r重二元正交多小波的構造

呂 軍，石曉煜，軒亞男，陳雅芳，擺 鵬，劉 凱

(新疆農業大學 數理學院, 新疆 烏魯木齊 830052)

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r重二元正交多小波的構造

呂 軍，石曉煜，軒亞男，陳雅芳，擺 鵬，劉 凱

(新疆農業大學 數理學院, 新疆 烏魯木齊 830052)

多小波是小波理論的新發展，研究r重二元正交多小波理論是研究多小波和雙向多小波理論必要的奠基性工作.系統給出了相應r重二元正交多小波的構造，討論了這種小波相應的尺度函數的相關性質，并給出了算例.

r重多小波；正交；多尺度函數

多小波是小波理論的新發展，多小波是指由兩個或兩個以上的函數作為尺度函數生成的小波，為了區別多小波與傳統意義下由一個尺度函數生成的小波，稱后者為純量小波，也稱單小波.由于多小波可同時擁有如對稱性、短支撐性、正交性和高階消失矩等許多良好的性質，使得多小波比單一小波具有更多的優勢.由于多通道濾波器理論的需要，使得多小波理論在近幾年有了迅猛發展.但是多小波的理論發展還有很多問題需要完善,研究r重二元正交多小波理論對研究多小波和雙向多小波理論是很有必要的奠基性工作.本文將系統給出相應r重二元正交多小波的構造，討論這種小波相應的尺度函數的相關性質，并給出算例.

1 r重二元正交多小波的構造

引入L2(R2)r空間上的內積?f(x,y),g(x,y)∈L2(R2)r.

(1)

而f(x,y)=[f1(x,y),f2(x,y),…,fr(x,y)],g(x,y)=[g1(x,y),g2(x,y),…,gr(x,y)].

定義f(x,y)的Fourier變換

(2)

其逆變換定義為

(3)

設F和G是有限維或可數無限維線性空間.F和G的基底是…,f0,f1,f2,…和…,g0,g1,g2,…，那么以形如figj(i,j=0,±1,±2,…)為基底的空間H，稱為F和G的張量積空間，記:H=F?G.

{2kφ1(2kx-k1)φ(2ky-k2),2kφ2(2kx-k1)φ(2ky-k2),…,2kφr(2kx-k1)φ(2ky-k2)}

由Φ(x)和φ(y)的兩尺度細分方程，我們給出Φ(x,y)的兩尺度細分方程.令

(4)

其中{Pk,k2=Pk1pk2}是Φ((x,y)的r×r兩尺度矩陣序列.

對(4)式兩端做Fourier變換，可得

(5)

反復應用(5)式可得

(6)

定義1 r重二元多尺度函數向量Φ((x,y)是正交的，若它滿足下列等式：

〈Φ((x,y),Φ((x-k1,y-k2)〉=δ0,k1δ0,k2Ir

(7)

定理1 如果Φ((x)和φ(y)是正交的，則由(4)式定義的多尺度函數向量Φ((x,y)也是正交的.

證明 由(4)式及Φ((x)和φ(y)的正交性，得到

對于這種正交張量積的r重二元多尺度函數向量，有

〈Φ((x,y),Φ((x-k1,y-k2)〉=〈Φ((x),Φ((x-k1)〉〈φ(y),φ(y-k2)〉

定理2 如果r重多尺度函數向量Φ((x,y)是由正交的Φ((x)和φ(y)定義的，那么Φ((x,y)的兩尺度矩陣符號滿足：

(8)

定理3 如果r重多尺度函數向量Φ((x,y)是由正交的Φ((x)和φ(y)定義的，那么Φ((x,y)的兩尺度矩陣序列滿足

(9)

證明 由上述定理2可知

從上述討論我們知道式(8)與式(9)是等價的，都能表示多尺度函數Φ((x,y)的正交性.

定義2 r重二元多小波Ψ1(x,y)，Ψ2(x,y)和Ψ3(x,y)是正交的，若它滿足下列等式：

(10)

其中：i,j=1,2,3.

定理4 如果Φ((x)和Ψ(x)，φ(y)和ψ(y)分別是正交的，則多小波Ψ1(x,y),Ψ2(x,y)和Ψ3(x,y)也是正交的.

定理5 如果r重多尺度函數向量Φ((x,y)對應的多小波Ψ1(x,y)，Ψ2(x,y)和Ψ3(x,y)是由正交的Φ((x)和Ψ(x)，φ(y)和ψ(y)定義的，那么Ψ1(x,y)，Ψ2(x,y)和Ψ3(x,y)的兩尺度矩陣符號滿足

(11)

定理6 如果r重多尺度函數向量Φ((x,y)對應的多小波Ψ1(x,y)，Ψ2(x,y)和Ψ3(x,y)是由正交的Φ((x)和Ψ(x)，φ(y)和ψ(y)定義的，那么Ψ1(x,y)，Ψ2(x,y)和Ψ3(x,y)的兩尺度矩陣序列滿足

(12)

從上述討論知道式(11)與式(12)是等價的.

以上討論了一種特殊的r重二元張量積多小波，它是基于多分辨分析這個十分重要的工具.我們得到了重要的兩尺度方程

(13)

對(13)式兩端做Fourier變換，可得

(14)

反復應用(13)式可得

(15)

設兩尺度矩陣符號P(ω1,ω2)生成的Φ((x,y)是連續的，且Φ((x,y)的整數平移構成正交系，則1分別是P(0,0)的單特征值，其它的特征值的模都小于1.稱此條件為條件E.

下面我們給出多重二元多分辨分析的定義.

Vj=ClosL2(R2)<2jφi(2jx-k1,2jy-k2),i=1,2…,r,k1,k2∈Z>

(16)

(iii)f(x,y)∈Vj?f(2x,2y)∈Vj+1;

(iv) 存在r重二元函數向量Φ((x,y)=[φ1(x-k1,y-k2),…,φr(x-k1,y-k2)]T，使得集合{φi(x-k1,y-k2):i=1,2,…,r,k1,k2∈Z}是V0的Riesz基.即存在正常數A≤B<，使得對于任意系數向量序列有

定義Φ(j,k1,k2(x,y):=2jΦ((2jx-k1,2jy-k2)，由多分辨分析定義可知{Φ(j,k1,k2(x,y),k1,k2∈Z}也構成Vj的Riesz基.即

2 算例

例1 給出由C-L多小波和Db2小波構造的張量積小波的2重二元多小波.

C-L多小波：

Db2小波：

則

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(編輯：郝秀清)

On the construction ofrweight two element orthogonal multi- wavelet

LYU Jun, SHI Xiao-Yu, XUAN Ya-Nan, CHENG Ya-Fang, BAI Peng, LIU Kai

(College of Mathematics and Physics,Xinjiang Agricultural University,Urumqi 830052,China)

Multi-wavelet is the new development of wavelet theory, and study on r weight two element orthogonal multi-wavelet theory is a basic work for the research of multi-wavelet and two-direction multi-wavelet theory. In this paper, we gave the construction of the corresponding r weight two element orthogonal multi-wavelet,discussed on the corresponding properties of the wavelet scale function, and presented examples.

rdimension multi-wavelet; orthogonal; multi scaling function

2016-03-08

新疆農業大學校前期資助課題(XJAU201418)；國家大學生創新訓練項目(201510758013)

呂軍,男,lvjun136248@sina.com

1672-6197(2017)01-0028-06

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