基于沖擊模型的含間隙高速凸輪機構動力學分析

何雪明 - 何 楷 武美萍 - 紀小剛 -

(江南大學江蘇省食品先進制造裝備技術重點實驗室，江蘇 無錫 214122) (Jiangsu Key Laboratory of Advanced Food Manufacturing Equipment and Technology, Wuxi, Jiangsu 214122, China)

基于沖擊模型的含間隙高速凸輪機構動力學分析

何雪明HEXue-ming何 楷HEKai武美萍WUMei-ping紀小剛JIXiao-gang

(江南大學江蘇省食品先進制造裝備技術重點實驗室，江蘇 無錫 214122) (JiangsuKeyLaboratoryofAdvancedFoodManufacturingEquipmentandTechnology,Wuxi,Jiangsu214122,China)

為了提高含間隙高速凸輪機構動態性能。采用二狀態沖擊副模型模擬凸輪和從動件間的間隙，構建考慮阻尼的含間隙凸輪機構動力學模型。以擺線凸輪曲線為激振函數，采用有限差分法求解動力學方程。對含間隙動力學模型進行時域和頻域分析，繪制相應的加速度時域和頻域響應圖譜，得出了阻尼比、周期比對動態響應的影響，并對常用的幾種高速凸輪曲線進行動力學分析。得出：間隙存在會導致系統響應精度變差；間隙對從動件升程加速段的影響較小；對減速段和休止期影響較大；傳統理論在間隙動力學中的應用存在局限性。

含間隙高速凸輪機構；動力學模型；時域分析；頻域分析

凸輪機構由于其分度精度高、運轉平穩、體積小等特點，在自動機械中被廣泛應用，如洗瓶機、灌裝機、自動包裝機等[1-3]。高速凸輪機構廣泛應用于內燃機、印刷、紡織等自動或半自動機械中。由于加工誤差和磨損的影響，間隙的存在不可避免，另一方面，間隙可貯存潤滑脂、降低溫度對配合精度的影響，所以間隙的存在也是必要的。近年來，凸輪機構動力學動態特性逐漸被重視，并獲得了大量新的研究成果。Senevirantne等[4]提出了模擬間隙的二狀態沖擊副模型，在動力學分析中廣泛得到應用；郭杏林等[5-6]在考慮間隙情況下，對平面連桿機構進行分析；Koster等[7]在考慮間隙情況下，構建多自由度凸輪機構模型，取得了較好的研究效果；常宗瑜等[8-9]對含間隙凸輪機構進行試驗研究，驗證了以往動力學模型的正確性。本研究將多自由度含間隙高速凸輪機構等效簡化為單自由度系統，并分析了阻尼、周期比和凸輪曲線對含間隙單自由度系統動態響應的影響。

1 含間隙凸輪機構橫越沖擊現象

凸輪機構運動時，因間隙的存在，從動件在凸輪槽中會發生失去接觸的現象，待再次接觸時會產生碰撞，引起劇烈振動，并產生噪聲。碰撞時速度、加速度和接觸力可能是無間隙狀態下的幾倍或者幾十倍，是影響機械運轉速度提高的關鍵因素之一。圖1為幾何封閉的移動凸輪：主動件凸輪左右運動，從動件上下運動。圖1中的A、B為凸輪槽的2個面。在凸輪高速運轉情況下，慣性載荷為整個機構載荷的主要部分，凸輪槽和從動件滾子之間僅有慣性載荷的作用。從動件升程中，速度先升后降，加速度先正后負。在加速階段，從動件滾子與凸輪的A面接觸；當加速度為零時，接觸處的力消失；滾子以該瞬時的速度開始飛越槽中的間隙，與輪槽的B面碰撞，即橫越沖擊現象。為了詳細研究間隙存在下的橫越沖擊現象，下面對橫越沖擊現象發生的原理及影響因素進行研究。

圖1 凸輪機構橫越沖擊現象Figure 1 Cross impact on cam mechanism

從動件升程中，設在時間t=tm時，從動件加速度開始變化，此時速度達到最大值vmax，滾子以此速度離開A面與槽分離，從動件靠其慣性以速度vmax運動。設滾子穿越間隙所需時間為△t；則經過時間△t間隔在tm+△t時刻，從動件以直線運動到輪槽的B面上，此時凸輪在垂直方向的速度仍按預設從動件速度曲線變化，該瞬時的速度設為vc，從動件的速度仍可認為是vmax。則碰撞速度為：

vimp=vmax-vc。

(1)

將預設的從動件速度vc按泰勒級數展開：

(2)

在t=tm時加速度及其速度為：a(tm)=0,v(tm)=vmax。

j(tm)為t=tm時刻預設從動件運行的躍度值，則可得碰撞速度可近似計為：

(3)

設間隙值為γ，穿越時間為△t，預設從動件的速度為v，則有：

(4)

將式(4)積分后的位移用泰勒級數展開有：

(5)

因為a(tm)=0,v(tm)=vmax，所以式(5)可化簡為：

(6)

可得：

(7)

將式(7)代入式(3)，可得碰撞速度為：

(8)

將式(8)無因次化處理可得無因次碰撞速度Vimp為：

(9)

式中：

h——從動件升程總位移，m；

th——升程周期，s。

無因次躍度值為：

(10)

將式(9)、(10)代入式(8)可得：

(11)

式中：

Γ——無因次化處理后的間隙，m。

Γ計算公式見式(12)。

(12)

分析式(11)可得影響橫越沖擊現象碰撞速度的主要因素有：

(1) 凸輪槽的間隙值。碰撞速度隨間隙的增大而增大，因此控制凸輪槽的公差及磨損。

(2) 加速度變化點的躍度值。碰撞速度與加速度變化點的躍度值的立方根呈正比，因此對幾何封閉高速凸輪設計時，要對凸輪曲線加速度變化點附近的躍度值進行計算，以便減小間隙引起的橫越沖擊現象的碰撞速度。

2 含間隙凸輪機構動力學模型

對于含間隙凸輪機構動力學研究采用如下研究方法，首先構建動力學模型，建立相應動力學方程，再求解，分析結果。構建含間隙的動力學模型，需要對間隙進行模擬，模擬的方法很多，此處采用Dubowsky二狀態沖擊副模型模擬間隙，將該模型引入到動力學模型中，建立含間隙動力學模型。最后根據該模型建立相應的方程，進行求解計算。

二狀態沖擊副模型將運動副元素之間的關系分為分離和接觸變形2種狀態，具體模型見圖2。在運動過程中，運動副元素交替處于接觸和自由2種狀態，計入運動副元素的接觸表面彈性和阻尼。當-γ≤x-s≤γ時，從動件處于自由振動狀態，此時凸輪和從動件間的接觸力為0；若x-s≥γ或者x-s≤-γ時，凸輪和從動件接觸，這時阻尼和構件剛度開始起作用，產生接觸力。綜上可得到接觸力變化趨勢，見圖3。

將二狀態沖擊副模型引入到凸輪機構動力模型，見圖4，可得含間隙凸輪機構動力學模型。因為實際工況中凸輪和從動件間的阻尼系數(c1)一般遠小于從動件和機架間的阻尼系數(c)，為了計算簡便，忽略凸輪和從動件間的阻尼系數(c1)，只考慮機架間的阻尼系數(c)。根據含間隙動力學模型，對機構進行力學分析可得含間隙動力學方程，見式(13)。

m. 凸輪從動件 A、B. 分別為凸輪槽的兩端γ. 輪槽與凸輪從動件間的間隙s. 預設的從動件運動規律x. 從動件實際響應的運動規律k. 凸輪和從動件之間的接觸剛度系數C1. 凸輪和從動件之間的阻尼比

圖2 二狀態沖擊副模型

Figure 2 Two states impact pair model

圖3 接觸力變化Figure 3 The variation of contact force

圖4 含間隙動力學模型Figure 4 Dynamic model with clearance

(13)

式(13)中f(x-s)表達式為：

(14)

式中：

x——從動件實際運動位移，m；

s——從動件理想運動位移，m；

k——系統的等效剛度，N/m；

m——系統的等效質量，g；

c——從動件與機架阻尼系數。

(15)

式中：

h——從動件升程總位移，m；

th——升程周期(反映了凸輪的轉速)，s；

聯立式(13)、(15)，可得無因次含間隙動力學方程見式(16)。

(16)

式(16)中f(X-S)表達式見式(17)。

(17)

3 動力學方程有限差分法求解

擺線凸輪曲線因其良好的動力學性能，在中高速凸輪中廣泛應用，現以擺線凸輪曲線作為例子，對凸輪機構的動力學響應進行分析，擺線凸輪曲線的無因次位移方程見式(18)。

(18)

圖5 有限差分法數學模型Figure 5 Mathematical model of finite difference method

(19)

(20)

(21)

X2=X1+△X。

(22)

系統總響應方程式(16)可改寫為式(23)：

(23)

式(23)位移增量可由式(24)表示：

(24)

速度增量可由式(25)表示：

(25)

將式(24)、(25)代入式(23)可得：

(26)

采用有限差分法求解上節動力學方程，有限差分法求解動力學方程的計算機求解流程見圖6。

圖6 有限差分法計算流程Figure 6 Calculation flow of finite difference method

4 含間隙高速凸輪機構動力學分析

4.1 含間隙高速凸輪機構時域分析

由圖7～8可知，在主振動階段，一方面隨著阻尼的增大，間隙橫越沖擊現象越弱，這時阻尼減小了從動件和凸輪間的相對速度，從而消耗一部分碰撞能量，對構件起到了一定的保護作用。另一方面阻尼的存在又使運動發生滯后性，與前面研究是一致的。在殘余振動階段，阻尼可以削減主振動留下的能量，減小殘余振動階段從動件橫越沖擊次數和振幅，有利于凸輪機構進入休止期的平穩性。

因此阻尼除了具有無間隙動力學分析的優缺點外，在含間隙凸輪機構中還具有削弱橫越沖擊現象的優點，對于大周期比系統可以適當地增大阻尼以減小間隙的影響。總之，不管是在無間隙凸輪機構還是含間隙凸輪機構，阻尼都是一個重要的參數，在設計時必須慎重考慮，權衡其優缺點。

圖7 不同阻尼比擺線加速度響應Figure 7 Cycloidal acceleration response with different damping ratio

圖8 不同阻尼比擺線加速度響應誤差對比Figure 8 Error comparison of cycloidal acceleration response with different damping ratio

4.2 含間隙高速凸輪機構頻域分析

為了考查阻尼對含間隙凸輪機構運轉平穩性的影響，確定凸輪機構合適的轉速范圍，對含間隙凸輪機構進行頻域分析，在無因次間隙Γ=0.001情況下，分別繪制阻尼比η=0.500,0.050,0.005，加速度頻域響應圖譜，見圖9。

由圖9可知，無論是主振動階段還是殘余振動階段，周期比較小時，加速度的頻域響應呈現無間隙狀態下的波浪式衰減規律，但當周期比增大后，響應振幅沒有繼續衰減，而是呈現無序性波動，有的周期比的響應振幅甚至比小周期比狀態下都大，由此可得間隙對大周期比凸輪機構影響較大，與上節時域分析結果是一致的。另外，阻尼在一定程度上減小間隙橫越沖擊現象，減小振幅變化規律的無序性。

5 凸輪曲線對含間隙凸輪機構動態響應影響

前面以擺線凸輪曲線作為算例，對含間隙凸輪機構進行了頻域和時域分析，為了更好地研究不同凸輪曲線在含間隙凸輪機構中的動力學響應特性，在阻尼比η=0.05，周期比γ=5，無因次間隙Γ=0.001情況下，選取幾種有代表性的高速凸輪常用的凸輪曲線進行研究，其時域和頻域響應圖譜見圖10～13。

圖9 不同阻尼比擺線加速度頻域響應Figure 9 Frequency response of cycloidal acceleration with different damping ratio

為了方便對比分析，選取主振動階段加速度最大響應誤差和殘余振動階段加速度最大振幅作為評價響應精度的特性參數，具體計算值見表1。

通過對圖10～13及表1分析可得，不同凸輪曲線在含間隙凸輪機構中動力學響應差距較大，但在無間隙凸輪機構中動力學性能較好的，在含間隙凸輪機構依然表現出良好的性能。在以上所考查的凸輪曲線中，蓋特曼1-3凸輪曲線的動力學響應精度較差，擺線和標準多項式凸輪曲線較好。對于標準多項式凸輪曲線，隨著次數的升高，殘余加速度最大振幅逐漸減小，也就是越能平穩進入休止期，從這點來說，傳統對于多項式兩端可導次數越高，凸輪動力學性能越好的理論是正確的。但是對于主振動階段加速度響應最大誤差并未隨著兩端可導次數的升高而下降，可見傳統理論在間隙動力學中是存在局限的。

圖10 3-4-5多項式凸輪曲線時域響應和頻域響應Figure 10 Time domain response and frequency domain response of 3-4-5 polynomial cam curves

圖11 4-5-6-7多項式凸輪曲線時域響應和頻域響應Figure 11 Time domain response and frequency domain response of 4-5-6-7 polynomial cam curves

圖12 5-6-7-8-9多項式凸輪曲線時域響應和頻域響應Figure 12 Time domain response and frequency domain response of 5-6-7-8-9 polynomial cam curves

圖13 蓋特曼1-3凸輪曲線時域響應和頻域響應Figure 13 Time domain response and frequency domain response of 1-3 polynomial cam curves

6 結論

(1) 間隙存在會導致從動件在凸輪槽中發生橫越沖擊現象，導致系統響應精度變差。間隙變大使系統沖擊變大，動力響應幅值變大，會使凸輪磨損加快。動力間隙的存在對大周期比系統的影響要比小周期比系統影響大，也就是說對低速、大剛度機構影響更為嚴重，周期比越大該現象越明顯。

表1 凸輪曲線響應精度對比Table 1 Comparison of response accuracy of cam curves

增大阻尼可以減輕此現象，但阻尼使響應精度變差；阻尼的存在使主響應階段動力學響應滯后，但可以加快殘余振動階段振動的衰減。

(2) 間隙對從動件升程加速段的影響較小，對減速段和休止期影響較大。間隙的存在使凸輪機構在大周期比狀態頻域響應呈現無序性，對該范圍內運行的凸輪機構要進行動力學分析，確定合適的運行速度，以便使其運動更加平穩。

(3) 對常用的幾種高速凸輪曲線進行動力學分析，結果發現，傳統對于凸輪曲線應用的理論存在一定的局限性，為凸輪曲線選取提供一定的指導。

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Dynamicanalysisofhighspeedcammechanismwithclearancebasedonimpactmodel

In order to improve the dynamic performance of cam mechanism with high clearance. The two-state impact sub-model is used to simulate the gap between the cam and the follower to construct the dynamic model of the gripping cam mechanism considering the damping. The finite difference method is used to solve the dynamic equation with the cycloidal cam curve as the excitation function. The time domain and frequency domain analysis of the gap dynamics model are carried out, and the corresponding acceleration time domain and frequency domain response map are drawn. The influence of the damping ratio and the cycle ratio on the dynamic response is obtained. Then, several high speed cam curves are kinetics analysis. It is concluded that the existence of the gap will lead to the deterioration of the response accuracy of the system. The effect of the gap on the accelerating section of the follower is small, which has a great influence on the deceleration and deceleration period. The application of traditional theory in gap dynamics is limited.

high speed cam mechanism with clearance; dynamic model; time domain analysis; frequency domain analysis

何雪明(1966—)，男，江南大學教授，博士。

E-mail：hxuem2003@163.com

2017—06—01

10.13652/j.issn.1003-5788.2017.09.018