基于吸引橢球體方法的魯棒控制設(shè)計(jì)

苗潤寧，張秀梅，崔 鍵

(山東科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，山東 青島 266590)

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基于吸引橢球體方法的魯棒控制設(shè)計(jì)

苗潤寧，張秀梅，崔 鍵

(山東科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，山東 青島 266590)

魯棒控制理論已被廣泛地應(yīng)用在控制工程中, 而橢球體方法在解決控制系統(tǒng)的狀態(tài)穩(wěn)定性問題中具有傳統(tǒng)算法所無法比擬的優(yōu)勢(shì). 因此,針對(duì)一類離散時(shí)間非線性仿射系統(tǒng)提出了一種基于吸引橢球體的魯棒控制設(shè)計(jì)方法. 在控制算法的設(shè)計(jì)過程中, 推廣了傳統(tǒng)的不變橢球體方法, 并給出一個(gè)等價(jià)的線性矩陣不等式(LMI)約束優(yōu)化問題. 作為優(yōu)化程序的結(jié)果, 得到了一個(gè)穩(wěn)定的吸引橢球體, 該橢球體具有最小尺寸的特性. 最后, 通過數(shù)值仿真實(shí)例驗(yàn)證了所提出控制設(shè)計(jì)方法的有效性,這種分析方法為可實(shí)現(xiàn)的控制算法提供了理論基礎(chǔ).

魯棒控制; 離散時(shí)間系統(tǒng); 橢球體方法; LMI

基于李雅普諾夫的優(yōu)化方法不僅為解決傳統(tǒng)的穩(wěn)定性問題提供了一種有用的理論工具, 而且在系統(tǒng)的魯棒控制設(shè)計(jì)過程中有著廣泛的應(yīng)用[1-2]. 對(duì)帶有有界擾動(dòng)項(xiàng)的輸入輸出系統(tǒng), 它的各種反饋控制問題在現(xiàn)代控制工程中已被公認(rèn)為是具有挑戰(zhàn)性的任務(wù)[3]. 最近, 各種動(dòng)力學(xué)模型的魯棒控制問題引起了眾多研究者的關(guān)注. 因此, 相應(yīng)的理論成果和應(yīng)用程序得到廣泛開發(fā)[4-5]. 作為非線性仿射模型的附加不確定性, 在穩(wěn)定控制的設(shè)計(jì)過程中利用李雅普諾夫類型的方法是很直觀的. 為了產(chǎn)生幾乎穩(wěn)定的軌跡, 主要工具之一就是橢球體方法[6]. 下面所要討論的控制設(shè)計(jì)策略就是經(jīng)典不變橢球體方法的一個(gè)推廣.

在一些與閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)相關(guān)的假設(shè)下, 可以刻畫一個(gè)吸引集合. 在現(xiàn)代控制工程中, 一般選擇系統(tǒng)狀態(tài)空間里具有橢球體形式的集合[7]. 在解決線性時(shí)不變系統(tǒng)的靜態(tài)狀態(tài)反饋控制器的綜合問題時(shí), 通過最小化相應(yīng)的不變橢球體的尺寸, 最終簡化為帶有線性矩陣不等式(LMI)約束的優(yōu)化問題. 選擇必要的控制器參數(shù)，也就是增益矩陣, 可以最大限度地減小橢球體的尺寸. 本文利用李普希茲性質(zhì)和李雅普諾夫函數(shù)等方法, 研究一類非線性離散時(shí)間仿射控制系統(tǒng)的魯棒控制設(shè)計(jì)問題. 利用優(yōu)化方法和Schur補(bǔ)引理等方法對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行研究.

為便于閱讀, 符號(hào)說明如下: MT表示任意向量或矩陣的轉(zhuǎn)置; tr(M)表示方陣M的跡; M>0表示一個(gè)正定的對(duì)稱矩陣; M≤0表示一個(gè)半負(fù)定的對(duì)稱矩陣; Rk表示在2范數(shù)‖·‖意義下的k維歐式空間; R+表示正實(shí)數(shù)域; I表示單位矩陣; M?N表示集合M和N的克羅內(nèi)克積.

1 系統(tǒng)描述與問題構(gòu)建

考慮下面的非線性離散時(shí)間仿射控制系統(tǒng):

(1)

假設(shè)1 系統(tǒng)(1)的右端項(xiàng)具有所謂的準(zhǔn)李普希茨性質(zhì)[8]:

(2)

假設(shè)2 (A,B)是可控的, (A,C)是可觀的(可控性和可觀性與系統(tǒng)(1)的線性化有關(guān)[9]).

假設(shè)3 矩陣BTB是可逆的.

現(xiàn)在, 系統(tǒng)(1)可重寫為下面的等價(jià)形式:

(3)

系統(tǒng)(1)通常與一組可行的控制方程u(·)相關(guān), 它的結(jié)構(gòu)由下面的條件確定:

u(t)=Crxr(t)+Dry(t)

式中xr(t)∈Rn是一個(gè)“控制器狀態(tài)”,Cr∈Rm×n和Dr∈Rm×k是增益矩陣. 控制器狀態(tài)xr(t)滿足

(4)

(5)

(6)

2 系統(tǒng)的魯棒控制設(shè)計(jì)

2.1 吸引橢球體方法

為了擴(kuò)展橢球體方法(吸引橢球體), 首先給出下面的引理.

引理1 如果函數(shù)γ: R+→R+滿足下面的不等式:

Δγ(t)≤-αγ(t)+β

(7)

式中Δγ(t)=γ(t+1)-γ(t), 0<α<1 , β≥0, 則當(dāng)t→時(shí), γ(t)≤β/α.

證明 由已給條件可知

r(t+1)≤γ(t)-αγ(t)+β

則

r(t+1)≤(1-α)γ(t)+β≤(1-α)2γ(t-1)+(1-α)β+β≤

(1-α)3γ(t-2)+(1-α)2β+(1-α)β+β≤

?

(1-α)t+1γ(0)+(1-α)tβ+…+(1-α)2β+(1-α)β+β

即

引理2[9]對(duì)任意矩陣X,Y∈Rn×m和對(duì)稱正定矩陣Λ∈Rn×n, 滿足下列不等式:

XTY+YTX≤XTΛX+YTΛ-1Y

以及

(X+Y)T(X+Y)≤XT(I+Λ)X+YT(I+Λ-1)Y

在一維情況下, 引理2顯然成立. 在主要定理證明過程中, 使用上述兩個(gè)引理. 現(xiàn)在考慮以下的李雅普諾夫函數(shù):V:Rn→R+,V(xc(t))=xc(t)TPxc(t).這個(gè)函數(shù)是在閉環(huán)系統(tǒng)(5)的軌跡xc(·)上考慮的, 令引理1中的常數(shù)α,β滿足0<α<1,β>0, 則可得到(6)的一個(gè)等價(jià)表示:

(8)

(9)

計(jì)算得出.

證明 即證明復(fù)合函數(shù)γ(t)=V(xc(t))滿足不等式(7).

由引理2可知, 式中右端項(xiàng)包含下面的不等式:

所以

z(t,x)TΛ-1z(t,x)+αxc(t)TPxc(t)-αxc(t)TPxc(t)

所以

綜上所述, 可得到

ΔV(xc(t))≤xc(t)TWxc(t)-αV(xc(t))+β

通過引理1, 得到當(dāng)t→時(shí),.由此可推斷出, 當(dāng)t→時(shí),最終可得到(t)≤1+δ對(duì)所有的δ>0以及t>T(δ)成立, 其中T(δ)>0是一個(gè)足夠大的數(shù). 最后的不等式對(duì)R2n中的每一個(gè)初始點(diǎn)都是正確的. 所以, 由確定的吸引橢球體具有相應(yīng)的最小化性質(zhì). 證畢.

定理1為本文的魯棒控制方法提供了一個(gè)重要的理論依據(jù). 與文獻(xiàn)[10]中的不變橢球體方法相比, 提出的方法涉及一個(gè)特定的最小化問題, 并保證穩(wěn)定不變集的一些最小尺寸性質(zhì).

2.2 優(yōu)化問題的LMI表示

定理2 在定理1的假設(shè)下, 問題(9)中的雙線性矩陣不等式約束可轉(zhuǎn)化為下面的LMI約束:

(10)

設(shè)優(yōu)化問題為

(11)

(12)

(13)

定理3 優(yōu)化問題(11)的解也是優(yōu)化問題(9)的一個(gè)最優(yōu)解.

在本文中, 遵循魯棒或?qū)嶋H穩(wěn)定性的方法[11], 計(jì)算P使得相應(yīng)的吸引橢球體ε的尺寸是最小的.

3 數(shù)值例子與仿真

考慮下面的非線性系統(tǒng):

(14)

式中：ξ(t,x(t))=-Asign(x)+CT0.1sin(100t)-Ax(t),η(t,x(t))=0.1cos(100t),

現(xiàn)研究兩種情況: 一種是初始條件x0在ε內(nèi), 另一種是初始條件x0在ε外. 對(duì)第一種情形, 令x0=(-0.05, 0.01)T,在第二種情形中, 選擇x0=(-4, 5)T,原仿射系統(tǒng)(2)的右端項(xiàng)通過下面的常數(shù)確定:f0=0.002,h0=0.038,f1=0.01,h1=0.01.

系統(tǒng)/控制器矩陣通過下面的矩陣確定:

基于LMI-約束優(yōu)化的標(biāo)準(zhǔn)MATLAB工具箱, 優(yōu)化問題(11)的數(shù)值解為

這一實(shí)例證明了本文提出的魯棒控制設(shè)計(jì)方法的數(shù)值有效性和潛在的實(shí)用性. 與一些可實(shí)現(xiàn)的魯棒控制算法[7]相比,本文提出的方法是非線性規(guī)劃中良好的計(jì)算方法，該方法在研究不確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性方面也存在明顯的優(yōu)勢(shì).

4 結(jié)束語

本文考慮了離散時(shí)間非線性系統(tǒng)的魯棒控制設(shè)計(jì)問題, 針對(duì)一類非線性仿射控制系統(tǒng), 基于吸引橢球體方法, 提出了一種新的魯棒控制方法. 所得到的方法為設(shè)計(jì)閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定控制策略提供了理論依據(jù), 該優(yōu)化算法能夠保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性(吸引區(qū)域的一些極小化屬性), 數(shù)值算例驗(yàn)證了給定閉環(huán)系統(tǒng)魯棒控制設(shè)計(jì)方法的有效性.

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(編輯：郝秀清)

Robust control design via the attractive ellipsoid technique

MIAO Run-ning, ZHANG Xiu-mei, CUI Jian

(College of Mathematics and Systems Science, Shandong University of Science and Technology, Qingdao 266590, China)

The robust control theory has been widely used in control engineering. And the ellipsoid method has the advantages which the traditional algorithms cannot match on solving the stability of dynamic systems. Therefore, this paper has concerned the robust control design through the ellipsoid approach. A new robust control design approach was proposed for a class of discrete-time nonlinear affine control systems. The design procedure was based on an extention of the conventional invariant ellipsoid method and a linear matrix inequality (LMI) constrained optimization problem was developed for the practical stability of the control systems. As a result of the optimization procedure, we obtained a stable attractive ellipsoid with some minimal properties (a minimal size ellipsoid). Finally, the effectiveness of the robust control design was illustrated by a numerical simulation,and this analytic method can provide a conceptual basis for the corresponding implementable control algorithms.

robust control design; discrete-time systems; ellipsoid method; LMI

2015-12-23

苗潤寧，女， miaorunning@163.com

1672-6197(2017)01-0022-06

O231.2

A