賦Luxemburg范數的Musielak-Orlicz-Sobolev空間中的凸性

季丹丹

(牡丹江師范學院 數學科學學院，黑龍江 牡丹江 157011)

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賦Luxemburg范數的Musielak-Orlicz-Sobolev空間中的凸性

季丹丹

(牡丹江師范學院 數學科學學院，黑龍江 牡丹江 157011)

克服了Musielak-Orlicz-Sobolev空間的結構復雜性,吸取了Musielak-Orlicz空間中凸性的研究方法,給出并證明了賦Luxemburg范數的Musielak-Orlicz-Sobolev空間具有嚴格凸性的充要條件.

Musielak-Orlicz-Sobolev空間; 嚴格凸性;Luxemburg范數;Δ2條件

1 基礎知識

凸性是Banach空間幾何理論基本內容之一，具有鮮明的直觀幾何意義. 凸性的研究最早是從Banach空間單位球的研究開始的. Clarkson[1]于1936年引入了一致凸空間并在這種空間中討論了向量測度，為這方面的研究指明了方向. 而后引入了各種凸性，并討論了它們的基本性質以及在最佳逼近和不動點理論中的應用. Musielak-Orlicz-Sobolev空間是一類復雜的Banach空間，本文將給出該空間中凸性的研究.

關于Musielak-Orlicz函數、函數的模、函數的Luxemburg范數、Musielak-Orlicz函數M所滿足的Δ2條件，以及Musielak-Orlicz空間的定義見文獻[2-3]；對于Musielak-Orlicz-Sobolev空間

Wm,M(Ω)={u∈LM(Ω):?αu∈LM(Ω),

(1)

在下文中, 若M?Δ2,只考慮情形i), 其他兩種情況不予考慮.

在本文中令

則稱v是M關于t的非嚴格凸點. M關于t的非嚴格凸點全體記為Kt(見文獻[3]).

2 主要結果

定理1 Wm,M是嚴格凸的充要條件是

(a) M∈Δ2；

證明 充分性.注意到實數集是凸集，由文獻[3]中定理5.11知LM是嚴格凸的，又由引理1知Wm,M是嚴格凸的.

必要性.用反證法.先證明充要條件(b).

從而

所以

類似可證‖z‖≤‖x+f‖≤1.

這與Wm,M是嚴格凸的矛盾.故M∈Δ2.

[1]CLARKSON J A. Uniformly convex spaces[J]. Trans. Math. Soc, 1936，40: 396-414.

[2] HUDZIK H, LIU X B, WANG T F. Points of monotonicity in Musielak-Orlicz function spaces endowed with the Luxemburg norm[J]. Arch.Math, 2004, 82: 534-545.

[3] CHEN S T. Geometry of Orlicz paces[M].[S.l.]:Dissertations Mathematicae Warszawa, 1996.

[4]季丹丹, 賀鑫, 王玉文. Musielak-Orlicz-Sobolev空間中的單調性[J]. 數學的實踐與識, 2013, 43(23): 213-218.

[5] 趙靜, 陳述濤. Orlicz-Sobolev空間的中點局部一致凸性[J]. 數學雜志, 2005, 25(5): 567-570.

[6]陳述濤, 胡長英. Orlicz-Sobolev空間關于Luxemburg范數的端點與嚴格凸性[J]. 哈爾濱師范大學自然科學學報, 2001, 17(2): 1-6.

(編輯：郝秀清)

Rotundity in Musielak-Orlicz-Sobolev spaces with Luxemburg

JI Dan-dan

(School of Mathematical Sciences, Mudanjiang Normal College,Mudanjiang 157011,China)

This article is to overcome the difficulties of the structure, and adopt the research methods of rotundity in Musielak-Orlicz spaces. Necessary and sufficient conditions for rotundity of Musielak-Orlicz-Sobolev spaces with Luxemburg norm are given and proved.

Musielak-Orlicz-Sobolev spaces;rotundity;Luxemburg norm;condition Δ2

2016-02-25

牡丹江師范學院一般項目(YB201604); 牡丹江市科學技術項目(G2015K1980)

季丹丹, 女,jidandan1014@126.com

1672-6197(2017)01-0039-04

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