環(huán)R+uR上的σ-循環(huán)碼

肖 凌， 曹永林

(1.山東理工大學(xué) 理學(xué)院， 山東 淄博 255049; 2.淄博理工學(xué)校 汽修系， 山東 淄博 255100)

?

環(huán)R+uR上的σ-循環(huán)碼

肖 凌1,2， 曹永林1

(1.山東理工大學(xué) 理學(xué)院， 山東 淄博 255049; 2.淄博理工學(xué)校 汽修系， 山東 淄博 255100)

設(shè)A=R+uR，其中R為Zq的m次Galois擴(kuò)張.定義了環(huán)A的自同構(gòu)σ，并由此定義了環(huán)A上的σ-循環(huán)碼.給出了σ-循環(huán)碼是自由的充分必要條件.另外，給出了自由的σ-循環(huán)碼極小Hamming距離下界的一個估計.

局部環(huán)； σ-循環(huán)碼； 自由模； 極小Hamming距離

有限環(huán)上的編碼理論始于20世紀(jì)60年代.1994年Hammons等證明一些好的二元非線性碼可以看作環(huán)Z4上某些循環(huán)碼的二元Gray映射象[1].該論文被公認(rèn)為有限交換環(huán)上編碼理論的重大突破，同時該論文獲得了1995年IEEE電子學(xué)會與通信學(xué)會的最佳論文獎.在此之后，有限環(huán)上的編碼理論受到了國內(nèi)外廣大學(xué)者的關(guān)注與研究，理論成果層數(shù)不窮.近10年來，有限環(huán)上的編碼理論已成為編碼理論研究的一個熱點分支.編碼理論的一個基本問題是構(gòu)造性能良好的糾錯碼,該問題是一個困難問題.目前，構(gòu)造性能良好的糾錯碼在編碼界被認(rèn)為是一個Hilbert問題.循環(huán)碼作為一類代數(shù)結(jié)構(gòu)較好的碼類，近幾10年一直受到廣泛的關(guān)注與研究.理論成果證明，很多好的糾錯碼都是循環(huán)碼.交錯循環(huán)碼作為循環(huán)碼的推廣，在理論研究以及實際應(yīng)用中都有著重要意義.近幾年，關(guān)于交錯循環(huán)碼的研究已取得了一些有趣的結(jié)果[2-8].

本文主要對局部環(huán)A=R+uR上一類特殊的交錯循環(huán)碼--σ-循環(huán)碼進(jìn)行了研究，其中R=GR(q,m)=Zq[x]/〈f(x)〉為Zq的m次Galois擴(kuò)張，u2=0，q=ps，p是一個素數(shù)，m是正整數(shù).文中給出了σ-循環(huán)碼是自由的充分必要條件以及給出了自由的σ-循環(huán)碼的極小Hamming距離下界.

1 預(yù)備知識

σ: A→A

σ的階為m.

2 主要結(jié)果

4.3 加拿大預(yù)防VAP臨床實踐指南 加拿大重癥監(jiān)護(hù)委員會2004年制定預(yù)防VAP臨床實踐指南(CPGs)，于2008年重新召集20名專家共同修訂。預(yù)防VAP的CPGs分為3個部分(此處僅列舉推薦和考慮使用條目)［57］:①物理性策略包括:推薦盡量避免使用經(jīng)鼻氣管插管、除非有污跡否則不要頻繁更換呼吸機(jī)管路、每5～7天更換熱濕交換器、使用密閉式吸痰系統(tǒng)及聲門下吸引管;②位置策略包括:盡可能保持45°半臥位、考慮使用旋轉(zhuǎn)床;③藥理性策略包括:考慮使用抗菌劑口腔沖洗，其他一些預(yù)防措施因證據(jù)不足暫不列入。

φ: A→Fpm+uFpm

a+buаa(bǔ)+bu(mod p)

多項式φ(L(Y))=Ypn-Y在環(huán)Fpn+uFpn上完全分解.令Fpmt+uFpmt是包含F(xiàn)pn+uFpn的Fpm+uFpm的最小Galois擴(kuò)張.我們有L(Y)在R′+uR′上完全分解，其中R′=GR(R,t)為Galois環(huán)R的t次Galois擴(kuò)張.

對任意β∈R′+uR′，定義

Nσ,0=1

引理1[8]設(shè)xn-1是環(huán)A[x,σ]中的多項式，xpn-x是環(huán)A[x]中的多項式且R′+uR′是xpn-x在其上完全分解的環(huán)A的最小Galois擴(kuò)張.則β∈R′+uR′是xpn-x的根當(dāng)且僅當(dāng)σ(β)/β是xn-1的根.

假設(shè)xpn-x的全部根為1,β,…,βpn-2.則對任意的l=0,1,…,pn-2，由引理1可知x-βl(p-1)是xn-1的右因子.

[1] HAMMONS A, KUMAR P, CALDERBANK A,et al. TheZ4-linearity of Kerdock, Preparata, Goethals, and related codes[J]. IEEE Trans. Inform. Theory, 1994, 40: 301-319.

[2] BOUCHER D, GEISELMANN W, ULMER F. Skew-cyclic codes[J]. Appl. Algebra Engrg. Comm. Comput., 2007, 18: 379-389.

[3] BOUCHER D, SOLé P, ULMER F. Skew constacyclic codes over Galois rings[J]. Adv. Math. Commun., 2008, 2: 273-292.

[4] BOUCHER D, ULMER F. Coding with skew polynomial rings[J]. Symbolic Comput., 2009, 44: 1 644-1 656.

[5] ABUALRUB T, GHRAYEB A, AYDIN N,et al. On the construction of skew quasi-cyclic codes[J]. IEEE Trans. Inform. Theory, 2010, 56: 2 081-2 090.

[6] GAO J. Skew cyclic codes overFp+vFp[J]. Appl. Math. & Informatics, 2013, 31: 337-342.

[7] BHAINTWAL M. Skew quasi-cyclic codes over Galois rings[J]. Des. Codes Cryptogr., 2012, 62: 85-101.

[8] CHAUSSADE L, LOIDREAU P, Ulmer F. Skew codes of prescribed distance or rank[J]. Des. Codes Cryptogr., 2009, 50: 267-284.

[9] JACOBSON N. Finite Dimensional Division Algebras over Fields[M]. New York:Springer, 1996.

(編輯：劉寶江)

σ-cyclic code over R+uR

XIAO Ling1,2, CAO Yong-lin1

(1.School of Science, Shandong University of Technology, Zibo 255049, China; 2.Auto Repair Department, Zibo School of Technology, Zibo 255100,China)

Let A=R+uR, where R is the m-th Galois extension ring of Zq. In this paper we define an automorphism σ of the ring A, which leads to the definition of σ-cyclic codes over A. We give a necessary and sufficient condition for σ-cyclic codes to be free. Furthermore, we also give a lower bound on the minimum Hamming distance of the free σ-cyclic codes.

local ring; σ-cyclic codes; free module; minimum Hamming distance

2015-11-10

肖凌,女,autumndaisy@163.com; 通信作者：曹永林，男，ylcao@sdut.edu.cn

1672-6197(2017)01-0064-03

O236.2

A