離散時間下可多重休假的冷貯備可修系統的可靠性分析

張娜+劉亞春

摘 要：在時間參數為離散的條件下，研究修理工可多重休假和轉換開關完全可靠的兩不同型部件的冷貯備可修系統。假設兩不同部件的壽命均服從幾何分布、修理工的維修時間和休假時間均服從一般離散型分布，引入三維離散向量，建立新的馬爾科夫過程，建立模型，并利用Z變換進行求解，求得系統的穩態可用度、穩態失效頻度、穩態等待維修概率、穩態修理工空閑的概率和休假概率、可靠度和首次平均故障前時間。

關鍵詞：離散時間；多重休假；離散向量；Z變換

中圖分類號：O21 文獻標志碼：A 文章編號：2095-2945（2017）33-0033-04

引言

在實際工作和工程實踐中，人們會經常定期檢測系統、維修或更換部件，因此部件的壽命和維修時間等統計量并非是連續的隨機變量，而應看作非負整數值的離散型隨機變量序列[1]。此外，貯備系統在可修系統中是很重要的一類系統，分為溫貯備和冷貯備，冷貯備是指在貯備期間部件不會發生惡化和貯備故障，貯備部件的更換是通過轉換開關瞬間完成的。在上述模型基礎上，再結合上修理工可多重休假將更符合實際情況。目前，諸多學者對連續型時間的可修系統研究得更加透徹，對于離散型時間的可修系統研究得較少。針對離散型時間的不可修系統，C. Bracquemond[2]對離散時間的不可維修系統的可靠性進行了綜述。針對離散時間的可維修系統，楊懿、王立超等人[3-5]利用Markov更新過程和隨機過程，建立了系統狀態轉移模型，分別研究了離散時間下單部件可修系統、修理延遲的單部件可修系統和串聯可修系統，他們的研究拓寬了離散時間下的可靠性理論。余 妙[6]和姜紅燕[7]利用補充變量法和Z變換，分別研究了離散時間下單重休假的可修系統、單重休假的溫貯備系統，為離散時間下的可修系統提供了一種較好的思路。

鑒于前人的文獻，本文對離散時間下可多重休假的兩不同部件冷貯備系統進行研究，提出了三維離散向量，分析系統的狀態轉移關系，建立模型，該研究更加豐富和完善了離散時間下可修系統的可靠性理論。

1 模型假設

（1）系統由兩個不同部件、一個修理工和一個完全可靠的轉換開關組成。當且僅當系統中至少有一個部件工作時，系統可正常工作，否則，系統失效。

（2）兩個部件的壽命？孜分別均服從參數為qi的幾何分布，即

（3）兩個部件在冷貯備期間，既不會發生貯備故障、也不會惡化。

（4）兩個部件因工作發生故障的維修時間？濁均服從一般離散分布，即

記其母函數 ，平均維修時間 。

令 ，定義維修工單位時間內的修復率？子k為

其中可知 。

（5）在初始時刻，兩個部件均是正常工作的，其中一個部件工作，另一個部件處于冷貯備狀態，修理工開始休假，當一次休假結束后，若系統中的兩個部件，一個正常工作，一個仍處于冷貯備狀態，那么修理工將繼續進行下一次休假；當系統中至少有一個部件出現故障，修理工結束休假后，立即工作，對故障部件進行維修，其中遵循先壞先修的原則，且故障部件均可修復如新。設修理工的休假時間？酌服從一般離散分布，即

記其母函數 ，平均休假時間 。

令 ，定義修理工單位時間內的休假結束率vk為

其中可知 。

（6）當一個工作部件發生故障后，通過轉換開關，冷貯備部件立即工作。當冷貯備部件也發生工作故障時，若前一個故障部件已修復如初，通過轉換開關，立即替換故障部件正常工作；若前一個故障部件還沒修復或修復未完成，則冷貯備部件等待修理，系統處于故障狀態。

（7）兩部件的壽命、修理工的維修時間和休假時間均相互獨立。

2 系統狀態分析

根據模型假設，可知系統共有9個不同的狀態：

狀態0：k時刻，部件1在工作，部件2冷貯備，修理工休假，系統工作。

狀態1：k時刻，部件2在工作，部件1冷貯備，修理工休假，系統工作。

狀態2：k時刻，部件1在工作，部件2發生故障，修理工休假，系統工作。

狀態3：k時刻，部件2在工作，部件1發生故障，修理工休假，系統工作。

狀態4：k時刻，部件1和2均發生故障，修理工休假，系統故障。

狀態5：k時刻，部件1在工作，部件2在修理，系統工作。

狀態6：k時刻，部件2在工作，部件1在修理，系統工作。

狀態7：k時刻，部件1在修理，部件2在等待修理，系統故障。

狀態8：k時刻，部件2在修理，部件1在等待修理，系統故障。

在上面的9個狀態中，系統的狀態集E={0，1，2，3，4，5，6，7，8}，其中系統工作的狀態集W={0，1，2，3，5，6}，系統故障的狀態集F={4，7，8}。用N（k）表示系統在時刻k（k=0，1，2，…） 所處的狀態，很明顯，N（k）是隨機過程，是非Markov過程。我們引入離散向量，即補充變量法：當N（k）=0，1，2，3，4時，X（k）表示在k時刻修理工在一次休假中已用掉的休假時間，X（k）=0，1，2，…；當N（k）=5，6，7，8時，Y（k）表示在k時刻部件已修理的時間，Y（k）=0，1，2，…

可知{N（k），X（k），Y（k）}構成一個新的馬爾科夫過程，則系統在時刻k的狀態概率：

3 相關狀態方程及其相關解

根據對上述模型一步轉移概率的分析，可得各狀態概率間的差分方程

（1）

（2）

邊界條件：

（11）

初始條件：

P0（0，0）=P1（0，0）=1，其他值均為零。

對（1）～（16）左右兩端同時進行Z變換，可得endprint

（20）

（25）

（26）

（28）

（17）式經迭代可得

（18）式經迭代可得

（22）式經迭代可得

（23）式經迭代可得

由（19）、（28）、（34）式可得

（37）

由（20）、（28）、（33）式可得

由（21）、（28）、（34）、（37）、（38）式可得

由（26）、（35）式可得

由（40）、（35）式可得

由（27）、（36）式可得

由（36）、（42）式可得

由（31）、（33）、（36）、（38）、（39）式可得

由（25）、（35）、（41）、（42）式可得

由（32）、（34）、（35）、（37）、（39）式可得

由（25）、（35）、（40）、（44）式可得

由（29）～（38）、（40）～（47）可得

其中

其中

4 系統的可靠性分析

4.1 系統的可用度

記系統在k（k=0，1，2，…）時刻的可用度為A（k），則有

對A（k）左右兩端進行Z變換，

則系統的穩態可用度

4.2 系統等待修理的概率

記系統等待修理的概率為P（k），有

對P（k）兩端進行Z變換，

系統處于平穩狀態時，其等待修理的概率為

4.3 修理工休假的概率

記修理工的休假概率為V（k），則有

對V（k）左右兩端進行Z變換，可有

系統處于平穩狀態下，其休假概率為

4.4 系統的瞬時故障頻度

記系統的瞬時故障頻度為Mf（k），則有

對Mf（k）左右兩端進行Z變換，

故系統在平穩狀態下，其故障頻度

4.5 系統可靠度

令上述模型中的故障狀態4、7和8為隨機過程{N（k），X（k），Y（k）}的吸收態，定義一個新的離散時間過程{（k），（k），（k）}，即可求出系統的可靠度。當（k）=0，1，2，3時，（k）表示在k時刻修理工在一次休假中已用掉的休假時間，（k）=0，1，2，…；當（k）=5，6時，（k）表示在k時刻部件已修理的時間，（k）=0，1，2，…；當（k）=4，7，8時，由于在該狀態內，系統終止工作，故不予考慮。定義新的隨機過程{（k），（k），（k）}是具有吸收狀態的三維離散向量的Markov過程。

利用與第3節同樣的處理方法，可得

系統的可靠度為

對R（k）兩端進行Z變換，可得

系統的首次故障平均時間

5 結束語

本文的研究考慮了離散時間下的多重休假和開關完全可靠的冷貯備系統，引入了三維離散向量，建立新的馬爾科夫過程，并利用Z變換進而求得系統的可靠性指標，其中當修理工的休假？酌服從P{？酌=k}=hk=0，k=1，2，…時，該模型就是離散時間下的兩不同型部件的冷貯備可修系統。本文的研究是對已有文獻研究成果下對離散時間下的修理工可休假的自然延伸，具有很好的理論價值和實際意義，為實際工作和生產提供了很強的說服力。

參考文獻：

[1]曹晉華，程侃.可靠性數學引論[M].北京：高等教育出版社，2006：205-224.

[2]C. Bracquemond， O. Gaudoin. A survey on discrete lifetime distributions[J].International Journal on Reliability，Quality and Safety Engineering，2003，10（1）：69-98.

[3]楊懿，王立超，鄒云.離散時間下的單部件可修系統的可靠性分析[J].南京理工大學學報（自然科學版），2008，32（4）：393-396.

[4]楊懿，王立超，鄒云.離散時間下串聯可修系統的狀態轉移模型[J].南陽理工學院學報，2009，1（3）：11-13.

[5]楊懿，王立超，鄒云.離散時間修理延遲單部件可修系統的可靠性分析[J].系統工程與電子技術，2008，30（5）：987-989.

[6]余 妙，唐應輝，陳勝蘭.離散時間單重休假兩部件并聯可修系統的可靠性分析[J].系統科學與數學，2009，29（5）：617-629.

[7]姜紅燕.離散時間單重休假溫儲備可修系統的可靠性分析[J].淮陰工學院學報，2011，20（5）：1-6.endprint