壁面約束對裙帶氣泡動力學的影響1)

張 洋 陳 科 ,2) 尤云祥 任 偉

?(上海交通大學海洋工程國家重點實驗室，上海200240)

?(高新船舶與深海開發裝備協同創新中心，上海200240)

??(上海衛星工程研究所，上海200240)

壁面約束對裙帶氣泡動力學的影響1)

張 洋?,?陳 科?,?,2)尤云祥?,?任 偉??

?(上海交通大學海洋工程國家重點實驗室，上海200240)

?(高新船舶與深海開發裝備協同創新中心，上海200240)

??(上海衛星工程研究所，上海200240)

基于流體體積法(volume of fl uid,VOF)，數值模擬了裝滿黏性液體的圓柱形汽缸中的裙帶氣泡的浮升運動，研究了側壁面約束對裙帶氣泡浮升動力學的影響.用雷諾數(Re)、韋伯數(We)、長寬比(χ)、裙帶厚度(T/d)和裙帶長度(L/d)等參數來表征不同約束比條件下(1.1≤Cr≤10)裙帶氣泡的運動和變形特性，分別在全局參考系和局部參考系下分析了壁面對氣泡內外流場的影響.模擬結果顯示，當Cr≥8時，裙帶氣泡的行為特性與在無界流域條件下的情況相當，可視作壁面無關的.當Cr＜8時，壁面對裙帶氣泡的浮升速度和形狀演化有顯著影響.隨著壁面的靠近，裙帶氣泡受到的阻力增大，造成浮升速度下降.約束比降低使裙帶厚度增厚而長度變短直至裙帶消失，裙帶氣泡受擠壓而被拉長并逐漸變為橢圓球帽形最后到子彈形.相反，約束比增大時，裙帶氣泡尾流效應增強，氣泡邊緣處流場產生明顯的循環流動(渦環)，促使裙帶的形成.研究表明壁面會加劇裙帶氣泡產生破碎，印證了前人的推斷.模擬結果與已有的經驗公式吻合良好，分析了前人公式的適用性.

裙帶氣泡，氣泡動力學，壁面約束，流體體積法

引言

在氣泡動力學領域，“裙帶”(skirt)指在液體中球帽形狀氣泡尾部的薄片狀流體結構.裙帶的形成增大了氣泡的表面積，即增大了兩相的交界面積.相間接觸面積增大會增強多相流系統中的相間傳熱傳質，所以裙帶氣泡受到了工程師和科學家的特別關注.

根據Bhaga等[1]和Tripathi等[2]的研究可知，裙帶氣泡出現在艾特華數(Eo)較大而伽利略數(Ga)較小的情況下，雷諾數(Re)一般為10或100的量級.Bhaga等[1]將裙帶氣泡細分兩個子類：sks模式和skw模式.sks氣泡具有一個光滑的穩定裙帶，裙帶厚度、長度保持穩定；而skw裙帶氣泡由于尾流波動始終很不穩定，氣泡裙帶可能會脫離氣泡,出現氣泡破碎現象.

Thomson等[3]在觀察黏性液體中下落液滴產生的渦環的實驗中首先發現了裙帶現象.該研究表明，對于小表面張力的情況，氣泡存在出現裙帶的臨界尺寸.Shoemaker等[4]通過實驗發現Marangoni效應并非產生裙帶的原因.Wegener等[5]認為，黏性力拖拽氣泡底部的邊緣部分，破壞了球帽形氣泡表面張力的平衡而產生了裙帶.然而，該解釋并未考慮慣性的影響.Wairegi[6]認為裙帶存在法向應力來平衡裙帶末端過大的表面張力，這樣才能保持一定的裙帶長度.該觀點為大多數研究者所認同[79].

大量實驗表明裙帶的產生需要以連續相液體的黏性足夠大為前提[8,1011]，這也是現有的裙帶理論的基礎.Davenport等[10]研究發現只有當液體黏度滿足 μl＞ 0.2Pa·s時才會產生裙帶.Wegener等[11]基于勢流理論推導了裙帶產生的氣泡臨界速度，并指出這個臨界浮升速度隨著液體黏性的增強而下降.Hnat等[8]進一步發現形成裙帶的最小氣泡浮升速度與σ/μl(σ為表面張力)成正比.

裙帶盡管會限制尾流的發展，但只能包裹氣泡環狀尾流的一部分，而且裙帶的末端位置在垂向上必定低于尾流的最大寬度的位置[8].Bhaga等[1]通過實驗發現氣泡尾流中的循環流動會隨著裙帶現象的出現而減弱，而且裙帶的產生會使得氣泡變寬.Shoemaker等[4]則認為裙帶的產生與尾渦現象有關.

裙帶厚度很薄，一般為27～55μm[12].Guthrie等[12]認為裙帶氣泡內外兩側液體流速并不相同，推斷形成裙帶的內在機制與Kelvin-Helmholtz不穩定性類似[8,13].Wegener等[11]認為，裙帶的形成是由于在氣泡邊緣曲率特別大的地方，表面張力不足以平衡由于連續相流動造成的局部低壓.而由于裙帶厚度特別薄，低壓達到一定程度后會引起裙帶破碎.Guthrie等[12]以氣液流體特性以及裙帶氣泡尺寸為變量，假設裙帶內流動是平行的，并在豎直方向上充分發展，提出了第一個計算裙帶厚度的理論模型.此后，研究者陸續提出了許多新的模型[67,9]，但這些模型的結果與實驗結果相比仍有較大差距.此外，氣泡實驗條件要求非常苛刻，因此對于裙帶氣泡動力學的研究逐漸轉向采用數值方法.

Ohta等[14]采用計算流體動力學 (CFD)方法檢測了裙帶氣泡動力學對密度比和黏度比的敏感性.該研究表明，裙帶厚度隨密度比的增大而增大，而黏度比對裙帶厚度的影響取決于密度比的大小.此外，Ohta等還發現裙帶的形成與否對氣泡浮升速度幾乎無影響.Sulaiman等[15]基于直接數值模擬分析了裙帶氣泡的流場細節，證實了Wairegi[6]和Guthrie等[12]的假設，即裙帶內的流動是平行的.裙帶內側的液體流速遠低于裙帶外側的液體流速，該模擬還表明裙帶外側的液體流速與氣泡浮升速度的不同導致了裙帶厚度在長度方向上的減小，這與Ray[9]的理論分析吻合.因此，裙帶破碎與否取決于氣泡的外部流速，Wegener等[11]進而推測壁面的存在可能會使這種效應增強，但這個推測尚未得到證實.

在實際中，氣泡流多存在于空間受限的條件下，例如地下油氣儲運系統中的多相流流動和人體血管中的氣體栓塞等.遺憾的是，已有的關于裙帶氣泡動力學的研究均是在無界條件下考慮的.另一方面，現有的對于壁面約束的研究主要針對球形、球帽形等模式的氣泡[1618]或者平板壁面對于氣泡的影響[1925]，這些研究表明邊界壁面約束對氣泡形態變化和運動具有重要影響.因此，可以預期，壁面約束會對裙帶氣泡動力學產生重要影響.有鑒于此，本工作將采用流體體積法(VOF)，研究側邊界為無滑移壁面條件的充滿黏性液體的豎直圓柱形汽缸內裙帶氣泡的浮升運動，以期認識壁面約束對裙帶氣泡行為特性的影響并驗證Wegener等[11]對于壁面效應可增強裙帶氣泡破碎的推測.

1 問題陳述

本文考慮充滿液體的圓柱形汽缸內的軸對稱浮力氣泡，圖1給出了示意圖.

圖1 計算系統示意圖Fig.1 Sketch of the computational system

1.1 控制方程

針對氣液兩相流問題，假設流體等熱不可壓不相融，控制方程可寫成如下的無量綱形式[2]

式中所有量均為無量綱量，u是速度矢量，ρ是密度，t是時間，p是壓力，μ是動力黏度，g是重力加速度，δ是狄拉克分布函數，n是相間表面的法向單位向量，γ是體積分數，下標l和g分別表征液體和氣體，密度比 η= ρl/ρg，黏度比 λ= μl/μg.Ga和 Eo分別為

其中，d是氣泡的等效直徑，σ是表面張力系數.

1.2 初邊條件

模擬中，計算域高度固定，通過改變汽缸直徑Dc來研究約束比Cr(=Dc/d)對氣泡動力學的影響.為保證氣泡在到達上邊界之前達到其終態并減小底部邊界對氣泡演化的影響，計算域高度和氣泡初始位置分別取Hc=10d和h=2d.

初始時刻，氣泡以球形在靜止流場中釋放.初始條件為

本文采用軸對稱模擬，軸邊界上采用軸對稱條件，底部為無滑移壁面，頂部為壓力出口條件.由于要研究側壁面的影響，所以計算域的側邊界采用無滑移不可穿透條件.綜上，邊界條件表示為

其中Rc=Dc/2，u和v分別為速度的軸向和徑向分量.

1.3 數值方法

本文采用 VOF[26]來模擬氣泡流問題.采用具有一階時間精度的基于壓力分離的求解器進行計算.網格為均勻的非交錯網格，所有變量在單元中心進行計算.體積分數輸運方程采用顯式 PLIC方法[27]求解，連續性方程和動量方程采用有限體積法離散[2831]，壓力項和動量項的離散分別采用PRESTO和QUICK格式.為到達快速收斂而同時保證求解瞬態問題的精度和穩定性，壓力速度的耦合采用PISO算法.

2 結果與討論

本章將詳細討論充滿黏性液體的圓柱體容器內壁面在約束比Cr∈[1.1,10]時對孤立裙帶氣泡的速度、形狀等特性的影響.本文中，我們只討論Bhaga等[1]定義的sks氣泡，即帶有光滑穩定尾流場的裙帶氣泡.氣泡控制參數Eo=339,Ga=30.83.因此，對于本研究而言，參照文獻[14,16,18]采用氣泡軸對稱假設是合理的.η和λ分別固定取1000和100，對應于水中氣泡浮升的情況.

2.1 數值方法驗證

本節旨在檢驗計算模型、算法的可靠性及準確性.首先，進行壁面無關性研究和收斂性研究，確定壁面對氣泡浮升運動的影響可以忽略時的最小約束比以及到達收斂的網格；然后，基于選擇的網格模擬其他形狀氣泡的上升運動，并將數值結果與前人實驗結果比對.

表 1給出了不同壁面條件下的雷諾數 (Re=Utd/ν)，這里 Ut是氣泡的終態浮升速度，ν是液體運動黏度.顯然，當Cr≤6時，壁面的存在明顯改變了氣泡的雷諾數.當Cr≥8時，計算所得裙帶氣泡雷諾數與開放液體域中的實驗值(18.3)[1]接近，此時側壁面對氣泡浮升速度的影響可以忽略.而通過對比算例2～4可以發現不同網格密度d/dx的結果之間差異微小，說明d/dx=60時網格到達收斂.因此，本文選擇網格密度為d/dx=60的網格進行后續的模擬，即每個氣泡直徑上取60個網格點，軸向和徑向上網格密度相同.此外，基于時間步收斂性測試，計算中無量綱時間步固定取?t=5×10?4.

表1 不同Cr時的雷諾數Table 1 Values of Re for various Cr

圖2對比了不同約束比條件下0≤t≤8時段內氣泡的演化過程(時間間隔為2).如圖2顯示，當Cr≥6時氣泡瞬時形狀包括裙帶形狀基本相同，唯一的差別在t=8時刻的氣泡位置，Cr=6的位置稍低于Cr≥8時的位置，這與表1中的結果相對應.Cr≤4時不論是氣泡位置還是形狀都與更大約束比時有明顯差別.因此，綜合圖2和表1認為，當Cr≥8時，側壁對氣泡的影響可忽略不計.

圖2 不同約束比下的氣泡的衍化過程Fig.2 Bubble shape evolution for various Cr

接下來模擬兩組不同參數條件下的氣泡在無界流體中浮升的情況.圖3分別將計算得到的雷諾數(Re)和形狀與Bhaga等[1]的實驗值(Re?)和觀測到的形狀進行了比較.本文結果與實驗結果吻合良好，說明本文模擬可準確預測泡液兩相流問題.

圖3 氣泡形狀的比較Fig.3 Comparison of terminal bubble shapes

2.2 氣泡形狀

氣泡在液體中釋放之后，氣泡由于浮力會迅速上浮，其上下表面的壓差使得氣泡底部產生向上的射流，射流會壓迫氣泡下表面產生變形.液體射流初期會產生強烈的加速，氣泡底部表面會漸漸變得更彎曲即曲率增大.曲率增大使得表面張力增大，同時黏性阻力也會增大，黏性阻力連同表面張力都會阻礙射流的發展.因此，氣泡經過初期加速后逐漸減速，最終慣性力、黏性力、表面張力之間達到平衡.到達平衡后，氣泡會保持穩定的形狀和速度.然而，對于圓柱形汽缸中的氣泡而言，壁面的影響使得氣泡形狀不同于開放邊界的情況.

圖4比較了不同約束比時裙帶氣泡的終態形狀.顯然，Cr≥2時，氣泡有顯著的裙帶.從Cr=6到Cr=2主要的區別體現在裙帶會逐漸內收，裙帶末端的直徑(徑向寬度)明顯減小.Cr=2時，Re=12.7，We=57.5(見圖 5)，這跟在無界流體中的情況相似，作用在氣泡邊緣的黏性力強于表面張力，因而形成了明顯的裙帶.當約束比降低至Cr=1.5時，Re=10.4，We=38.2，慣性力減弱，氣泡尾部產生了一個凹槽(酒窩)，氣泡呈橢圓球帽形.這是由強度減弱的液體射流(相比于Cr=2的情況)與壁面的共同作用造成的.然而，此時的橢圓球帽形氣泡的長軸并非水平軸，而是豎直軸，這與Bhaga等[1]定義的橢圓球帽形氣泡有所不同.隨著Cr進一步減小，氣泡受壁面與氣泡間液體的擠壓在徑向上尺度變小，而在軸向上被拉長.特別注意的是，當Cr=1.2時，Re=8.32，We=24.7，發生了輕微的氣泡破碎，氣泡尾部脫落了一個小的環狀氣泡.當Cr=1.1時，氣泡破碎程度更強，產生了兩個脫落氣泡.這證明了Wegener等[11]的推斷，即壁面對破碎有促進作用.氣泡的裙帶曲率會隨著Cr的減小而急劇增大，當Cr降低到達一定臨界值時，裙帶已經不能夠平衡外部液體流場的局部壓力，裙帶末端開始出現脫落，即氣泡產生破碎.當Cr進一步降低，破碎程度也進一步加劇.

圖4 不同約束比下的氣泡終態形狀Fig.4 Terminal bubble shapes for various Cr

圖5 不同Cr時的Re和WeFig.5 Results of Re and We for various Cr

為了量化氣泡的變形，本文采用長寬比 χ(=W/H，W為氣泡寬度，H為氣泡在軸線上的高度)來描述氣泡的形狀特征.如圖6所示，任何工況下，χ都會在經歷一定的變化后趨于穩定，穩定所需的時間大體上隨著Cr的減小而變短.換言之，小約束比時，氣泡更早進入終態.圖6中Cr=6和Cr=8的結果基本重合，這與圖2的結果對應.當Cr≤6后，Cr減小會明顯降低χ.由圖5可知，在任何約束比情況下，表面張力和黏性力都低于慣性力(We＞1,Re＞1)，慣性力是裙帶氣泡主要支配力.氣泡隨著壁面的靠近，法向應力引起氣泡變形程度增大.當Cr＜1.5時，χ＜1，氣泡在軸向上被明顯拉長而不再呈現裙帶形狀或者橢圓球帽形.此時如圖4所示，氣泡呈細長的子彈形，但尾部仍呈現明顯的酒窩形狀.

圖6 長寬比的時歷曲線Fig.6 Instantaneous aspect ratios for various Cr

裙帶是裙帶氣泡的主要形狀特征，而長寬比不能表征裙帶的變化.為此，本文用無量綱的裙帶長度(L/d)和裙帶厚度(T/d)來定量地討論裙帶的特征.裙帶長度取裙帶最底端到氣泡在軸線上最低端的軸向距離.裙帶厚度的定義參照Ohat等[14]的方法，即在徑向上的裙帶氣泡最寬的位置上取裙帶的徑向寬度.不同Cr下的裙帶參數在圖7中給出.因為Cr＜2時氣泡并未形成裙帶，所以圖7僅給出2≤Cr≤8的結果.首先，裙帶厚度隨Cr降低而增厚，而裙帶長度隨Cr降低而變短.也即是說，隨著壁面的靠近，裙帶長度不斷變短但厚度漸漸增厚，這是由于壁面與氣泡的間隙的流動壓迫裙帶特別是末端往軸線靠近而造成的，進一步的解釋將在后文流場分析中給出.其次，長度和厚度的變化程度都隨著Cr的減小而增大.此外，相較而言，壁面對于裙帶長度的影響較裙帶厚度更明顯.

圖7 不同Cr時的裙帶長度和厚度Fig.7 Skirt length and thickness for various Cr

2.3 浮升速度

為分析氣泡從釋放后到進入穩定(終態)之前的瞬態過程，圖8給出了不同約束比的氣泡相對浮升速度(U/Ut)的時歷曲線.從圖8可見，雖然速度穩定之前的其變化趨勢隨著Cr的減小有明顯不同，但進入相對穩態的時間大致相同τ≈4)，這與圖6中長寬比的時變特性并不一致.也就是說，氣泡速度進入穩定之后還需要一段時間才能保持形狀的穩定，而后氣泡才能完全進入終態.當Cr≥2時，U/Ut變化趨勢大體相似，即氣泡釋放后進入一個短暫而迅速的加速上升運動，U/Ut到達峰值后會漸漸衰減，衰減過程中伴有一定的振蕩.大體上，這個振蕩過程至少出現兩次波峰.而當Cr＜2時，氣泡釋放之初的加速度明顯更小，但加速過程更長，且速度達到峰值與穩定后的值相差不大，速度波動很小，所以進入終態的時間仍與Cr≥2時大致相當.

圖8 相對浮升速度時歷曲線Fig.8 Time histories of relative rising velocities

聯合圖4與圖8，發現氣泡未出現裙帶現象時U/Ut的振蕩剛好較小.因此，我們認為氣泡到達穩定速度之前的振蕩衰減可能是由于氣泡在大約束比時(Cr≥2)形成裙帶而造成的.

圖 9展示了 Cr的變化對無量綱速度參數(Ut/Ut∞)的影響，這里Ut∞為無界條件下的氣泡終態浮升速度.當Cr為4和3時，壁面對裙帶氣泡速度的影響尚比較小，裙帶氣泡的終速度大致為無界液體情況下的92%和85%，氣泡的長寬比χ仍在3附近(見圖6).隨著Cr進一步降低，氣泡形狀變得更加細長，速度顯著下降.當Cr為1.2和1.1時，Ut/Ut∞僅為46%和42%.我們將數值結果與Clift等[32]的公式 (Ut/Ut∞=1.13e?1/Cr)的解進行了對比，結果吻合很好，說明該公式能夠準確預測壁面對裙帶氣泡浮升速度的影響.圖9還給出了Mukundakrishnan等[16]對于球形(s)、橢圓形(e)、帶酒窩的橢圓帽形(dec)、球帽形(sc)、球帽裙帶過渡形(isck)5種模式的氣泡的研究結果.對比這6種氣泡的結果發現，不同模式氣泡的速度受壁面影響的趨勢相似，但對約束比的敏感程度有明顯區別.相較而言，裙帶氣泡對壁面的敏感性要遠低于其他5種氣泡.另外5種模式的氣泡結果與文獻[32]公式的解差異較大，且誤差會隨著Cr的減小進一步加大.換言之，文獻[32]公式適用于裙帶氣泡在限制流體域的速度預測，但并不適用于其他5種氣泡的情況(特別是Cr很小時).

圖9 壁面約束對終速度的影響Fig.9 Con fi nement e ff ect on the terminal velocity

2.4 流場分析

前面的分析已經說明Cr變小會降低氣泡速度并顯著影響氣泡變形.本節將詳細分析壁面約束影響下的流場特性，以進一步了解壁面的影響.

圖10給出了小約束比時(Cr≤3)氣泡到達終態后的速度矢量圖和流線圖，分別在全局參考系下(矢量圖)和氣泡中心參考系下(流線圖)展示流動特性.隨著壁面的靠近，氣泡在軸向上不斷拉長而在徑向上不斷壓縮，氣泡由裙帶形狀轉變為橢圓球帽形最終變為細長的子彈形，但氣泡尾部的裙帶形狀漸漸微弱.對比速度矢量圖可見，隨著Cr減小，壁面更靠近氣泡表面，液體流動受到更強的阻塞.當氣泡具有裙帶時(Cr≤3)，在氣泡外側邊緣處的流場中存在明顯的渦環，渦環位置隨著Cr的降低而降低，所以氣泡中的氣體更多地從氣泡的主體流向裙帶.這可以解釋圖7中裙帶厚度隨Cr降低而增大的現象.而當裙帶消失后，流場中渦環也逐漸消失.這是由于Cr減小，氣泡上升誘導的射流強度也明顯減弱.氣泡尾流效應減弱，流場中的循環流動逐漸減弱，這與Bhaga等[1]在實驗中觀測到的趨勢相同.同時，在Cr＜1.5時，流場中的循環運動流動基本消失.

圖10 速度矢量圖與流線圖Fig.10 Velocity vectors and the streamlines

由局部參考系下的流線圖可知，當Cr≤1.5時，由于液體相對于氣泡表面的滑移運動，氣泡內部產生了類似于Hill球渦[33]的漩渦裹挾著泡內氣體.然而，這種內部渦并未在Cr≥2時出現，這是由于Cr≥2時氣泡邊緣的裙帶尺寸較大阻礙了旋渦的產生.

特別地，在Cr≤1.2時，盡管出現了氣泡破碎現象，但由于衛星氣泡尺寸太小，所以衛星氣泡并未對流場產生明顯影響.此外，在所有的Cr條件下，氣泡內外均未出現流動分離的現象.

由圖5知Re會Cr降低而下降，這是由于阻力增大而浮升速度減小造成的.圖11給出了氣泡阻力系數Cd與Cr的關系曲線.阻力系數的計算遵循Dijkhuizen等[34]和Balc′azar等[35]的做法，即取

由對圖10的分析可知，隨著Cr的降低，汽缸內液體流動的阻塞率增大，液體對氣泡產生的阻礙作用增強，氣泡阻力系數增大.阻力系數增大的趨勢在Cr減小到2以下后尤為劇烈.

圖11 壁面約束對阻力系數的影響Fig.11 Con fi nement e ff ect on the drag coefficient Cd

3 結論

本文基于VOF多相流方法模擬了裙帶氣泡在充滿黏性液體的圓柱形汽缸中的浮升運動，研究了壁面約束對裙帶氣泡特性的影響.

研究表明，壁面約束是影響裙帶形成的重要因素，壁面靠近增大了裙帶氣泡的阻力系數，降低了裙帶氣泡浮升速度.在2≤Cr≤8范圍內，改變約束比Cr對裙帶長度和裙帶厚度產生相反的影響，裙帶長度隨Cr降低而變短，裙帶厚度隨Cr降低而變厚.此外，相比于裙帶厚度，裙帶長度對約束比的變化更為敏感.

當Cr≥8時，壁面對裙帶氣泡特性的影響可以不計，近似于無界流體域的情況.當Cr≤6時，壁面效應會非常顯著.壁面的靠近會削弱裙帶氣泡的尾流效應，氣泡邊緣的循環流動隨著壁面的靠近而逐漸減弱直至消失.當Cr≤1.5時，氣泡會引起汽缸內液體流動受阻，氣泡也不再形成裙帶，使得氣泡內產生渦結構.當Cr≤1.2時，氣泡會產生局部破碎脫落出很小的氣泡，而且氣泡破碎現象會隨著Cr的減小而更加強烈，從而證實了Wegener等[11]關于壁面會促進裙帶氣泡產生破碎的推斷.

此外，通過與前人研究的對比發現，Clift等[32]的公式(Ut/Ut∞=1.13e?1/Cr)適用于裙帶氣泡在壁面約束條件下(1.1≤Cr≤8)的浮升速度的預測.但是，該公式不適用于其他氣泡模式的情況.

1 Bhaga D,Weber ME.Bubbles in viscous liquids:shapes,wakes and velocities.J Fluid Mech,1981,105:61

2 Tripathi MK,Sahu KC,Govindarajan R.Dynamics of an initially spherical bubble rising in quiescent liquid.Nat Commun,2015,6:6268

3 Thomson JJ,Newall HF.On the formation of vortex rings by drops falling into liquids,and some allied phenomena.Proc.R.Soc.Lond,1885.39:417-436

4 Shoemaker PD,De Chazal LEM.Dimpled and skirted liquid drops moving through viscous liquid media.Chem Eng Sci,1969,24(4):795-797

5 Wegener PP,Sundel RE,Parlange JY.Spherical cap bubbles rising in liquids.Z Flugwiss,1971,19(8):374

6 Wairegi T.The mechanics of large bubbles and drops moving through extended liquid media.[PhD Thesis].Montreal:McGill University,1974

7 Bhaga D.Bubbles in viscous liquids:shapes,wakes and velocities.[PhD Thesis].Montreal:McGill University,1976

8 Hnat JG,Buckmaster JD.Spherical cap bubbles and skirt formation.Phys Fluids,1976,19(19):182-194

9 Ray B,Prosperetti A.On skirted drops in an immiscible liquid.Chem Eng Sci,2014,108:213-222

10 Davenport WG Richardson FD,Bradshaw AV.Spherical cap bubbles in low density liquids.Chem Eng Sci,1967,22(9):1221-135

11 Wegener PP,Parlange JY.Spherical-cap bubbles.Annu Rev Fluid Mech,1973,5(4):79-100

12 Guthrie RIL,Bradshaw AV.The stability of gas envelopes trailed behind large spherical cap bubbles rising through viscous liquids.Chem Eng Sci,1969,24(5):913-917

13 Lezzi AM,Prosperetti A.The stability of an air fi lm in a liquid fl ow.J Fluid Mech,1991,226(226):319

14 Ohta M,Sussman M.The buoyancy-driven motion of a single skirted bubble or drop rising through a viscous liquid.Phys Fluids,2012,24(11):112101

15 Sulaiman M,Legendre D.Looking under the skirt of a bubble//Poceedings of the IUTAM Symposium on Bubbly Flows Oaxaca,Mexico,F,2015

16 Mukundakrishnan K,QuanS,Eckmann DM,et al.Numerical study of wall e ff ects on buoyant gas-bubble rise in a liquid- fi lled fi nite cylinder.Phys Rev E,2007,76(2):036308

17 Kumar P,Vanka SP.E ff ects of con fi nement on bubble dynamics in a square duct.Int J Multiphas Flow,2015,77:32-47

18 Rahmat A,To fi ghi N,Yildiz M.The combined e ff ect of electric forces and con fi nement ratio on the bubble rising.Int J Heat Fluid Fl,2017,65:352-362

19李帥,張阿漫.上浮氣泡在壁面處的彈跳特性研究.物理學報,2014,63(5):054705(Li Shuai,Zhang Aman.Study on a rising bubble bouncing near a rigid boundary.Acta Phys Sin,2014,63(5):054705(in Chinese))

20 Zhang AM,Li S,Cui J.Study on splitting of a toroidal bubble near a rigid boundary.Phys Fluids,2015,27(6):062102

21 Liu LT,Yao XL,Zhang AM,et al.Numerical analysis of the jet stage of bubble near a solid wall using a front tracking method.Phys Fluids,2017,29(1):012105

22邱超,張會臣.單個上升空泡撞擊頂部壁面的變形和回彈特性研究.機械工程學報,2014,50(9):191-196(Qiu Chao,Zhang Huichen.Deformation and rebound characteristics of single rising bubble impacting against top wall.Journal of Mechanical Engineering,2014,50(9):191-196(in Chinese))

23李維仲,張曉紅,董波等.單氣泡沿傾斜絕熱表面運動特性的LBM方法研究.化工學報,2013,64(11):3940-3948(Li Weizhong,Zhang Xiaohong,Dong Bo,et al.Lattice Boltzmann simulation of moving characteristics of a single bubble rising along inclined adiabatic surface.CIESC Journal,2013,64(11):3940-3948(in Chinese))

24劉云龍,汪玉,張阿漫.有傾角的豎直壁面附近氣泡與自由面相互作用研究.物理學報,2013,62(21):214703(Liu Yunlong,Wang Yu,Zhang Aman.The interaction between bubble and free surface near vertical wall with inclination.Acta Phys Sin,2013,62(21):214703(in Chinese))

25鞠花,陳剛,李國棟等.靜水中上升氣泡沿傾斜壁面的運動特性試驗研究.水動力學研究與進展,2011,26(3):327-332(JuHua,Chen Gang,Li Guodong,et al.Experimental study on motion behavior of single bubble rising along inclined plane in still water.Chin J Hydrodyn,2011,26(3):327-332(in Chinese))

26 Hirt CW,Nichols BD.Volume of fl uid(VOF)method for the dynamics of free boundaries.J Comput Phys,1981,39(1):201-225

27 Youngs DL.Time-dependent Multi-Material Flow with Large Fluid Distortion.New York:Academic Press,1982

28吳應湘,林黎明,鐘興福.帶有新型渦激振動抑制罩的圓柱體的水動力特性.力學學報,2016,48(2):307-317(Wu Yingxiang,Lin Liming,Zhong Xingfu.Investigation in hydrodynamics of a circular cylinder with the new suppressing shroud for vortex-induced vibration.Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics,2016,48(2):307-317(in Chinese))

29張新曙,胡曉峰,尤云祥等.深海多立柱浮式平臺渦激運動特性研究.力學學報,2016,48(3):593-598(Zhang Xinshu,Hu Xiaofeng,You Yunxiang,et al.Investigation on the characterisitics of vortex induced motion of a deep sea muti-column fl oating platform.Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics,2016,48(3):593-598(in Chinese))

30杜特專,王一偉,黃晨光等.航行體水下發射流固耦合效應分析.力學學報,2017,49(4):782-792(Du Tezhuan,Wang Yiwei,Huang Chenguang,et al.Study on coupling e ff ects of underwater launched vehicle.Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics,2017,49(4):782-792(in Chinese))

31郝子輝,閻超,周玲.k-ω-γ模式對轉捩影響因素的預測性能研究.力學學報,2015,47(2):215-22(Hao Zihui,Yan Chao,Zhou Ling.Parametric study of a k-ω-γ model in predicting hypersonic boundary-layer fl ow transition.Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics,2015,47(2):215-222(in Chinese))

32 Clift R,Grace JR,Weber ME.Bubbles,drops,and particles.Academic Press,1978

33黃永念.旋渦結構的湍流統計理論.力學進展,2002,32(4):505-512(Huang Youngnian.ON the statistical vortes structure theory of turbulence.Advances in Mechanics,2002,32(4):505-512(in Chinese))

34 Dijkhuizen W,Van Den Hengel EIV,Deen NG,et al.Numerical investigation of closures for interface forces acting on single airbubbles in water using Volume of Fluid and Front Tracking models.Chem Eng Sci,2005,60(22):6169-6175

35 Balc Zar N,Lehmkuhl O,Jofre L,et al.Level-set simulations of buoyancy-driven motion of single and multiple bubbles.Int J Heat Fluid Fl,2015,56:91-107

CONFINEMENT EFFECT ON THE RISING DYNAMICS OF A SKIRTED BUBBLE1)

Zhang Yang?,?Chen Ke?,?,2)You Yunxiang?,?Ren Wei???(State Key Laboratory of Ocean Engineering,Shanghai Jiaotong University，Shanghai 200240，China)
?(Collaborative Innovation Center for Advanced Ship and Deep-Sea Exploration，Shanghai 200240，China)
??(Shanghai Satellite Engineering Institute，Shanghai 200240，China)

In this work,the con fi nement e ff ect on the buoyancy-driven,axisymmetric motion of a skirted bubble in a liquid- fi lled,circular cylinder is numerically studied.The gas and liquid phases are assumed to be isothermal,incompressible and immiscible.The volume of fl uid(VOF)method is adopted to simulate the deforming interface between gas and liquid.A con fi nement ratio range of(1.1≤Cr≤10)is considered.The results reveal that the motion of a skirted bubble under Cr≥8 resembles that in an in fi nite medium in terms of both shape and Reynolds number in terminal state.With decreasing Cr,the wall plays a more signi fi cant role in determining the motion of the skirted bubble.For the range of Cr＜8,the drag on the bubble increases as Cr decreases,giving rise to the reduction of bubble rising velocity.As for the terminal shape,the skirted bubble is elongated in the axial direction and may evolve to an ellipsoidal cap or a bullet as a result of increasing wall proximity.The sensitivities of the thickness and length of trailing bubble skirts to the con fi nement ratio are examined.The skirt length reduces with the decrease of Cr,while the skirt thickness increases with decreasing Cr.The details of fl uid fi eld are analyzed both in the global reference frame and in a local reference frame moving with the bubble centroid.The wake e ff ect of the skirted bubble is weaken by the increasing wall e ff ect,suppressing the formations of vortex ring and skirt.Bubble break-up is captured under approximate conditions and can be enhanced by decreasing Cr,con fi rming the deduction in the literature.The present predictions on terminal velocities agree well with results by the correlation in the literature.

skirted bubble，bubble dynamics，con fi ned e ff ect，VOF

O359

A

10.6052/0459-1879-17-212

2017–06–07收稿，2017–08–07 錄用,2017–08–09 網絡版發表.

1)空間技術研究中心項目USCAST2016-2資助.

2)陳科，博士后研究員，主要研究方向：船舶工程水動力學.E-mail:raulphan@sjtu.edu.cn

張洋,陳科,尤云祥,任偉.壁面約束對裙帶氣泡動力學的影響.力學學報,2017,49(5):1050-1058

Zhang Yang,Chen Ke,You Yunxiang,Ren Wei.Con fi nement e ff ect on the rising dynamics of a skirted bubble.Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics,2017,49(5):1050-1058