環(huán)F2+vF2+v2F2上線性碼的深度分布

馬芳卉

( 山東理工大學(xué) 理學(xué)院，山東 淄博 255049)

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環(huán)F2+vF2+v2F2上線性碼的深度分布

馬芳卉

( 山東理工大學(xué) 理學(xué)院，山東 淄博 255049)

主要研究環(huán)R=F2+vF2+v2F2上線性碼的深度分布及其深度譜，其中v3=v. 基于在環(huán)R上的線性碼與它們的生成矩陣研究, 可以獲得在有限域F2上的線性碼C1,Cv,Cv2與它們的生成矩陣. 利用線性碼C1,Cv,Cv2之間的關(guān)系, 得到了環(huán)R上線性碼的深度分布及其深度譜.

線性碼；生成矩陣；深度分布；深度譜

1 預(yù)備知識(shí)

(1)

2 環(huán)R上碼字深度的性質(zhì)及其遞歸算法

引理2[1]如果碼字c1的碼長為n, 深度為i; 碼字c2的碼長為n，深度為j, 并且ji.那么碼字c=c1+c2的碼長為n, 深度為i.

由于a+vb+v2d≠0, 我們有d(c)=i.

接下來，給出計(jì)算環(huán)R上碼字深度的一個(gè)算法.

3 環(huán)R上線性碼的深度分布

證明 令C為環(huán)R上的線性碼, 標(biāo)準(zhǔn)生成矩陣如式(1)所示,C1為環(huán)R上的線性碼,它的生成矩陣如下所示.

那么C1為C的子碼.

假設(shè)C2是F2上由下列矩陣生成的一個(gè)線性碼.

根據(jù)C1與C2的生成矩陣, 可以得到

α∈C2?vα∈C1or(1+v2)α∈C1or(v+v2)α∈C1

那么對(duì)于α∈C2，進(jìn)一步可以得到

Di(α)=0?Di(vα)=0 orDi((1+v2)α)=0 orDi((v+v2)α)=0,

其中vα∈C1, (1+v2)α∈C1, (v+v2)α∈C1.

因此，C1與C2具有相同的深度分布. 由引理2可知, 非零碼C2包含k1+k2+k3+k4+k5個(gè)非零值,C1也包含k1+k2+k3+k4+k5個(gè)非零值. 由于C1是C的一個(gè)子碼, 那么碼C的深度分布至少包含k1+k2+k3+k4+k5個(gè)非零值. 下一步我們將要給出如何計(jì)算C1,Cv,Cv2中深度分布的個(gè)數(shù).

由于碼C有標(biāo)準(zhǔn)生成矩陣(1), 那么C1,Cv,Cv2的生成矩陣由矩陣G的行向量的像生成,這些像由映射f,g,h決定，其中矩陣G如下所示.

那么可以得到C1的生成矩陣為

(2)

(3)

因此Cv包含k1+k2+k3+k5+rank(P)個(gè)非零的深度值，其中P如下表示，并且rank(P)至多包含k1+k2+k4個(gè)深度值.

同樣地，也可以得到Cv2的生成矩陣為

(4)

其中,

因此Cv2包含k1+k2+k3+k4+k5+rank(K)個(gè)不同的非零的深度值, 并且rank(K)至多包含2k1+k2+k3個(gè)深度值.

其中

證明 根據(jù)引理2,C1,Cv,Cv2的深度分布分別為

對(duì)于?c=x+vy+v2z∈C, 有

(1) 如果i=0, 那么Di=1;

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(編輯：劉寶江)

The depth distribution of linear codes over F2+vF2+v2F2

MA Fang-hui

(School of Science, Shandong University of Technology, Zibo 255049, China)

In this paper, we study the depth distribution and the depth spectrum of linear codes over the ring R=F2+vF2+v2F2, where v3=v. Based on the linear codes over R and their generator matrices, the linear codes C1,Cv,Cv2over F2and their generator matrices are obtained. By using the relationship of C1,Cv,Cv2, the depth distribution and the depth spectrum of linear codes over R are obtained.

linear codes；generator matrix；depth distribution；depth spectrum

2016-03-20

山東理工大學(xué)有限域雙語教學(xué)項(xiàng)目(4052/115017); 山東理工大學(xué)博士基金項(xiàng)目(4041/415059)

馬芳卉, 女, 18766966153@163.coml

1672-6197(2017)01-0049-06

TN

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