平方根的無理性及其一種有理迭代算法

王元恒

摘要：本文說明了平方根的無理數性質，給出了一種中學生都能很好理解的迭代算法來求平方根的有理數近似值，并且要想多近似就多近似。

關鍵詞：平方根；無理數性質；迭代算法；有理數近似值

中圖分類號：O177.91 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2017）48-0209-02

人們在中學都知道■，■，…，■（a不是完全平方數）是無理數，但是為什么它們是無理數？如何用有理數來近似逼近計算■，■，…，■以達到事先指定的精確度？這些問題常常被中學生、甚至大學生、研究生們問到。把此問題提得更一般些，就是：設有理數a>0（a不是完全平方數）是任意給定的，則■是無理數，并且如何來求■的有理數近似值。下面證明了平方根的無理數性質，給出一種中學生都能很好理解的迭代算法。

定義1 設自然數p>1，如果它只能被1和它自身整除，則稱p為質數（素數）。例如2，3，5，7，11，13，17等都是質數。

應用數學歸納法和整除性質可以證明如下的基本定理。

定理2[1] 自然數a>1都可以唯一（乘法交換律除外）表示為若干個質數冪的乘積形式，即存在唯一的m，n1，n2，…nm和質數p1，p2，…，pm使得

a=p■■p■■…p■■

定理3 在定理2的表示式中，a>1為平方數的充分必要條件是n1，n2，…，nm皆為偶數，即n1=2k1，n2=2k2，…，nm=2km.

證明 如果n1=2k1，n2=2k2，…，nm=2km，則

a=p■■p■■…p■■=（p■■p■■…p■■）■=b■

所以a>1為完全平方數。反之，a=b2，b>1為完全平方數，則由定理2知，即存在唯一的m，k1，k2，…，km和質數p1，p2，…pm，使得b=p■■p■■…p■■.

從而a=b2=（p■■p■■…p■■）■=2p■■p■■…p■■=p■■p■■…p■■

于是，由定理2的唯一性知n■=2k■，n■=2k■，…，n■=2k■都是偶數。證畢。

推理4 質數p能夠整除b>1的充分必要條件是 p能夠整除b2。

定理5 設自然數a>1不是完全平方數，則■是無理數。

證明（反證法） 假設自然數存在x，y≠1使得

■=x/y，x=■y，

則由定理2知

a=p■■p■■…p■■，

x2=ay2=p■■p■■…p■■y2.

所以，由定理3知道x2中一定含有質數p1且p1的指數一定是偶數，y2中可能含有質數p1且p1的指數也一定是偶數，或者y2中也可能不含有質數p1即p1的指數為0也是偶數，故指數n1等于x2中含質數p1的指數減去y2中含有質數p1的指數：

n1=偶數-偶數=2k1為偶數。

同理可得n■=2k，…，n■=2k■。于是

a=p■■p■■…p■■=（p■■p■■…p■■）■=b■為一個完全平方數，這與已知矛盾。證畢。

定理6 設有理數數a>0不是完全平方數（兩個自然數的平方之比），則■是無理數。

證明 因為a>0為有理數，所以存在自然數u，v使得a=u/v，且不妨設u，v不含有相同的質數p，即它們不能被相同的質數p整除，否則可以約分，并由定理5，不妨設u>1，v>1。所以，由定理2得

u=p■■p■■…p■■，v=q■■q■■…q■■，

p■≠q■，i=1，2，…，m，j=1，2，…，t.全為質數。

于是（反證法），假設自然數存在x，y≠1使得

■=x/y，x=■y，

則由定理2知

vx2=uy2，

q■■q■■…q■■x■=p■■p■■…p■■y■.

所以，由定理知道3x2中一定含有質數p1且p1的指數一定是偶數，y2中可能含有質數p1且p1的指數也一定是偶數，或者y2中也可能不含有質數p1即p1的指數為0也是偶數，故指數n1等于x2中含質數p1的指數減去y2中含有質數p1的指數：

n1=偶數-偶數=2k1為偶數。

同理可得n■=2k■，…，n■=2k■，s■=2l■，s■=2l■，…，

s■=2l■。于是

a=■=■=■■=■■

為一個完全平方數，這與已知矛盾。證畢。

下面給出平方根的一種有理數近似值的計算方法：

任意給定■的一個有理數近似值x0>0，在兩個正有理數數x0，■中，一定有一個大于■，另一個小于■，除非x0正好就是■.我們有理由認為這兩個有理數數的算術平均值x1=■x0+■可能更加靠近■，這便得到了一個更好的有理數近似。事實上：

x1-■=■x0+■-■=■（x■■+a-2x■■■）

=■（x0-■）2≥0

這說明無論初值有理數x0如何，得出的第一次有理數近似值x1是過剩近似值。不妨設初值x0本身就是過剩近似值，因此x0>x0-■>0.由此得出

0≤x1-■=■x0-■■≤■x0-■.

即第一次有理數近似值x1到■的距離至多是初值x0 到■的距離的一半。

重復施行上述的步驟，便產生數列x0，x1，…，xn，…，其中

xn=■x■+■，n∈N*，

0≤xn-■≤■xn-1-■≤■xn-2-■≤…≤■x0-■.

所以■x■=■，即對于充分大的n，數xn與■的距離很快變小，并且以1/2n的速度快速讓它們的距離趨向于零。

這種方法在實際應用中非常方便。例如求■的近似值，就取初值x0=2，反復迭代的結果是：

x0=2.0，

x1=1.5，

x2=1.4166…，

x3=1.4142566…，

x4=1.41421356…，

x5=1.41421356…，

于是，x5就是一個與■相當精確的近似值，它們的距離小于1/25=1/32.

參考文獻：

[1]華羅庚.數論導引[M].北京：科學出版社，1957.endprint