黏彈性材料等效分數階微觀結構標準線性固體模型1)

徐業守 徐趙東 葛 騰 徐 超

(東南大學混凝土及預應力混凝土結構教育部重點實驗室，南京210096)

固體力學

黏彈性材料等效分數階微觀結構標準線性固體模型1)

徐業守 徐趙東2)葛 騰 徐 超

(東南大學混凝土及預應力混凝土結構教育部重點實驗室，南京210096)

從黏彈性材料微觀鏈結構出發，以橡膠基黏彈性材料超彈性理論分子網鏈高斯(Gauss)統計模型和黏滯流動理論為基礎，研究黏彈性材料的微觀結構、填料等對黏彈性性能的影響.用溫頻等效原理描述溫度對黏彈性材料力學性能的影響，建立了可以有效描述黏彈性材料耗能特性的等效分數階微觀結構標準線性固體模型.采用動態熱機械分析儀(DMA)對高聚物黏彈性材料力學性能、耗能能力進行測試.試驗表明：在低溫區域，儲能模量較大，隨著溫度的升高，儲能模量下降顯著；能量損耗因子在高溫和低溫區域數值較小，在玻璃化轉變溫度附近數值較高.根據測試數據對所提等效分數階微觀結構標準線性固體模型進行驗證，該力學模型能夠較好地描述黏彈性材料儲能模量和能量損耗因子隨溫度的變化趨勢.用9050A和ZN22黏彈性材料對模型的有效性進一步驗證，結果表明：9050A和ZN22黏彈性材料具有較好的耗能能力，所提出的等效分數階微觀結構標準線性固體模型能夠準確地描述微觀結構和填料對黏彈性材料宏觀性能的影響，能夠準確地描述黏彈性材料在不同溫度和頻率下的動態力學性能.

微觀分子鏈結構，填料，溫頻等效原理，分數階理論，力學模型，黏彈性材料

引言

黏彈性阻尼器是一種性能優良的被動耗能減振裝置，廣泛應用于航空航天、機械工程和精密儀器的隔振減振以及建筑消能減振中[15].在實際應用中，黏彈性阻尼器常被加到結構中，與建筑或設備等協同運動，達到消能減振的目的.國內外學者對黏彈性阻尼器進行了大量設計、試驗與理論研究[67].

黏彈性材料是黏彈性阻尼器的主要組成部分，其力學性能直接關系到阻尼器的減振效果，所以有必要對黏彈性材料的耗能性能進行研究.黏彈性材料力學本構模型是對黏彈性材料進行耗能機理研究和材料應用的基礎.經典黏彈性力學模型主要包括麥克斯威爾(Maxwell)模型、開爾文(Kelvin)模型、有限元模型、廣義模型以及線性固體模型等[8]，上述模型可以較好地描述黏彈性材料力學性能與頻率的關系.在傳統力學模型的基礎上，Payne[9]發現黏彈性材料的動態性能與位移幅值有關，并用Krous模型對這種相關性進行描述.Xu等[10]提出了一種等效標準固體模型，該模型可以有效表征溫度和頻率變化對黏彈性材料耗能性能的影響.Lesieutre等[11]提出了一種考慮溫度效應的有限元模型，該模型能夠描述簡單剪切條件下黏彈性材料的蠕變行為.Drozdov等[12]探討了不同溫度下分子鏈的斷裂和變形對橡膠聚合物黏彈性本構關系的影響.張針粒等[13]提出用溫度譜模型來描述溫度對黏彈性材料耗能指標的影響.Lewandowski等[14]和Schiessel等[15]將分數階導數和廣義分數階導數理論引入到黏彈性力學模型中，對傳統的黏彈性理論進行修正，得到了分數階和廣義分數階黏彈性本構模型.談炳東等[1617]和黃小雙等[18]基于連續介質力學對各向同性和各向異性橡膠基黏彈性復合材料進行研究，分別建立了可以較好描述黏彈性復合材料力學性能的黏-超彈性本構模型.Pritz[19]和周云等[20]分別采用五單元模型對黏彈性材料和黏彈性阻尼器的力學性能進行描述.康永剛等[21]基于可變黏性元件構造出非定常黏彈性本構模型.徐趙東等[22]采用理想化的分子網鏈幾何構型對黏彈性材料微振激勵下的力學行為進行了分析.

上述力學模型大多是基于宏觀試驗或經驗得出的，較少能反映黏彈性材料的微觀結構變化對黏彈性材料力學性能的影響.為提高黏彈性材料的耐久性、剛度、阻尼性能等以及拓寬阻尼溫域，往往采用基體共混、填料改性、有機小分子雜化、溶液共沉淀和互穿聚合物網絡等技術對黏彈性材料的微觀結構進行改進.因此有必要提出一種新的黏彈性材料力學模型，描述微觀鏈結構、填料、塑化劑等對黏彈性材料的影響效應.

近年來，一些學者運用多尺度方法，研究黏彈性材料的本構關系，建立了黏彈性材料宏觀性能與分子鏈結構的聯系[2327]：主要包括基于橡膠網鏈結構和Gauss統計理論的超彈性分析[25]以及考慮微觀分子鏈運動對高分子熔體及黏彈性材料黏性影響的黏滯流動理論[2627].然而，基于此類方法對黏彈性材料耗能和力學性能的研究較少.

本文基于上述研究，從黏彈性材料的分子鏈結構出發，研究黏彈性材料微觀結構、填料對黏彈性性能的影響.建立了可以有效描述黏彈性材料耗能能力的等效分數階微觀結構標準線性固體模型.采用動態熱機械分析儀對高聚物黏彈性材料力學性能進行測試，試驗結果表明，在低溫區域，儲能模量較大，隨著溫度的升高，儲能模量下降顯著，能量損耗因子在高溫和低溫區域數值較小，在玻璃化轉變溫度附近數值較高.根據測試數據對所提等效分數階微觀結構標準線性固體模型進行驗證，等效分數階微觀結構標準線性固體模型能夠較好地描述黏彈性材料儲能模量和能量損耗因子隨溫度的變化趨勢.用9050A和ZN22黏彈性材料對模型的有效性進一步驗證，結果表明，該模型參數物理意義明確，能夠準確地描述微觀結構對黏彈性材料宏觀性能的影響；較好地描述黏彈性材料在不同溫度和頻率下的耗能能力和動態力學性能,可以為黏彈性材料的研制和分析提供理論依據.

1 黏彈性材料微細觀構造

在高分子材料稀溶液中，高分子以無規線團的形式孤立存在，隨著分子濃度增高，彼此相互覆蓋、穿越和交疊.在濃溶液和橡膠基體中，高分子鏈形成各處鏈段大致均勻的纏結網絡，高分子線團之間充分穿透，其構象符合Gauss分布.黏彈性材料除橡膠基體外，還有硫化劑、補強填充體系、增塑劑、防老化組分等.由于硫化作用，各分子鏈段間發生化學反應，通過相應化學鍵產生交聯，形成更加緊密的網鏈結構.發生交聯作用的分子鏈存在部分長支鏈、懸垂鏈、星形鏈、鏈段末端等，以及基體中存在部分自由分子鏈，其并未發生纏結交聯作用，可對黏彈性材料的宏觀性能產生不同的影響.黏彈性材料中的補強填充體系、增塑劑、防老化組分等也會對分子鏈的纏結、交聯，微觀分子網鏈的形成產生影響，進而影響黏彈性材料的力學性能.黏彈性材料的分子網鏈與自由鏈構造如圖1所示.

圖1 黏彈性材料微觀鏈結構Fig.1 Micro-chain structure of viscoelastic materials

1.1 分子網鏈的Gauss統計模型

前人已經做了大量橡膠基黏彈性材料超彈性本構關系的研究[28].一種是不考慮彈性體的分子鏈結構，采用唯象方法進行研究，認為橡膠是連續介質，以Neo-Hookean模型、Rivlin模型和Mooney-Rivlin模型等為代表.另一種研究方法是基于分子鏈統計特性的分子網鏈理論，如Gauss模型，以及采用簡單幾何構型對分子網鏈進行簡化的3鏈網絡模型、4鏈網絡模型、8鏈網絡模型和全鏈網絡模型.

根據橡膠彈性統計理論[29]，橡膠分子鏈結構中，部分分子鏈為任意取向的柔性分子鏈，通過分子鏈段間的纏結和交聯作用，構成分子網絡，形成網狀結構.由于分子間相互作用力較弱，其應力應變行為主要取決于分子網鏈結構的構象熵.對于理想網鏈結構，我們采用以下假定：分子鏈網絡各向同性；任何交聯點的位置分布可用Gauss密度函數表示；平均應變下交聯點的平均位置可以像嵌在彈性連續體內一樣運動；黏彈性材料變形符合仿射變形規律；形變過程中材料的體積恒定.設分子網鏈單位體積內的分子鏈個數為N，由熱力學分析，并忽略內能變化，通過單位體積內分子鏈網絡構象熵的改變，可以得到分子網鏈的Gauss統計模型，相應的應變能密度函數為[29-30]

式中，W是橡膠單位體積內的形變功或彈性貯存自由能,?S是橡膠網鏈的形變熵，k為波茲曼常數，T為絕對溫度，λi(i=1,2,3)為3個主應變方向上的主拉伸比[3031].黏彈性材料應力的表達式為

式中，σi為主應力，P為由邊界條件確定的靜水壓力.不考慮靜水壓力，基于橡膠材料的體積不變性，在單向拉伸條件下，λ1= λ,λ2= λ3= λ?1/2.由式(1)和式(2)可以得到

在簡單剪切條件下，λ1= λ,λ2=1,λ3= λ?1.由式(1)和式(2)可以得到

式(3)和式(4)中，λ=1+ε，ε為第一主應力方向上的應變，對式(3)和式(4)展開，進行簡化處理，忽略高次項，可以得到，在單向拉伸條件下

即

式中，E為彈性模量.在簡單剪切條件下可得

同理

1.2 黏彈性材料黏性理論

黏彈性材料在外力或外力矩作用下，表現出既非胡克彈性體，又非牛頓黏流體的奇異黏彈性質.既有彈性行為，又有黏性行為.黏彈性材料的分子交聯網鏈對其彈性起主要作用，而未參加纏結交聯作用的自由鏈、長支鏈和側鏈等對黏彈性材料的宏觀黏性產生影響.

纏結是長鏈大分子間特有的相互作用，當分子鏈間距離足夠近時，分子鏈會發生強烈的物理交換作用，若鏈結構中存在某種相互作用較強的單元或嵌段時，如極性單元，或鏈的有規立構程度較高，分子鏈結構較規整時，纏結效應更加明顯；當分子鏈為線型且柔順性好時，分子鏈間會發生纏繞，打結或環套，形成拓撲性或純粹幾何性糾纏，如圖2所示.

圖2 分子鏈相互纏繞構象Fig.2 Intertwined molecular chains

故而在黏彈性材料形變過程中，自由分子鏈可以在交聯網鏈結構中產生運動，但由于分子鏈間的纏結及阻礙作用，這種運動受到限制.纏結高分子鏈的Doi-Edward蠕動模型[26]可以較好地描述這一現象.在基體橡膠分子交聯網鏈及自由分子鏈和側支鏈結構形成的復雜網絡中，自由大分子鏈可以像游蛇一樣蠕動.在該模型中認為纏結和環套是在鏈段以上的尺度上發生的，纏結、環套的位置可以改變、滑動；分子鏈通過局部的布朗運動，繞過障礙物，在籠或柵格般的環或管道中滑行，設管道直徑為a，如圖3所示.

圖3 分子鏈蠕動模型Fig.3 Reptation model of molecular chains

分子鏈的蠕動模型必須滿足以下假定條件[32]：單根自由分子鏈只能在其他鏈構成的網柵中獨立地運動，其運動限于跟其他鏈交叉纏結點形成的管道；分子鏈簡化為自由連接鏈；蠕動過程中存在分子鏈纏結交聯網絡的熵彈性形變，同時簡化分子鏈從發生形變的舊滑結管道脫出，形成新管道；黏彈性材料發生宏觀形變時，滑結點的平均位置也符合仿射變形.

基于Doi-Edwards蠕動模型，對鏈端所受力矩按分子鏈構象統計求平均，可得到分子鏈蠕動過程中黏彈性材料的本構關系

式中，N1是參與蠕動變形的單位體積內的分子鏈個數，hi為第i個鏈段的末端距矢量，ni為第i個鏈段的單元數，am為真實鏈的等效單元長度，尖括號表示按分子鏈構象求統計平均值.

由于自由分子鏈主要影響黏彈性材料的宏觀黏性，將本構方程(9)應用于穩態剪切流場，并考慮分子量分布的影響，可以得到黏彈性材料的零剪切黏度與分子量存在以下關系[32]

式中，η0是黏彈性材料的零剪切黏度，M為分子鏈的分子量，ζ為略大于3的一個常數.對于具有標準線型柔性分子鏈的黏彈性材料，零剪切黏度與平均分子量符合Fox-Flory公式[32]

式中，K1和K2是與溫度及分子結構相關的材料常數，ˉMW為分子鏈的平均分子量，Mc為分子鏈發生纏結的臨界分子量.

2 填料及溫度影響效應

2.1 填料補強

在橡膠基黏彈性材料中添加炭黑、氧化鋅、碳酸鹽類、硅酸鹽類等填料是一項很重要的技術手段.適度的填料填充可以增強橡膠基體的耐磨性、強度和彈性模量[33].基于流體動力學機理，單向拉伸或簡單剪切情況下，橡膠基體黏彈性材料的主拉伸比與應變關系可寫為

式中，ε0和ε分別為原橡膠基體和填料填充橡膠的應變.φ為填料的體積分數，f(φ)為填料填充橡膠的模量增大函數.

在填料體積分數較小時，f(φ)的表達式符合Guth-Smallwood公式[34]

在填料體積分數大于0.3時，Guth-Smallwood公式已經不再適用，一些學者發展出了其他理論來描述大體積分數下的填料增強效應[34]，如下述兩個公式

式中，φm為填料的最大體積分數，隨機填充情況下，φm=0.637.

2.2 溫頻等效原理

試驗和研究結果表明[12,35]，溫度對黏彈性材料的力學性能有較大影響.黏彈性材料的儲能模量和能量損耗因子隨溫度和頻率的變化關系是不完全相同的，當溫度處在玻璃態轉變溫度Tg至Tg+100°C范圍內時，多數黏彈性材料的溫度和頻率之間存在等效關系，即高溫與低頻的影響等效，低溫與高頻的影響等效，這就是溫頻等效原理[10].如果將溫度和頻率對黏彈性材料性能的影響進行綜合考慮，那么將有

式中，T0為參考溫度，αT為溫度的函數，由下式確定

3 黏彈性材料等效分數階微觀分子結構標準線性固體模型

3.1 分數階黏彈性理論

在經典的黏彈性理論中，一般是將離散的彈簧元件和黏壺元件通過不同形式組合起來，表征黏彈性材料的本構關系.Lewandowski等[14]和Schiessel等[15]采用分數階理論，引入Abel分數階彈壺模型來同時表示黏彈性材料的黏性和彈性性質，其本構關系為

式中，η1=Eτα,τ= ηv/E,0≤ α ≤ 1.E 和 ηv分別表示黏彈性材料的彈性模量和黏度，Dα表示進行α階分數階導數求導.分數階黏彈性理論可以較好地表征黏彈性材料的蠕變時滯效應.

3.2 分數階微觀結構力學模型

在經典的黏彈性模型當中，標準線性固體模型由一個彈簧元件和一個Kelvin模型串聯組成，能夠較好地反映黏彈性材料的性能隨頻率的變化趨勢以及黏彈性材料的松弛和蠕變特性.結合黏彈性材料的微細觀構造，將基體橡膠網鏈結構Gauss統計理論與分子鏈的黏性蠕動模型相結合，采用分數階導數理論，得到分數階的微觀結構標準線性固體模型，如圖4所示.

圖4 分數階微觀結構標準線性固體模型Fig.4 Fractional order micro structure standard linear solid model

圖中，用單元A來表征黏彈性材料橡膠基體的超彈性單元，主要取決于纏結交聯分子網鏈的性質，根據式(6)和式(8)，得到單元A彈性模量的表達式為

式中，EA為單元A的彈性模量，NA為黏彈性材料交聯網鏈單位體積內的分子鏈個數，單向拉伸條件下β=3，簡單剪切條件下β=4.

假定自由分子鏈在蠕動變形過程中，與周圍分子鏈結構的物理幾何纏結所產生的熵彈性可以用彈簧單元B表示，自由分子鏈在交聯超彈性網鏈和物理纏結網鏈中的黏性蠕動特性可以用Abel分數階彈壺單元C表征.采用分數階Kelvin模型來表征黏彈性材料中自由分子鏈的蠕動黏流特性.單元B的彈性模量表達式為

式中，EB為單元B的彈性模量，NB為黏彈性材料自由分子鏈與周圍物理幾何纏結結構的分子鏈密度.橡膠基體的分子量一般比較大，假定橡膠基體材料自由分子鏈的平均分子量大于發生纏結的臨界分子量，橡膠自由分子鏈在柵格中滑動，則結合式(10)與式(11),單元C的黏度表達式為

式中，ηC為單元C的黏度，KC為自由分子鏈與周圍物理幾何纏結結構的材料參數，ˉMf為黏彈性材料自由分子鏈與周圍物理幾何纏結結構的分子鏈平均分子量.那么，圖4所示分數階微觀分子結構標準線性固體模型的本構方程可以寫為

對式(22)進行Fourier變換，進行復模量的實部與虛部分離[22]，便可得到黏彈性材料的耗能指標

式中，G1為黏彈性材料的儲能模量，G2為黏彈性材料的耗能模量，η為黏彈性材料的能量損耗因子.將式(19)～式(21)代入式(23)～式(25)中，便可以得到

3.3 等效分數階微觀結構標準線性固體模型

考慮黏彈性材料中填料的補強效應，同時考慮溫度對黏彈性材料性能的影響，采用溫頻等效原理，結合式(13)～式(17)，得到一種新型的黏彈性材料等效分數階微觀結構標準線性固體模型，其儲能模量、耗能模量和能量損耗因子具有如下表達式

式中，αT由式(17)給出,f(φ)可根據式(13)～式(15)進行選取.需要指出的是，溫頻等效原理主要體現在溫度變化對黏彈性材料黏性的影響[10]，文獻[10]中，黏彈性材料彈簧單元彈性模量為常數.而從分子網鏈及橡膠彈性統計理論[29]出發，所得式(19)和式(20)的結果表明，黏彈性材料的彈性模量是直接正比于溫度的，故式(29)～式(31)表示的等效分數階微觀分子結構標準線性固體模型中，溫頻等效原理對彈性模量不適用，彈性單元A和B的彈性模量中溫度項T不發生改變.

4 DMA測試

動態熱機械分析儀(DMA)是測試高聚物黏彈性材料力學性能、黏彈性能的常用儀器.本次測試儀器采用美國TA儀器公司的DMA Q800型動態熱機械分析儀，試樣為加入炭黑強化的丁腈橡膠，試樣尺寸為20mm×6mm×1mm.測試過程中，加載頻率為11Hz，溫度從?25°C到45°C，升溫速率為3°C/min，試樣形變為單軸拉伸模式，加載過程中，應變率設定為0.1%，測試概況如圖5所示.

圖5 DMA測試概況Fig.5 DMA test pro fi le

測試得到炭黑強化丁腈橡膠的儲能模量和能量損耗因子，并用所測數據對等效分數階微觀結構標準線性固體模型進行參數識別，單軸拉伸狀態下β=3，得到各參數為NA=1.36×1029，NB=2.08×1026，KC=2.37×10?33，ˉMf=6.14×106，T0=343.35°C，α=0.739，φ=6.3%.DMA測試所得試驗數據與力學模型計算結果如圖6所示.

圖6 丁腈橡膠力學參數DMA測試結果Fig.6 Dynamic parameters of NBR by DMA test

圖6為丁腈橡膠試樣儲能模量和能量損耗因子隨溫度的變化曲線.從圖6(a)可以看出，在低溫區域，橡膠基體儲能模量較大，這是由于分子鏈中的原子和基團基本處于“凍結”狀態，只能在固定位置上振動，大分子鏈不能做構象重排，而振動困難.隨著溫度的升高，分子鏈開始短程的蠕動滑移，從0°C開始，儲能模量下降顯著.模型在不同溫度下的儲能模量計算數值與試驗數值相差不大.例如在?10°C時儲能模量的模型計算值和試驗值分別為1785MPa和2100MPa，誤差為15%；在20°C時儲能模量的試驗值和模型計算值分別為8.07MPa和8.06MPa，誤差為0.12%.

黏彈性材料的耗能性能本質上取決于材料的時滯特性，是自由分子鏈的蠕動滑移變形以及與填料添加劑等綜合作用的結果.能量損耗因子體現了動態加載條件下，黏彈性材料變形過程中，單個加載循環下能量的損耗比率.從圖6(b)看出，能量損耗因子在高溫和低溫區域數值較小，在中間溫度區域即玻璃化轉變溫度附近，數值較高并且出現了峰值.能量損耗因子的峰值溫度為14°C，此時模型計算所得能量損耗因子為1.91，與試驗數值相吻合，在10°C時，模型計算結果和實驗數值分別為1.78和1.52，誤差為17.1%.試驗和模型計算結果對比發現，儲能模量和能量損耗因子的模型計算數值與試驗結果較為接近，等效分數階微觀結構標準線性固體模型能夠較好地描述丁腈橡膠基體黏彈性材料儲能模量和能量損耗因子隨溫度的變化趨勢.

5 模型驗證

為了進一步驗證等效分數階微觀分子結構標準線性固體模型，采用無錫減震器廠生產的9050A黏彈性材料和常州蘭陵橡膠廠生產的ZN22黏彈性材料制成的黏彈性阻尼器在不同溫度和頻率下的動態力學性能試驗數據[10]進行參數擬合分析.阻尼器中黏彈性材料可認為是簡單剪切變形，簡單剪切狀態下 β=4.經過計算，得到 9050A黏彈性材料等效分數階微觀分子結構標準線性固體模型中，各模型參數為 NA=1.03×1028，NB=5.83×1025，KC=3.8×10?17，ˉMf=2.78×106，T0=161.52°C，α=0.699，φ=20.63%；同樣，計算得到ZN22黏彈性材料，等效分數階微觀分子結構標準線性固體模型中，各參數為NA=6.98×1028，NB=6.48×1025，KC=3.8×10?20，ˉMf=3.05×106，T0=271.2°C，α=0.658，φ=20.12%.表1給出了9050A黏彈性材料在不同溫度和頻率下的動態力學性能以及等效分數階微觀分子結構標準線性固體模型的計算結果，表2為ZN22黏彈性阻尼材料性能試驗及等效分數階微觀分子結構標準線性固體模型的計算結果.

為了更加直觀地驗證等效分數階微觀分子結構標準線性固體模型的正確性，我們將表1和表2中的數據繪制成圖形進行對比.表1中數據分別以0°C和1Hz為例，如圖7所示，表2中數據分別以20°C和1Hz為例，見圖8.

表1 9050A試驗數據和模型計算值對照表Table 1 Comparison of experimental data and numerical results for 9050A

表2 ZN22試驗數據和模型計算值對照表Table 2 Comparison of experimental data and numerical results for ZN22

圖7 9050A黏彈性材料模型計算值與試驗數據對比Fig.7 Comparison of experimental data and numerical results for 9050A

圖7 9050A黏彈性材料模型計算值與試驗數據對比(續)Fig.7 Comparison of experimental data and numerical results for 9050A(continued)

由圖7(a)和圖7(b)可以看出，當溫度為0°C，頻率在0.1Hz,0.5Hz,1Hz以及5Hz時，模型數值計算所得9050A黏彈性材料儲能模量G1與試驗數據的誤差為8.0%,1.5%,8.7%和5.9%；能量損耗因子η與試驗數據的誤差為5.0%,8.9%,0.5%和1.4%.由此可知溫度為0°C時，等效分數階微觀分子結構標準線性固體模型計算所得儲能模量和損耗因子的最大誤差分別為8.7%和8.9%，具有較高的準確性.由圖7(c)和圖7(d)可以看出，當頻率為1Hz，溫度為 ?10°C,0°C,10°C 和 20°C 時，模型數值計算所得9050A黏彈性材料儲能模量G1與試驗數據的誤差為19.3%,8.68%,0.67%和7.04%；能量損耗因子η與試驗數據的誤差為2.88%,5.45%,2.82%和2.5%.綜上可知，在頻率為1Hz條件下，當溫度為?10°C時，等效分數階微觀結構標準線性固體模型計算所得儲能模量的誤差最大，達到19.3%,在0°C,10°C和20°C時，誤差較小；計算所得損耗因子的最大誤差為5.45%，平均誤差為3.41%.

圖8 ZN22黏彈性材料模型計算值與試驗數據對比Fig.8 Comparison of experimental data and numerical results for ZN22

由圖8(a)和圖8(b)可以看出，當溫度為20°C，頻率為0.1Hz,0.5Hz,1Hz以及2Hz時，模型數值計算所得ZN22黏彈性材料儲能模量G1與試驗數據的誤差為3.87%,1.74%,0.34%和3.25%；能量損耗因子η與試驗數據的誤差為8.0%,8.75%,3.96%和1.68%.由此可知溫度為20°C時，模型計算所得儲能模量的誤差在4%以內，損耗因子的最大誤差為8.75%，等效分數階微觀結構標準線性固體模型所得結果與試驗數據非常接近.由圖8(c)和圖8(d)可以得到，頻率為 1Hz，溫度為 15°C,20°C,25°C 和 30°C 時，模型數值計算所得儲能模量G1與試驗數據的誤差為4.64%,0.34%,2.56%和7.5%；損耗因子η與試驗數據的誤差為3.03%,3.96%,9.72%和5.17%.由以上可知，等效分數階微觀結構標準線性固體模型計算所得儲能模量的最大誤差為7.5%，平均誤差為3.76%；損耗因子的最大誤差為9.72%，平均誤差為5.47%.

綜上所述，通過等效分數階微觀分子結構標準線性固體模型計算得到9050A和ZN22黏彈性材料的剪切模量與能量損耗因子的計算值與試驗數據較為接近，采用等效分數階微觀結構標準線性固體模型計算9050A黏彈性材料剪切模量時，在頻率為1Hz溫度為?10°C的條件下出現了19.3%的較大誤差，其他條件下的誤差均在10%以內.通過誤差對比、綜合分析可以知道，等效分數階微觀結構標準線性固體模型能夠很好地描述9050A和ZN22黏彈性材料在不同溫度和頻率下的動態力學性能.

6 結論

本文從黏彈性材料微觀鏈結構出發，以橡膠基體材料超彈性理論分子網鏈的Gauss統計模型和黏滯流動理論為基礎，研究黏彈性材料的微觀分子結構、填料對黏彈性性能的影響.建立了可以有效描述黏彈性材料耗能性能的等效分數階微觀結構標準線性固體模型.采用動態熱機械分析儀(DMA)對高聚物黏彈性材料力學性能、黏彈性性能進行測試，并結合其他文獻對模型的有效性進行了驗證，得出如下結論：

(1)黏彈性材料橡膠基體的微觀結構及填料等對黏彈性材料動態力學性能和耗能能力有重要影響，所提等效分數階微觀分子結構標準線性固體模型各參數物理意義明確，可以較好地描述微觀結構對黏彈性材料宏觀性能的影響.

(2)DMA測試給出了黏彈性材料在給定頻率和應變率下，動態性能隨溫度的變化規律，低溫時儲能模量數值較大，隨溫度增加而降低，能量損耗因子在高溫和低溫區域數值較小，在玻璃化轉變溫度附近數值較高并且出現了峰值.等效分數階微觀結構標準線性固體模型可以較好地描述儲能模量和能量損耗因子隨溫度的變化規律.

(3)通過9050A和ZN22黏彈性材料對模型進行驗證，計算結果與試驗值對比可知，所提出的等效分數階微觀結構標準線性固體模型能夠準確地描述黏彈性材料在不同頻率和溫度下動態力學性能.

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EQUIVALENT FRACTIONAL ORDER MICRO-STRUCTURE STANDARD LINEAR SOLID MODEL FOR VISCOELASTIC MATERIALS1)

Xu Yeshou Xu Zhaodong2)Ge Teng Xu Chao
(Key Laboratory of Concrete and Prestressed Concrete Structures of the Ministry of Education，Southeast University，Nanjing 210096，China)

From the micro-molecular chain structures,based on the Gauss statistical model in hyperelasticity theory of the rubber matrix and the viscous rheological theory of viscoelastic materials,the e ff ects of the micro molecular structures and fi llers on the viscoelastic properties of the viscoelastic materials are studied.The temperature-frequency equivalent theory is introduced to investigate the e ff ect of temperature on the mechanical properties of the viscoelastic materials,and an equivalent fractional order micro-structure standard linear solid model of the viscoelastic materials is established.The mechanical properties and energy dissipation capacity of the viscoelastic materials are tested by dynamic thermomechanical analyzer(DMA)device.The experimental results show that the storage modulus is large in low temperature region,and decreases signi fi cantly with increasing temperature;the loss factor is small in high and low temperature regions,but has peak values near the glass transition temperature.Then the validity of the model is veri fi ed based on the test results,and the equivalent fractional order micro-structure standard linear solid model can e ff ectively describe the energy dissipation capacity of the viscoelastic materials.What’s more,the validity of the model is further veri fi ed by the combination of 9050A and ZN22 viscoelastic materials.The results show that the viscoelastic materials have good energy dissipation capacity.The proposed equivalent fractional order micro-structure standard linear solid model can accurately describe the in fl uence of microstructures and fi llers on macro-properties of viscoelastic materials.And the dynamic mechanical properties of the viscoelastic materials at di ff erent temperatures and frequencies also can be accurately described.

micro-molecular chain structure, fi llers,temperature-frequency equivalent theory,fractional order theory,mechanical model,viscoelastic materials

TB535.1

A

10.6052/0459-1879-17-134

2017–04–21收稿，2017–06–26 錄用,2017–06–29 網絡版發表.

1)國家杰出青年科學基金 (51625803)、國家重點研發計劃 (2016YFE0119700)、國家自然科學基金 (11572088)、江蘇省杰出青年基金(BK20140025)、江蘇省重點研發計劃(BE2015158)、江蘇省333高層次人才、江蘇省高校優勢學科建設項目(CE02-1-47)、江蘇省普通高校研究生科研創新計劃項目(KYLX160247)和中央高校基本科研業務費專項資金資助項目.

2)徐趙東，教授，主要研究方向：結構振動控制.E-mail：xuzhdgyq@seu.edu.cn

徐業守,徐趙東,葛騰,徐超.黏彈性材料等效分數階微觀結構標準線性固體模型.力學學報,2017,49(5):1059-1069

Xu Yeshou,Xu Zhaodong,Ge Teng,Xu Chao.Equivalent fractional order micro-structure standard linear solid model for viscoelastic materials.Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics,2017,49(5):1059-1069