沖擊漸進振動系統相鄰基本振動的轉遷規律1)

呂小紅 羅冠煒

?(蘭州交通大學機電工程學院，蘭州730070)

?(甘肅省軌道交通裝備系統動力學與可靠性重點實驗室，蘭州730070)

動力學與控制

沖擊漸進振動系統相鄰基本振動的轉遷規律1)

呂小紅?,?,2)羅冠煒?

?(蘭州交通大學機電工程學院，蘭州730070)

?(甘肅省軌道交通裝備系統動力學與可靠性重點實驗室，蘭州730070)

沖擊振動現象廣泛存在于動力機械系統中，使得系統表現出復雜的動力學響應.目前對沖擊振動系統的p/1類基本振動的穩定性及分岔研究報道較少，而且已有的對沖擊振動系統動力學的研究基本都是基于單參數分岔進行分析的.研究以小型振動沖擊式打樁機為工程背景，建立了沖擊漸進振動系統的力學模型.分析了激振器和緩沖墊發生碰撞的類型，以及滑塊漸進運動的條件.給出了系統可能呈現的四種運動狀態的判斷條件和運動微分方程.通過二維參數分岔分析得到系統在(ω,l)參數平面內存在的各類周期振動的參數域和分布規律.詳細分析了相鄰p/1類基本振動的轉遷規律.在5/1基本振動的參數域的右邊區域，相鄰p/1基本振動的參數域臨界線上存在一個奇異點Xp.相鄰p/1類基本振動的分岔特點以奇異點Xp為臨界點.在l小于lXp的區域內，相鄰p/1基本振動經實擦邊分岔和鞍結分岔相互轉遷，實擦邊分岔線和鞍結分岔線之間存在遲滯域，遲滯域內，系統存在兩個周期吸引子共存的現象.在l大于lXp的區域內，相鄰p/1類基本振動的參數域之間存在一個中間過渡區域.中間過渡區域內，系統呈現(2p+2)/2和(2p+1)/2周期振動等.在5/1基本振動的參數域的左邊區域，p/1基本振動經多重滑移分岔產生(p+1)/1基本振動.

非光滑系統，沖擊振動，漸進，周期運動，分岔

引言

沖擊振動現象廣泛存在于動力機械系統中，對其動力學的研究對沖擊機械裝置的動態性能匹配設計和噪聲控制等具有重要的意義.近年來，國內外學者利用非線性動力系統理論和計算機技術研究了沖擊振動系統周期運動的存在性和穩定性、以及分岔與混沌[13].同時，沖擊振動系統呈現的豐富的動力學行為、分岔類型以及應用研究也引起了很多學者的關注.文獻[4-6]研究了沖擊振動系統的完整顫碰振動和非完整顫碰振動及其分岔.文獻[7-9]研究了沖擊振動系統的Hopf分岔、退化Hopf分岔和余維二分岔以及分岔點鄰域內的兩參數動力學行為.文獻[10-11]研究了沖擊振動系統的多吸引子共存現象和周期吸引子的吸引域.文獻[12-14]研究了沖擊振動系統的Lyapunov指數譜的計算方法，并發現在不同類型振動的轉遷過程中存在遲滯現象.文獻[15-16]以沖擊鉆和鉆孔樁等帶有鉆進運動的機械系統為工程背景，研究了其動力學模型的分岔特點和動力學參數對鉆進性能的影響.Rusinek等[17]建立了描述金屬切削過程的摩擦顫振運動的動力學模型，解釋了系統豐富的動力學行為，以及切削速度與顫振運動的關系.Li等[18]考慮了模擬直線超聲電機定/動子碰撞振動的動力學模型，討論了系統參數對黏滯振動的影響.

由于沖擊振動系統存在擦碰周期運動，引起擦碰奇異性，因此一些常規的光滑動力系統的定性分析方法難以直接應用于沖擊振動系統的全局分岔研究.沖擊振動系統運動形式的復雜性、多樣性及演化特征與沖擊映射的擦碰奇異性有很大的關系，因此，沖擊振動系統的奇異性及擦邊分岔研究迄今為止仍是國內外學者關注的研究熱點.張思進等[19]推導了線性碰振系統單碰周期振動的擦邊分岔方程，并以單自由度系統為例驗證了解析結果的正確性.文獻[20-22]應用不連續幾何的拓撲方法研究了碰撞振動系統在擦邊分岔點附近存在鞍結分岔的條件.Liu等[23]研究了三自由度碰撞振動系統的光滑和非光滑分岔，揭示了系統在擦邊分岔點附近的不連續跳躍和多解共存現象.馮進鈐等[2425]基于圖胞映射理論研究了確定和隨機兩種情形下，杜芬(Du ffing)碰撞振子擦邊誘導的兩種激變形式，以及鞍結分岔、混沌鞍激變分岔和混沌內部激變分岔等三類分岔的動力學.其余關于沖擊振動系統擦邊分岔的研究見文獻[26-29].

在低激振頻率條件下，簡諧激勵沖擊振動系統通常會呈現 p/1類基本振動.一個振動周期內的激振力周期數不變，但是碰撞次數會隨著系統參數的變化而發生變化.國內外對此類周期振動的穩定性及分岔研究報道較少，而且已有的對沖擊振動系統動力學的研究基本都是基于單參數分岔進行分析的.本文以小型振動沖擊式打樁機為工程背景，建立考慮緩沖墊和支撐介質黏彈性的沖擊漸進振動系統的力學模型.通過兩參數協同仿真分析得到系統的各類周期振動在二維參數(激振頻率ω和預壓量l)平面內的參數域及其分布規律，研究p/1基本振動的分岔特點，揭示相鄰p/1類基本振動的轉遷規律，為解決特定工程實際問題提供一定的理論依據和參考.

1 力學模型和運動微分方程

圖1所示為沖擊漸進振動系統的力學模型.激振器M1通過振動彈簧懸掛于質塊M2的頂部.振動彈簧的剛度系數為K1，黏滯阻尼系數為C1.質塊M2的底部裝有一個剛度系數和黏滯阻尼系數分別為K3和C3的緩沖墊，用來減小沖擊產生的磨損和裂痕等不良影響，其質量忽略不計.支撐質塊M2的彈簧剛度和黏滯阻尼系數分別為K2和C2.滑塊的質量忽略不計，其表面受到干摩擦力F的作用.激振器M1上作用有簡諧激振力 Psin(?T+τ).激振器 M1，質塊M2，緩沖墊和滑塊的位移分別用X1，X2，X3和X4表示.振動彈簧和緩沖墊的預壓量分別為L0和ˉL0，滿足K1L0=K3ˉL0，令L=L0+ˉL0.引入以下無量綱參數

式中 j=1,3,i=1,2,3,4,Lk表示滑塊在激振器M1第k次沖擊緩沖墊后瞬間的漸進量.

圖1 力學模型Fig.1 Mechanical model

當x1?x3=l，且˙x1?˙x3＜0時，激振器M1沖擊緩沖墊，沖擊方程為

式中，下標“?”和“+”分別表示沖擊前、后的瞬時速度.沖擊后，激振器M1與緩沖墊黏滯向下運動.沖擊前后，激振器M1的速度不變，但緩沖墊的速度發生突變.黏滯向下運動時，激振器M1與緩沖墊之間具有相互作用力F1，有

激振器M1與緩沖墊黏滯向下運動過程中，F1＞0.待F1減小至零時，兩者分離.黏滯運動結束瞬間，F1=0，x1=x3+l.黏滯運動結束后，激振器M1自由振動，緩沖墊在其自身彈性和阻尼的作用下恢復到平衡狀態，伴隨質塊M2一起自由振動.

如果激振器M1與緩沖墊以相等或近似相等的速度發生碰撞，即或且，則激振器M1與緩沖墊發生擦碰接觸振動.接觸前后，系統的結構和運動狀態不發生變化，但是擦碰接觸導致系統發生擦邊分岔.根據文獻[30-31]，擦邊分岔有實擦邊分岔和虛擦邊分岔.實擦邊分岔時碰撞質塊擦碰接觸時的速度相等，導致系統在一個振動周期內的激振力周期數不變，但激振器M1與緩沖墊的碰撞次數增加一次.實擦邊分岔過程是不可逆的，相反的分岔為鞍結分岔，導致系統在一個振動周期內的激振力周期數不變，但激振器M1與緩沖墊的碰撞次數減少一次.虛擦邊分岔時碰撞質塊擦碰接觸時的速度近似相等，導致系統在一個振動周期內的激振力周期數和碰撞次數都發生變化或由周期振動直接轉遷為混沌.

用P0表示作用于滑塊的彈性恢復力和阻尼力的合力，有

當激振器M1第k次沖擊緩沖墊后，兩者黏滯向下運動，彈簧K3被壓縮，最終使得作用于滑塊的合力P0的絕對值增加.當P0滿足?P0＞f時，滑塊克服干摩擦力f漸進運動，漸進的深度為lk，同時系統向下平移lk.當P0的絕對值減小至等于干摩擦力 f時，滑塊漸進運動過程結束，作用于滑塊的摩擦力 f由動摩擦力變為靜摩擦力，直到滑塊開始下一次漸進運動為止.不管滑塊處于哪種狀態，系統的靜平衡位置相對滑塊而言都沒有改變.

以激振器M1沖擊緩沖墊的時刻作為系統運動的初始時刻(t=0)，沖擊后瞬間的狀態作為系統隨后運動的初始條件，分析系統在任意相鄰兩次沖擊之間的運動過程.在不同參數情況下，相鄰兩次沖擊之間，系統可能呈現出四種不同的運動狀態.下面給出每種運動狀態的判斷條件及運動微分方程：

(1)當x1?x3＞l，且時，激振器M1與緩沖墊分別自由振動，滑塊靜止.

(2)當x1?x3＞l，且時，激振器M1與緩沖墊分別自由振動，滑塊漸進運動.

(3)當x1?x3=l，和同時滿足時，激振器M1與緩沖墊黏滯運動，滑塊靜止.

(4)當x1?x3=l，f+2ζ(˙x2?˙x4)+x2?x4＜0和2ζˉC3(˙x2?˙x1)+ˉK3(x2?x3)＞0同時滿足時，激振器M1與緩沖墊黏滯運動，滑塊漸進運動.

在不同的系統參數條件下，圖1所示系統可能呈現不同類型的周期振動.用符號p/n區分周期振動的類型，n表示一個振動周期內的激振力周期數，p表示一個振動周期內激振器M1與緩沖墊的碰撞次數.特別地，當激振頻率 ω比較小時，系統可能呈現 p/1(p=1,2,3,···)類周期振動，振動的周期等于激振力周期，區別在于一個振動周期內的碰撞次數 p有所不同.文獻 [31]將此類周期振動稱為基本振動.定義一個振動周期內的沖擊次數序列m=(1,2,3,···)，以激振器 M1的沖擊速度最大的一次為序數的第一項，簡稱第一次沖擊.在沖擊次數序列中，m值越大，第m次振動的幅值和沖擊速度越小.

式中，X∈R6,v為實參數,v∈Rm(m=1或2),

2 基本振動的參數域和轉遷規律

選取無量綱參數 μm=0.35，μk1=0.01，μc1=0.01，μk3=0.7，μc3=0.7，ζ=0.1，f=0.5，數值計算ω在0.04～1，l在0～15變化時的二維參數(ω,l)分岔圖如圖2所示，圖3(a)和圖3(b)分別為圖2中低激振頻率區域的細化圖和分岔線示意圖.在圖3(b)中，PD Bif表示周期倍化分岔，GrBif表示實擦邊分岔，GbBif表示虛擦邊分岔，SN Bif表示鞍結分岔，S Bif表示滑移分岔.圖2，圖3(a)和圖3(b)清晰地呈現了各類周期振動的參數域及其分布規律，圖中用符號p/n區分，沒有用符號p/n表示的灰色區域有3種情況：①周期振動的參數域很小，圖中不能明顯顯示；②周期振動的p或n比較大，難以準確判斷；③混沌.

由圖2可見，系統存在的周期振動主要有 p/1(p=1,2,3,4)類基本振動，1/n(n≥2)類單碰亞諧振動和2/2n(n≥2)類周期振動等.預壓量l對p/1基本振動的參數域的影響很小.l增大，存在1/1周期振動的ω范圍略有增大，并向ω增加的方向傾斜.1/1周期振動的參數域的右邊界線為1/1周期振動的周期倍化分岔線，左邊界線為3/2周期振動的鞍結分岔線.在二維參數(ω,l)平面內，增加ω或減小l，1/1周期振動發生周期倍化分岔，穿越周期倍化分岔線，系統嵌入2/2周期振動的參數域.繼續增大ω或減小l，1/1周期振動經倍周期序列通向長周期多沖擊運動或混沌.

圖2 二維參數分岔Fig.2 Two-dimensional parameter bifurcation diagram

Luo等[32]研究了兩自由度單邊碰撞振動系統周期運動的分岔特點和演化過程，發現在相鄰p/1類基本運動的參數域臨界線上，存在若干奇異點和舌形域.舌形域內存在(np+1)/n(n≥2)類周期振動的參數島，(np+1)/n周期振動由p/1基本運動和1/n亞諧振動相互作用而產生.圖1所示系統也存在這種現象.如圖3(a)所示，在1/1基本振動和2/1基本振動的參數域之間存在一個奇異點X1，此奇異點是1/1基本振動的實擦邊分岔線和虛擦邊分岔線，以及3/2周期振動的實擦邊分岔線的交點.在二維參數(ω,l)平面內，減小ω或增大l，1/1基本振動發生實擦邊分岔或虛擦邊分岔.圖4(a)和圖4(b)給出了兩種情況下，基本振動1/1和2/1之間相互轉遷的雙向分岔圖，細灰色線為ω增大時的分岔圖，粗黑色線為ω減小時的分岔圖.在l小于lX1的區域內，減小ω或增大l，1/1周期振動經擦邊分岔產生4/2周期振動.由于z=4/2=2/1，即在一個激振力周期內，質塊M1與緩沖墊的平均碰撞次數增加一次，因此，此擦邊分岔為實擦邊分岔.繼續減小ω或增大l，系統經4/2周期振動的逆周期倍化分岔嵌入2/1基本振動的參數域內，見圖4(a).在l大于lX1的區域內，減小ω或增大l，1/1基本振動經擦邊分岔產生3/2周期振動.由于系統在一個振動周期內的激振力周期數n和碰撞次數p都發生了變化，因此，此擦邊分岔為虛擦邊分岔.根據文獻[32]可知，3/2周期振動由1/1基本振動和1/2亞諧振動相互作用而產生，3/2=1/1+1/2.繼續減小ω或增大l，3/2周期振動經實擦邊分岔產生4/2周期振動，然后，系統經4/2周期振動的逆周期倍化分岔嵌入2/1基本振動的參數域，見圖4(b).1/1基本振動到2/1基本振動的分岔過程總結如下，在l小于lX1的區域內

在l大于lX1的區域內

基本振動1/1和2/1之間的轉遷過程是不可逆的.相反的分岔過程為

1/1基本振動的擦邊分岔線和3/2周期振動的鞍結分岔線之間存在比較寬的遲滯域，見圖3(a)中用HR1表示的區域.遲滯域內，系統存在1/1基本振動和3/2周期振動兩個周期吸引子共存的現象，而且兩個周期吸引子都是穩定的.

如圖3(a)所示，在2/1基本振動和3/1基本振動的參數域之間存在一個奇異點X2，此奇異點是四條分岔線的交點，分別是2/1基本振動的實擦邊分岔線和虛擦邊分岔線，3/1基本振動的鞍結分岔線和周期倍化分岔線.2/1基本振動和3/1基本振動之間的轉遷特點以奇異點X2為臨界點.在l小于lX2的區域內，減小ω或增大l，2/1基本振動發生實擦邊分岔,產生3/1基本振動，一個激振力周期內，激振器M1與緩沖墊的碰撞次數增加一次.相反，3/1基本振動到2/1基本振動的分岔為鞍結分岔，一個激振力周期內，激振器M1與緩沖墊的碰撞次數減少一次.2/1基本振動的實擦邊分岔線和3/1基本振動的鞍結分岔線之間存在遲滯域，見圖3(a)中用HR2表示的區域.遲滯域內，系統存在2/1基本振動和3/1基本振動兩個周期吸引子共存的現象.圖4(c)為l=0.5時，2/1基本振動和3/1基本振動相互轉遷的雙向分岔圖.在l大于lX2的區域內，減小ω或增大l，2/1基本振動發生虛擦邊分岔，產生5/2周期振動.由于5/2=2/1+1/2，因此，5/2周期振動由2/1基本振動和1/2亞諧振動演化而來.繼續減小ω或增大l，5/2周期振動經實擦邊分岔轉遷為6/2周期振動，然后，系統經6/2周期振動的逆周期倍化分岔嵌入3/1基本振動的參數域內.當ω增大或l減小時，5/2周期振動經鞍結分岔轉遷為2/1基本振動.2/1基本振動的虛擦邊分岔線和5/2周期振動的鞍結分岔線之間存在遲滯域.遲滯域內，系統存在2/1基本振動和5/2周期振動兩個周期吸引子共存的現象.圖4(d)為l=15.0時，2/1基本振動和3/1基本振動相互轉遷的雙向分岔圖.圖5(a)和圖5(b)分別為l=0.5，系統分別呈現2/1基本振動和3/1基本振動時，激振器M1與緩沖墊相對運動的時間歷程圖.

圖3 低激振頻率區域的細化Fig.3 Detail diagram of low exciting frequency region

圖4 雙向分岔圖Fig.4 Two-way bifurcation diagrams

由圖2，圖3(a)和圖3(b)可見，系統在低激振頻率區域交錯出現了3/1基本振動和4/1基本振動的參數域.p/1基本振動的分岔特點以5/1基本振動的參數域為分界線.由前面的分析可以推斷，在5/1基本振動參數域的右邊區域，p/1(p=2,3,4)基本振動和(p+1)/1基本振動的參數域之間，都存在奇異點Xp.在二維參數(ω,l)平面內，Xp的位置隨著碰撞次數p的增大而升高.奇異點Xp是四條分岔線的交點，產生兩種類型的轉遷域：遲滯域和中間過渡區域.在l小于lXp的區域內，p/1基本振動和(p+1)/1基本振動經實擦邊分岔和鞍結分岔相互轉遷.p/1基本振動的實擦邊分岔線和(p+1)/1基本振動的鞍結分岔線沒有重合，兩條線之間形成了一定的遲滯域.遲滯域內，系統存在p/1基本振動和(p+1)/1基本振動兩個周期吸引子共存的現象.p/1(p=2,3,4)基本振動到(p+1)/1基本振動的分岔為實擦邊分岔.在2/1基本振動的參數域內，減小ω或增大l，系統依次發生三次實擦邊分岔.每穿越一次實擦邊分岔線，系統在一個激振力周期內的碰撞次數增加一次，依次呈現3/1,4/1和5/1基本振動.相反，(p+1)/1基本振動到p/1基本振動的分岔為鞍結分岔.在(p+1)/1基本振動的的參數域內，增加ω或減小l，激振器M1第p+1次沖擊緩沖墊的速度逐漸減小.在鞍結分岔線上，第p+1次沖擊速度減小至0，即在第p+1次沖擊瞬間，激振器M1與緩沖墊的速度相等.當ω或l穿越鞍結分岔線繼續變化時，第p+1次沖擊消失，系統在一個激振力周期內的碰撞次數減少一次，產生 p/1基本振動.只有在奇異點Xp(p＞1)，p/1基本振動和(p+1)/1基本振動之間的相互轉遷過程是連續而且可逆的.p/1基本振動的實擦邊分岔點與(p+1)/1基本振動的鞍結分岔點重合，p/1基本振動經實擦邊分岔轉遷為(p+1)/1基本振動，或者相反,(p+1)/1基本振動經鞍結分岔轉遷為p/1基本振動.

圖4 雙向分岔圖(續)Fig.4 Two-way bifurcation diagrams(continued)

圖5 相對運動的時間歷程圖Fig.5 Time series of relative motion

圖5 相對運動的時間歷程圖(續1)Fig.5 Time series of relative motion(continued 1)

圖5 相對運動的時間歷程圖(續2)Fig.5 Time series of relative motion(continued 2)

在l大于lXp的區域內，p/1基本振動和(p+1)/1基本振動的參數域之間存在一個中間過渡區域.中間過渡區域的右邊界線為p/1基本振動的虛擦邊分岔線，左邊界線為 (p+1)/1基本振動的周期倍化分岔線.中間過渡區域內，系統呈現 (2p+2)/2和(2p+1)/2周期振動等.其中，(2p+2)/2周期振動由(p+1)/1基本振動的周期倍化分岔產生，(2p+1)/2周期振動由p/1基本振動的虛擦邊分岔產生.由于(2p+1)/2=p/1+1/2，因此，(2p+1)/2周期振動由p/1基本振動和1/2亞諧振動演化而來，對應于p/1基本振動的碰撞次數p和1/2亞諧振動的激振力周期數n=2.(2p+1)/2周期振動和(2p+2)/2周期振動之間經實擦邊分岔和鞍結分岔相互轉遷.

在5/1基本振動參數域的左邊區域，出現了3/1基本振動和4/1基本振動的參數域，兩類基本振動的參數域交錯出現.p/1(p=3,4)基本振動到(p+1)/1基本振動的分岔為多重滑移分岔(multi-sliding bifurcation)，見圖 3(b)中的 S Bif.圖 5(c)為 l=0.5，ω=0.08，系統呈現3/1基本振動時，激振器M1和緩沖墊的相對位移時間歷程圖.一個激振力周期內，激振器M1三次沖擊緩沖墊.每次沖擊后瞬間，兩者黏滯運動，見圖5(c)中的水平直線.其中第三次沖擊后的黏滯運動時間最長.當ω增加至0.09附近時，第三次黏滯期內出現了激振器M1與緩沖墊短暫分離的現象，即所謂的隆起現象，見圖5(d)，使得系統在一個激振力周期內的碰撞次數和黏滯次數各增加一次，呈現4/1基本振動.Wagg在文獻[33]研究了兩自由度振動系統在黏滯期內的隆起現象，由此產生的分岔稱為Rising分岔，然后證明了Rising分岔在性質上與摩擦振動系統和繼電反饋系統中的多重滑移分岔相似.因此，圖3(a)中最左邊3/1基本振動和4/1基本振動的參數域之間分界線為3/1基本振動的多重滑移分岔線.ω繼續增加，第四次黏滯期內再次出現隆起現象，見圖5(e)，4/1基本振動經多重滑移分岔轉遷為5/1基本振動.ω進一步增加，第五次黏滯期逐漸縮短，最終趨向于0，系統發生鞍結分岔，使得一個激振力周期內的碰撞次數和黏滯次數各減少一次，產生4/1基本振動，見圖5(f).更進一步增加ω，第四次黏滯期逐漸縮短，最終趨向于0，4/1基本振動經鞍結分岔轉遷為3/1基本振動，見圖5(g).

3 系統參數對沖擊速度和漸進量的影響

為了更全面、更深入的認識圖1所示系統的動力學性能，需要研究系統參數對沖擊速度及滑塊漸進率的影響.圖6和圖7分別為激振器M1的沖擊速度和滑塊在有限時間內(t=300)的漸進量與系統參數(ω,l)的關聯關系圖.圖中，單碰周期振動的響應用黑色表示，其它類型周期振動和混沌的響應統一用灰色表示，各類周期振動的參數域在(ω,l)參數平面內的分布如圖2所示.由圖2，圖6和圖7可見，在3/1基本振動的參數域內，系統的沖擊速度和滑塊在有限時間內的漸進量最大.但是，3/1基本振動意味著系統在一個激振力周期內發生三次碰撞，是1/1基本振動的三倍.相同時間內的平均碰撞次數越多，引起不利的后果越明顯.因此，綜合考慮各方面因素，實際工程應用應優先選擇1/1周期振動的最大漸進量.l增大，存在1/1周期振動的ω區間略有增加，1/1周期振動沖擊速度的峰值和樁體在有限時間內(t=300)的最大漸進量略有減小.選擇合適的預壓量，并確定動力學參數的合理匹配規律，有利于使系統在較寬的激振頻率區間呈現穩定的1/1周期振動，從而獲取較大的瞬時沖擊速度和較好的漸進效果.

圖6 沖擊速度˙x1與參數(ω,l)的關聯關系Fig.6 Correlative relationship between impact velocity˙x1and parameters(ω,l)

圖7 滑塊的漸進量與參數(ω,l)的關聯關系Fig.7 Correlative relationship between progression of the slider and parameters(ω,l)

4 結論

本文以小型振動沖擊式打樁機為工程背景，建立了考慮緩沖墊和支撐介質黏彈性的沖擊漸進振動系統的力學模型.通過分析二維參數分岔得到在(ω,l)參數平面內，系統存在的各類周期振動的參數域及其分布規律.揭示了相鄰p/1類基本振動經實擦邊分岔、虛擦邊分岔、鞍結分岔或多重滑移分岔等非光滑分岔相互轉遷的規律，以及存在于其參數域臨界線上的奇異點和兩類轉遷域：遲滯域和中間過渡區域.

(1)在低激振頻率區域，系統主要呈現p/1(p=1,2,3,4)類基本振動，而且，3/1基本振動和4/1基本振動的參數域交錯出現.p/1基本振動的分岔特點以5/1基本振動的參數域為分界線.

(2)在5/1基本振動參數域的右邊區域，相鄰p/1類基本振動的參數域臨界線上，存在一個奇異點Xp.相鄰 p/1基本振動的分岔特點以奇異點Xp為臨界點.在l小于lXp的區域內，p/1基本振動經實擦邊分岔產生(p+1)/1基本振動，相反方向的分岔為鞍結分岔.實擦邊分岔線和鞍結分岔線之間存在遲滯域，遲滯域內，系統存在兩個周期吸引子共存的現象.在l大于lXp的區域內，相鄰 p/1基本振動的參數域之間存在一個中間過渡區域.中間過渡區域的邊界線為p/1基本振動的虛擦邊分岔線和(p+1)/1基本振動的周期倍化分岔線.中間過渡區域內，系統呈現(2p+2)/2和(2p+1)/2周期振動等.在5/1基本振動參數域的左邊區域，p/1基本振動經多重滑移分岔產生(p+1)/1基本振動.

(3)在3/1基本振動的參數域內，系統的沖擊速度和滑塊在有限時間內的漸進量最大.然而，實際工程應用應優先選擇1/1周期振動的最大漸進量.在設計和改造沖擊漸進機械設備時，通過多參數協同仿真分析可以確定動力學參數的合理匹配規律，有利于使系統工作于穩定的1/1周期振動，同時獲取較大的瞬時沖擊速度和更好的漸進效果.

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TRANSITION LAW OF ADJACENT FUNDAMENTAL MOTIONS IN VIBRO-IMPACT SYSTEM WITH PROGRESSION1)

L¨u Xiaohong?,?,2)Luo Guanwei??(School of Mechanical Engineering，Lanzhou Jiaotong University，Lanzhou 730070，China)
?(Key Laboratory of System Dynamics and Reliability of Rail Transport Equipment of Gansu Province，Lanzhou 730070，China)

The vibro-impact phenomena which widely exists in power mechanical system will make the system exhibit complex dynamic response.So far the research on stability and bifurcation of p/1 fundamental motions of vibro-impact system is still rare,and most studies of vibro-impact dynamics are based on single-parameter bifurcation analysis.In this paper,taking a small vibro-impact driver as engineering background,a mechanical model of a vibro-impact system with progressive motions is established.Types of impact between the vibration exciter and the cushion,and conditions of progressive motions of the slider are analyzed.Judgment conditions and motion equations of four probable motion states presented by the system are put forward.Based on bifurcation analysis of two-dimensional parameters,existence regions and distribution laws of di ff erent types of periodic motions of the system are obtained in the(ω,l)parameter plane.Transition laws of adjacent p/1 fundamental motions are analyzed in detail.In the right region of the existence region of 5/1 fundamental motion,there exists a singular point Xpon the boundary between adjacent regions of p/1 fundamental motions,which is the critical point of bifurcation characteristics of adjacent p/1 fundamental motions.In the region with l less than lXp,adjacent p/1 fundamental motions are transited mutually by real-grazing bifurcation and saddle-node bifurcation.Two periodic attractors can coexist in the hysteresis region,which exists between real-grazing bifurcation boundary and saddle-node bifurcation boundary.In the region with l more than lXp,there exists a transition region between adjacent regions of p/1 fundamental motions.The system exhibits(2p+2)/2 and(2p+1)/2 motions in the transition region.In the left region of the existence region of 5/1 fundamental motion,p/1 fundamental motion transits to(p+1)/1 fundamental motion via multi-sliding bifurcation.

non-smooth system，vibro-impact，progression，periodic motion，bifurcation

O322,TH113.1

A

10.6052/0459-1879-17-037

2017–02–13收稿，2017–06–08 錄用,2017–06–22 網絡版發表.

1)國家自然科學基金(11362008,11462012)和蘭州市人才創新創業計劃(2014-RC-33)資助項目.

2)呂小紅,副教授,主要研究方向:非線性動力學.E-mail:lvxh@mail.lzjtu.cn

呂小紅,羅冠煒.沖擊漸進振動系統相鄰基本振動的轉遷規律.力學學報,2017,49(5):1091-1102

Lu¨ Xiaohong,Luo Guanwei.Transition law of adjacent fundamental motions in vibro-impact system with progression.Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics,2017,49(5):1091-1102