非同步采樣和噪聲存在的條件下，該方法依然有較高的頻率分辨率和較強的抗干擾特性，適用于高精度測量或檢測。

關鍵詞： 非同步采樣； DFT； 擴展傅里葉變換； 諧波檢測

中圖分類號： TN911.6?34 文獻標識碼： A 文章編號： 1004?373X（2017）21?0175?05

Research on harmonic detection algorithm based on extended DFT

ZHANG Jing1， ZHAO Qingsheng1， WANG Xuping1， GUO Zun2

（1. Shanxi Key Laboratory of Power System Operation and Control， Taiyuan University of Technology， Taiyuan 030024， China；

2. School of Electrical and Electronic Engineering， North China Electric Power University， Beijing 102206， China）

Abstract： The traditional discrete Fourier transform （DFT） algorithm has fast computational efficiency and is convenient to apply to the embedded system， which is widely used in the harmonic detection. However， the available spectrum leakage and picket fence effect may influence the accuracy of the measuring result under the condition of asynchronous sampling. The extended discrete Fourier transform （EDFT） algorithm is applied to the harmonic detection. Taking the Fourier integral transform as the target of EDFT algorithm， the transform basis is optimized within the extended frequency range， for which the index basis in traditional DFT is replaced by the transform basis function to construct the target function of the signal. The original data is carried out with the iterative approximation fitting to improve the measuring accuracy. The simulation result shows that， under the conditions of asynchronous sampling and noise， the algorithm has high frequency resolution and strong anti?interference ability， and is suitable for the high?precision measurement or detection.

Keywords： asynchronous sampling； DFT； EDFT； harmonic detection

0 引 言

越來越多的非線性元件接入電網是電網波形失真的主要原因，諧波、間諧波和分諧波等的存在嚴重影響電力系統的電能質量[1]。精確的電能質量算法在電力系統安全檢測、瞬態值估計和繼電保護中起著重要的作用。

現如今諧波檢測的主流算法有：Prony 算法[2]、小波變換法[3]和離散傅里葉變換（DFT）法[4]等。Prony 算法頻率分辨率較高，但對噪聲較敏感；小波變換法雖能濾除不同頻率的信號從而提高頻率分辨率，但其計算復雜且需DSP具有更強的數據處理能力；離散傅里葉變換（DFT）計算速度快，能較好地處理諧波，可以方便地應用于嵌入式系統中而成為電能質量計算中應用最廣泛的算法之一。但在實際運行的電網中頻率不會一直不變，就會引起非同步采樣，頻譜泄露和柵欄效應問題將會呈現，DFT計算精度就會受到嚴重影響。加窗插值DFT算法可減輕頻譜泄露和柵欄效應，有效解決諧波和間諧波問題，但減小了頻率分辨率[4]。

EDFT以傅里葉積分變換為目標，在擴展的頻率范圍內優化變換基，并將原始數據通過迭代從而近似擬合。文獻[5]將EDFT應用于感應電動機的故障檢測中，根據頻域諧波幅值的變化來確定電機狀態，諧波幅值百分比變化可以判斷故障的嚴重程度。文獻[6]將EDFT用于輸電線路上的電弧故障檢測和定位，EDFT能有效減少在基波和諧波計算時由指數衰減偏置所引起的誤差，并將故障監測的時間縮短到3.25 ms。文獻[7]基于EDFT設計出了可變帶寬濾波器，所設計的濾波器具有更新簡單、不太復雜、濾波效果顯著等特性。endprint

為了保證供電可靠性，越來越多的研究者開始研究和探索高精度的諧波檢測算法。本文將EDFT算法應用于諧波檢測中，該算法是對傳統DFT算法的改進，在擴展頻率范圍內優化變換基，可有效提高測量精度、抗噪能力和頻率分辨率等，為諧波檢測提供了新的方向。

1 理論分析

1.1 非同步采樣條件下傳統DFT

傳統的傅里葉變換在同步采樣條件下能很好地處理和分析諧波，然而實際電網中頻率在發生偏移，如果仍然以[Nf0]進行采樣并且通過傅里葉變換計算時，因頻譜泄露和柵欄效應，所得的精確度較低[8]。

設輸入信號[x（t）]為只含基波的周期信號，信號模型為：

[x（t）=2Xcos2πf0+Δft+φ，-∞

式中：[2X]為幅值；[φ]為初相位；[f0]為基波頻率；[Δf]為頻率偏移。采樣信號可以表示為：

[x=2Xejφ（1）sinπΔff0NsinπΔfNf0（2）e-j（2φ+2π（N-1）（f+Δf）Nf0）（3）×1+sinπΔfNf0sinπ（2f0+Δf）Nf0e-j2φ+2π（N-1）（f+Δf）Nf0（4）] （2）

由式（2）可以看出，在同步采樣條件下，[Δf=0，]采樣頻率[fs=Nf0，]式（2）可化簡為[x=2Xejφ。]由以上理論分析可見，同步采樣下，計算結果與輸入信號一致。然而當進行非同步采樣時，第一部分是原始的幅值和相位；第二部分和第三部分分別表示當頻率偏離標稱值時，所產生的幅值和相位誤差；第四部分為幅值和相角的旋轉偏移量，與頻率偏移[Δf]和初相[φ]有關[8]。通過以上分析可以看出傳統的DFT在非同步采樣下所產生的誤差較大。

1.2 EDFT

為解決傳統傅里葉變換算法由于頻率變化而引起的頻譜泄露和柵欄效應的問題，EDFT需對同步采樣沒有特殊要求，以傅里葉積分變換為目標，在擴展的頻率范圍內優化變換基將原始數據通過迭代近似擬合[9]。此外，該算法還可以增加頻率分辨率，穩定性更高。

對連續時間信號[x（t）]進行傅里葉變換和逆變換：

[F（ω）=-∞∞x（t）e-jωtdt] （3）

[x（t）=12π-∞∞F（ω）ejωtdω] （4）

然而，實際的數值模擬還是在有限空間，即[-Θ2

EDFT的基本形式為：

[Fα（ω）=-Θ2Θ2x（t）α（ω，t）dt] （5）

同步采樣條件下，EDFT計算式為：

[Fα（ω）=k=0K-1x（kT）α（ω，kT）] （6）

非同步采樣條件下，EDFT計算式為：

[Fα（ω）=k=0K-1x（tk）α（ω，tk）] （7）

擴展傅里葉逆變換計算式：

[xα（t）=12π-ΩΩFα（ω）ejωtdω] （8）

用變換基[α（ω，t），α（ω，tk），α（ω，kT）]代替傳統傅里葉變換的基[e-jωt]，為了使[F（ω）]與[Fα（ω）]接近，需構造函數：

[F（ω）-Fα（ω）2→min] （9）

然而，對于帶限信號[F（ω）]直接求取是困難的，為使式（9）成立必須找一個表達式來替代，考慮在無限的時間間隔里用圓頻率[ω0]和幅值譜[S（ω0）]來表示[x（t）]。

[F（ω）=-∞∞x（ω0，t）e-jωtdt=-∞∞S（ω0）ejω0te-jωtdt=2πS（ω0）δ（ω-ω0）] （10）

顯然式（10）是在信號[x（t）]的幅值譜已知的情況下才成立的，因此，經過替換的目標函數為：

[Δ=-ΩΩ2πS（ω0）δ（ω-ω0）-Θ2Θ2S（ω0）ejω0tα（ω，t）dt2dω0] （11）

同步采樣和非同步采樣下的EDFT的目標函數就是將式（11）中的[Fα（ω）]用式（6）和式（7）替換并且用[ω0]和[S（ω0）]來表示[x（tk）]和[x（kT）]。要使目標函數最小即可得出信號[x（t）]下的[α（ω，t），][α（ω，kT），][α（ω，tk）]等。為了確定[S（ω0）]與時間序列[x（t），][x（tk）]和[x（kT）]對應的幅值譜[Sα（ω）]，當[Δ=0，ω=ω0]時，定義[Sα（ω）]為：

[Sα（ω）=-Θ2Θ2x（t）α（ω，t）dt-Θ2Θ2ejωtα（ω，t）dt] （12）

同理，同步采樣和非同步采樣條件下的幅值譜與式（12）類似。

2 EDFT的實現

EDFT對輸入序列[X]進行[N]點的傅里葉變換，當[N]大于輸入序列的長度時，會自動擴展輸入序列至[N。]FFT通過補零的方式達到數據[N，]但補零并不會影響頻率分辨率[10]。而EDFT主要基于現有數據和擴展頻率來進行計算，頻率分辨率得以提高。該方法可以用于連續頻率和離散頻率，在連續頻率下的計算如下所示：

[Fα（ω）=S（ω）2XR-1Eω，-Ω≤ω≤Ω] （13）

[xα（t）=XR-1Et，-∞

[Sα（ω）=XR-1EωEHωR-1Eω] （15）

當然，EDFT在離散頻率[-Ω<ωn<Ω]（其中[n=0，1，2，…，N-1]）下也能實現，EDFT迭代過程主要為：

第一步：設定功率譜向量的初始值為[W0=][[1，1，…，1]1×N]；

第二步：根據[W0]的初始值來確定自相關矩陣[R1；]

第三步：計算傅里葉變換[F1]、離散幅值譜[S1]、功率譜[W1，]為下一次迭代做準備。當迭代最大次數[I]達到或功率譜變化率小于所給定的閾值時迭代將會終止。

[Ri=E?diagWiN?EH] （16）

[Fi=XRi-1EWi] （17）

[Si=XRi-1E.I1×ME*.×（Ri-1E）] （18）

[Wi+1=Si.×Si*] （19）

[δp=sum（Wi）-sum（Wi-1）sum（Wi）] （20）

式中：{·}?1代表矩陣求逆；{·}H表示矩陣的共軛裝置；[·×]代表元素間相乘；[sum（Wi）]代表所有行向量元素的和；[I1×M]代表[1×M]階的所有元素為1的行向量；[I]乘以一個矩陣可以將矩陣的每行元素添加到一個行向量。

經過以上迭代過程進行近似擬合，迭代次數[i=1，2，…，I]（[I]是迭代的最大次數），其中矩陣[R]為相關矩陣，[W]為功率譜向量，[X]是同步采樣下的[x（kT）]和非同步采樣下的[x（tk）]，[E]包含元素[e-j2πfnkT]和[e-j2πfntk。][Fi]為第[i]次迭代所得的傅里葉變換結果，[Si]為第[i]次迭代所得的幅值譜結果，將其進行坐標變換即可獲得所需的幅值和相角。算法的流程如圖1所示。

3 算法驗證

3.1 仿真算例

為了驗證理論分析的正確性，對同步和非同步采樣條件下的EDFT進行驗證。信號的原始頻譜包括3個非重疊頻域分量：在頻率范圍-0.5～-0.25內平坦的帶限噪聲，0～0.25間的矩形脈沖和在頻率為0.35和0.412 5上有兩個單位的功率復合指數。

對原始信號進行同步采樣和非同步采樣，同步采樣的時間間隔是1 s，非同步采樣的平均時間間隔是1 s，[tk=kT+τk，k=0，1，2，…，K-1]。其中[τk]是在0～0.8間均勻分布的隨機值，采樣點數選擇[N=500，]上限頻率[fu=0.5]Hz，分別對原始頻譜進行傳統的DFT變換和EDFT變換，并將兩種方法的功率譜和相對分辨率的結果進行對比。圖2，圖3分別是擴展頻率范圍內同步采樣和非同步采樣條件下經DFT和EDFT后所得的功率譜[10?lgS2]計算結果。

對比圖2（a）和圖3（a）可得，非同步采樣下傳統DFT的誤差較大，所得結果與式（2）分析相一致。然而由圖2（b），圖3（b）可看出EDFT在同步采樣和非同步采樣條件下誤差都較小，與原始頻譜接近，由此可以得出EDFT適用于高精度的測量中。諧波檢測需要考慮的另一個因素是相對頻率分辨率，傳統DFT和EDFT的相對頻率分辨率對比如圖4所示。

由圖4可看出傳統的DFT算法由[1（2fuTs）]計算出的相對頻率分辨率函數值為常數1，如實線所示，頻率為0.35 Hz的時頻率分辨率達到最大值（最大值為[NK≈8]），而在頻率為0.412 5 Hz時沒有達到最大值，因為頻率間隔[2fuN=0.002]Hz，0.412 5 Hz在兩個頻率間隔的中間，頻率分辨率達不到最大值。從圖4中所示的結果可以看出傳統DFT和EDFT算法性能上的差異，利用傳統的DFT方法由于頻譜泄漏的影響，不能準確分辨0.35 Hz和0.412 5 Hz的頻率，而EDFT能準確分辨這兩個頻率點，充分體現了本文算法具有的超高頻率分辨率特性。

為了驗證在噪聲存在條件下EDFT依然能有較高的精度，本文將幅值為0.5，1，2.5，3.5，初始相位任意的4個正弦信號和信噪比為15 dB的高斯噪聲作為原始數據，在非同步采樣條件下分別進行傳統DFT變換和EDFT變換，所得結果如圖5和圖6所示。其中，圖5（a）所示的是原始數據，圖5（b）圈代表原始數據的幅值，點線、實線分別是DFT變換和EDFT變換所得的結果。圖6（a）是DFT和EDFT在噪聲存在情況下進行非同步采樣相對頻率分辨率高低的對比，圖6（b）是將原始的時域數據與逆EDFT變換所得結果進行對比。

從圖5（b）可以看出，傳統DFT不能識別出弱小的信號，而EDFT能準確地識別出各種信號，并且能對幅值進行精確的估計。圖6（a）中傳統DFT的頻率分辨率[1（2fuTs）=KN=0.064，]其值遠小于信號處理的需要，將會導致頻譜泄露和柵欄效應；而EDFT的頻率分辨率通過式[12fuTsKF.S=1NF.S]計算所得，增加了[NK]倍，由圖中點線可以看出最大值接近1。從圖6（b）中可以看出擴展逆DFT用于輸出長度為[N]的序列，其中包括[K]點的原始數據和[N-K]點插值序列。

3.2 實例分析

為了觀察非線性負載對電壓的影響，將某可監測電壓的裝置接入220/380 V電壓等級的測試點，負載主要包括功率為3 kW的三相交流電機和24 kW焊接爐。實驗所得電壓波形如圖7所示，取實測電壓數據中間有諧波的數據進行EDFT和傳統DFT分析，結果如圖8所示。

從圖8中可以清晰地看出，電網中的頻率成分主要為50 Hz，DFT和EDFT都能準確地檢測出基波和高次諧波（200 Hz），但是傳統DFT由于頻譜泄露和混疊，頻譜很容易受附近頻率成分的干擾，并不能檢測出間諧波。而EDFT還可以檢測出頻率為25 Hz（幅值150.02 V），87.5 Hz（幅值78.33 V）、112.5 Hz（幅值73.58 V）和162 Hz（幅值69.35 V）的間諧波。由此可看出EDFT有較高的頻率分辨率。

4 結 語

本文針對傳統DFT算法在非同步采樣下，影響到電能質量測量結果的精確性，將EDFT方法應用于諧波檢測中。實驗結果表明，在非同步采樣和噪聲存在的條件下，EDFT方法相比DFT方法有較高的頻率分辨率和較強的抗干擾特性，為諧波檢測提供了新方法。endprint

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