中心自同構幾乎是內自同構的有限p-群

張博儒,郭秀云

中心自同構幾乎是內自同構的有限p-群

張博儒,郭秀云

(上海大學理學院,上海200444)

有限p-群G的中心核K(G)是G的每一中心自同構都不變的全體元素所構成的子群.如果G是冪零類為2的p-群,首先給出了|Autc(G):Inn(G)|與|Z(G):K(G)|相等的充分必要條件，其次研究了|Autc(G):Inn(G)|與|Z(G):K(G)|相差一個p的倍數的條件.

中心自同構;中心核;內自同構

本工作中所討論的群都是有限群,且p恒表示素數.

群G的一個自同構α稱為G的一個中心自同構.如果α與G的每一內自同構可交換或等價,則對于G的任意元素x都有x?1xα∈Z(G).顯然,群G的所有中心自同構構成G的自同構群Aut(G)的一個正規子群,記為Autc(G).因而一個自然的問題是:什么樣的群能滿足Autc(G)=Aut(G)?實際上,這個問題已經被許多學者關注[1-4].進一步,Curran等[5]研究了滿足條件Autc(G)=Inn(G)的p-群,并對于p-群G給出了Autc(G)=Inn(G)的充分必要條件.這里,p-群G的冪零類為2當且僅當Inn(G)≤Autc(G).本工作將在Inn(G)≤Autc(G)的前提下,研究指數|Autc(G):Inn(G)|和指數|Z(G):K(G)|的關系.實際上,對于p-群G,顯然Inn(G)≤Autc(G)當且僅當K(G)≤Z(G),這里

稱為群G的中心核.注意到G′≤K(G),證明如下.

設G是冪零類為2的非交換p-群.|Autc(G):Inn(G)|=|Z(G):K(G)|當且僅當Z(G)是循環群.

進一步地，考慮|Autc(G):Inn(G)|/|Z(G):K(G)|=p的情形.

1 預備知識

如果一個非交換群G沒有非平凡的交換的直因子,則稱G為純非交換群.顯然,一個非交換p-群G的中心Z(G)循環,那么G一定是一個純非交換p-群.用Hom(G,H)表示群G到交換群H的全體同態映射所成的群,用Cm表示階為m的循環群,r(G)為群G的秩.如果G 是一個p-群,則 ?i= 〈x ∈ G|xpi=1〉,

引理1[5]設G是冪零類為2的p-群.

(1)G′≤Z(G);

(2)exp(G′)=exp(G/Z(G));

(3)如果exp(G′)=pc，則存在交換群C 使得G/Z(G)～=Cpc×Cpc×C.

引理2 設G為純非交換p-群.|Autc(G)|=|Hom(G/K(G),Z(G))|.

證明 根據文獻[6]可知,對于純非交換p-群G,|Autc(G)|=|Hom(G,Z(G))|,即對于任意的σ∈Autc(G)和任意的g∈G,都存在fσ(g)=g?1σ(g)使得fσ∈Hom(G,Z(G))與σHom(G/K(G),Z(G)),故|Autc(G)|=|Hom(G/K(G),Z(G))|.

引理3[5]設Cn,Cm和Cd分別是階為n,m和d的循環群.如果d=gcd(m,n),則

引理4[7]設A,B和C為交換群.

(1)Hom(A×B,C)?Hom(A,C)×Hom(B,C);

(2)Hom(A,B×C)?Hom(A,B)×Hom(A,C).

引理5[5]設A和B為交換p-群且C,D分別為A和B的子群(商群),則Hom(C,D)同構于Hom(A,B)的一個子群. 更進一步地,令 pm= min{|A|/|C|,|B|/|D|},則

引理6[5]設G=A×N,其中A為交換p-群且A/=1,N 為純非交換p-群.如果Inn(G)≤ Autc(G),則 |Autc(G):Inn(G)|＞ p2.

引理7 設G是冪零類為2的純非交換p-群且G/Z(G),G′,K(G),Z(G)的秩分別為t,d,s,z,則

證明 引理7的(1),(2)可從文獻[5]得到.由于exp(G/Z(G))=exp(G′)≤exp(K(G)),又由 r(K(G))=s,r(G/Z(G))=t,得 |Hom(G/Z(G),K(G))|≥ |G/Z(G)|pr(s?1).(4)可由引理5得.(5),(6)可由(2),(3),(4)得.

引理8[5]設A,B分別為交換p-群和循環p-群.如果exp(A)≤exp(B),則Hom(A,B)?A.

引理 9[5]設G是冪零類為2的p-群.如果Z(G)循環,則 |Autc(G):Inn(G)|=|Z(G):G′|.

引理10 設A,B分別是階為pt和ps的循環群.

式中,

證明 為方便設A=〈a〉,B=〈b〉.如果t＞s,則存在A到B的同態映射進而ker(f)= 〈aps〉,故 ker(Hom(A,B))≤ 〈aps〉. 又對于任意 σ ∈ Hom(A,B),顯然有 A/ker(σ)～=σ(A)≤ B,故 pt?s=|A|/|B|≤ |A|/|σ(A)|=|ker(σ)|. 又由于循環群 A 有唯一的 pt?s階子群 〈aps〉,故 〈aps〉≤ ker(σ). 進而 〈aps〉≤ ker(Hom(A,B)),故 ker(Hom(A,B))= 〈aps〉. 如果t≤s,則存在A 到B 的同態映射易得ker(f)=1,故ker(Hom(A,B))=1.

引理11 如果A,B,C為交換群,則

(1)ker(Hom(A×B,C))≥ker(Hom(A,C))×ker(Hom(B,C));

(2)ker(Hom(A,B×C))=ker(Hom(A,B))∩ker(Hom(A,C)).

證明 (a)設g=(a,b)∈ker(Hom(A,C))×ker(Hom(B,C)).根據引理4中的(1),對于任意α ∈ Hom(A×B,C),都存在 α1∈ Hom(A,C),α2∈ Hom(B,C)使得(a,b)α=aα1bα2,故 gα=(a,b)α=aα1bα2=1.所以 (1)成立.

(b)設a∈ker(Hom(A,B))∩ker(Hom(A,C)).根據引理4中的(2),對于任意α∈Hom(A,B ×C),都存在 α1∈ Hom(A,B), α2∈ Hom(A,C),使得 aα=(aα1,aα2).因此aα=(aα1,aα2)=(1,1),從而 ker(Hom(A,B))∩ker(Hom(A,C))≤ ker(Hom(A,B ×C)).反之,對任意a∈ker(Hom(A,B×C)),根據引理4中的(2),對任意α1∈Hom(A,B),α2∈Hom(A,C),都存在 α ∈ Hom(A,B ×C)使得 (aα1,aα2)=aα.因此 (aα1,aα2)=aα=(1,1),從而ker(Hom(A,B×C))≤ker(Hom(A,B))∩ker(Hom(A,C)),ker(Hom(A,B×C))=ker(Hom(A,B))∩ker(Hom(A,C)).

由于

故由情形1,2知,|Autc(G):Inn(G)|/|Z(G):K(G)|≥p2.

證明 根據文獻[10]可得.

引理15 設G是冪零類為2的純非交換p-群,K(G)為pt階循環群且r(Z(G))=z.|Autc(G):Inn(G)|/|Z(G):K(G)|≥ pz?1.

證明 由于cl(G)=2,故Inn(G)≤Autc(G),于是K(G)≤Z(G).可設Z(G)?Cpt+e1×Cpe2×···×Cpez.又由于G是純非交換p-群,則根據引理2與4可知,

|Hom(G/K(G),Cpt+e1)|≥|Hom(G/S(G),Cpt+e1)|=|G/S(G)|=|G/Z(G)|pe1=pt+e1.又由于r(G/K(G))≥r(G/Z(G))≥2,則對于任意2≤i≤z,|Hom(G/K(G),Cpei)|≥pei+1.故 |Hom(G/K(G),Z(G))|≥ |G/Z(G)|pe1+e2+···+ez+z?1, 從而 |Autc(G):Inn(G)|/|Z(G):K(G)|≥ pz?1.

2 主要結果

定理1 設G是冪零類為2的非交換p-群,則|Autc(G):Inn(G)|=|Z(G):K(G)|當且僅當Z(G)是循環群.

證明 充分性.由于Z(G)循環,故G是純非交換p-群.由于cl(G)=2,故Inn(G)≤Autc(G),進而 K(G)≤ Z(G),由引理 1得,exp(G/Z(G))=exp(G′)|Z(G)/K(G)|≤exp(K(G))|Z(G)/K(G)|=exp(Z(G)).于是由引理2與8可知,|Autc(G)|=|Hom(G/K(G):Z(G))|=|G/K(G)|,故|Autc(G):Inn(G)|=|Z(G):K(G)|.

必要性.令|Autc(G):Inn(G)|=|Z(G):K(G)|.根據引理13可知,G為純非交換p-群.于是由引理7中的(5)可知,r(K(G))=1,即K(G)為循環群,故根據引理15可知,Z(G)是循環群.

推論1 設G是冪零類為2的非交換p-群.若Z(G)循環,則K(G)=G′.

證明 由引理9和定理1可知,|Z(G):K(G)|=|Z(G):G′|.又G′≤ K(G),故G′=K(G).

推論2 設G是非交換p-群.Autc(G)=Inn(G)當且僅當Z(G)=G′且Z(G)循環.

證明 充分性.由定理1充分性顯然.

必要性.由于Autc(G)=Inn(G),根據引理6得,G是純非交換p-群.又由引理7中的(6)知,Z(G)循環.由定理1和推論1可知,Z(G)=G′.

定理 2 設G是冪零類為2的非交換p-群,|Z(G):K(G)|=pe,則|Autc(G):Inn(G)|/|Z(G):K(G)|=p當且僅當G滿足下列條件之一.

(1)K(G)=G′是階為pc的循環群,Z(G)?Cpc+e?1×Cp,G/K(G)?Cpc+e×Cpc;

(2)K(G)=G′是階為p的循環群,Z(G)?Cp1+e1×Cpe2,G/K(G)?Cp1+e×Cp(e1+e2=e,e2≥2).

證明 必要性.由于|Autc(G):Inn(G)|/|Z(G):K(G)|=p,故由引理13和引理7中的(5)知,G為純非交換p-群且K(G)為循環群.不妨令K(G)?Cpt.根據引理15和定理1可知,r(Z(G))=2.又K(G)≤Z(G),故可設Z(G)?Cpt+e1×Cpe2.于是

充分性.首先證G為純非交換p-群.若否,則不妨設G=A×B,其中A為交換p-群且A/=1,B 為純非交換 p-群.由于 K(G)=G′=B′,故 G/K(G)=G/G′=AB′/B′×B/B′.又因為r(B/B′)≥2且r(G/K(G))=2,所以AB′/B′=1.于是A=1,與假設矛盾,故G是純非交換p-群.

再證|Autc(G):Inn(G)|/|Z(G):K(G)|=p.如果Z(G)? Cpc+e?1×Cp,G/K(G)?Cpc+e×Cpc,則根據引理3和4可知,|Autc(G)|=|Hom(G/K(G),Z(G))|=|Hom(Cpc+e×Cpc,Z(G))|=p2c+e+1.又由于|Z(G):K(G)|=pe,|G/Z(G)|=p2c,則|Autc(G):Inn(G)|/|Z(G):K(G)|=p.如果Z(G)?Cp1+e1×Cpe2,G/K(G)?Cp1+e×Cp(e1+e2=e,e2≥2),則根據引理3和4可知,|Autc(G)|=|Hom(G/K(G),Z(G))|=|Hom(Cp1+e×Cp,Cp1+e1×Cpe2)|=pe+3.又由于|Z(G):K(G)|=pe,|G/Z(G)|=p2,故|Autc(G):Inn(G)|/|Z(G):K(G)|=p.

推論3 設G為非交換p-群.如果|Autc(G):Inn(G)|=p2,則群G具體如下.

(1)如果|Z(G):K(G)|=p2,則 Z(G)是循環群;

(2)如果|Z(G):K(G)|=p,則 Z(G)不循環,K(G)循環且G/K(G),Z(G)的秩為2;

(3)如果Z(G)=K(G),則K(G)不循環.

證明 由引理7、定理1和2易得.

[1]CURRAN M J.A non-Abelian automorphism group with all automorphisms central[J].Bull Austral Math Soc,1982,26:393-397.

[2]GLASbY S P.2-groups with every automorphism central[J].J Austral Math Soc Ser A,1986,41:233-236.

[3]MORIGI M.On the minimal number of generators of f i nite non-Abelian p-groups having an Abelian automorphism group[J].Comm Algebra,1995,23(6):2045-2065.

[4]趙立博,郭秀云.特定階的子群都同構且交換的有限p-群[J].應用數學與計算數學學報,2013,27(4):517-521.

[5]CURRAN M J,MC CAUGHAN D J.Central automorphisms that are almost inner[J].Comm Algebra,2001,29(5):2081-2087.

[6]ADNEYJ E,YEN T.Automorphisms of a p-group[J].Illinois J Math,1965,9:137-143.

[7]SHARMA M,GUMbER D.On central automorphisms of f i nite p-groups[J].Communications in Algebra,2013,41:1117-1122.

[8]俞曙霞.有限交換p群的自同構群[J].廣西大學學報(自然科學版),1983,25(2):90-95.

[9]BIDwELL J N S,CURRAN M J,MC CAUGHAN D J.Automorphisms of direct products of f i nite groups[J].Arch Math,2006,86:481-489.

[10]AN L J,DING J F,ZHANG Q H.Finite self dual groups[J].J Algebra,2011,341:35-44.

Finite p-groups with central automorphism almost being inner automorphism

ZHANG Boru,GUO Xiuyun
(College of Sciences,Shanghai University,Shanghai 200444,China)

Let G be a f i nite p-group and let K(G)be a subgroup of G consisting of all elements in G f i xed by every central automorphism in G.A necessary and sufficient condition is given on|Autc(G):Inn(G)|=|Z(G):K(G)|for a f i nite p-group G of class 2.The condition for|Autc(G):Inn(G)|=p|Z(G):K(G)|is also studied.

central automorphism;central kernel;inner automorphism

O 152.1

A

1007-2861(2017)05-0714-08

10.12066/j.issn.1007-2861.1744

2016-01-06

國家自然科學基金資助項目(11371237)

郭秀云(1956—),男,教授,博士生導師,研究方向為有限群論.E-mail:xyguo@staf f.shu.edu.cn