功與能相關知識探微

■甘肅省金塔縣中學 段福華

功與能相關知識探微

■甘肅省金塔縣中學 段福華

解決力學問題的基本方法概括起來有兩個:一是力的方法,即運用牛頓運動定律結合運動學公式求解;二是功和能的方法,即運用各種功能關系及能量守恒定律求解。一般來說,求解涉及加速度、時間等瞬時關系的勻變速運動(包括直線和曲線運動)問題時,可以用力的方法;求解單個物體的涉及做功和位移、不涉及加速度和時間的問題時,優先考慮使用動能定理;若研究對象是相互作用的物體系統,且出現能量的轉化情況時,優先考慮使用能量守恒定律或機械能守恒定律。顯然,功和能的方法具有更廣泛的應用范圍。現將功與能相關知識歸納總結如下,希望對同學們的復習備考有所幫助。

一、動能定理

1.內容:合外力對物體所做的功等于物體動能的變化。分別對待;(4)若在運動過程中包含幾個不同的物理過程,則在解題時,可以分段考慮,也可以將其視為一個整體過程,應用動能定理求解。

例1泥石流是在雨季由暴雨、洪水將含有沙石且松軟的土質山體經飽和稀釋后而形成的洪流。泥石流流動的全過程雖然時間很短,但由于其高速前進,具有強大的能量,因而破壞性極大。某課題小組對泥石流的威力進行了模擬研究,他們設計了如圖1甲所示的模型:在水平地面上放置一個質量m=4kg的物體,讓其在隨位移均勻減小的水平推力作用下運動。推力F隨位移x的變化情況如圖1乙所示,已知物體與地面間的動摩擦因數μ=0.5,取g=10m/s2。則:

圖1

(1)在距出發點多遠處,物體的速度達到最大?

(2)物體在水平面上運動的最大位移是多少?

解析:(1)由圖1乙可知,F隨x變化的函數方程為F=80-20x。物體的速度最大時,其受到的合力為0,即F=μmg=20N,所以x=3m。

(2)位移最大時,物體的速度一定為0,由動能定理得WF-μmgx=0,由F-x圖像得推力F做的功

3.外力對物體做功與物體動能的關系:外力對物體做正功,物體的動能增加,這一外力有助于物體的運動,是動力;外力對物體做負功,物體的動能減小,這一外力阻礙物體的運動,是阻力,外力對物體做負功往往又稱為物體克服阻力做功。功是能量轉化的量度,外力對物體做了多少功,就有多少動能與其他形式的能發生轉化。

4.應用動能定理需要注意的四個問題:(1)明確研究對象和研究過程,找出始、末狀態的速度情況;(2)對物體進行正確的受力分析(包括重力、彈力等),明確各力做功的大小及正、負情況;(3)有些力在運動過程中不是始終存在的,若在運動過程中包含幾個物理過程,且物體的運動狀態、受力情況均發生變化,則在考慮外力做功時,必須根據不同情況,所以x=8m。

點評:物體所受的摩擦力為變力,不能使用W=Flcosα直接求解,應考慮使用動能定理。本題中力F隨x均勻變化,因此變力F做的功可用F-x圖像與坐標軸所圍的面積來計算。

二、機械能守恒定律

1.內容:在只有重力或彈力做功的物體系統內,動能與勢能可以相互轉化,而總的機械能保持不變。

2.表達式:(1)Ek1+Ep1=Ek2+Ep2,即初狀態的動能與勢能之和等于末狀態的動能與勢能之和;(2)ΔEk=ΔEp,即動能的增加量(減少量)等于勢能的減少量(增加量);(3)ΔEA增=ΔEB減,即物體A機械能的增加量等于物體B機械能的減少量。

3.判斷機械能守恒的方法:(1)利用機械能的定義直接判斷,根據E=Ep+Ek,只要動能與勢能的和不變,則機械能守恒;(2)利用做功來判斷,若物體或系統只有重力或彈力做功,雖受其他力,但其他力不做功或做功的代數和為零,則機械能守恒;(3)利用能量轉化來判斷,若系統中只有動能和勢能的相互轉化而無機械能與其他形式的能的轉化,則機械能守恒。

4.應用機械能守恒定律解決實際問題的一般步驟:(1)明確研究對象和它的運動過程;(2)分析研究對象在運動過程中的受力情況,弄清是否只有系統內的重力或彈力做功,判定機械能是否守恒;(3)確定物體運動的始、末狀態,選定零勢能參考平面后確定物體在始、末兩狀態的機械能;(4)根據機械能守恒定律列方程求解。

例2如圖2所示,質量為m的小球與一根長為l不可伸長的輕繩連接,輕繩的另一端固定于O點。現將小球拉到與水平方向成30°角的上方(輕繩恰好伸直),然后將小球自由釋放,求小球運動到最低點時受到輕繩的拉力大小。

圖2

解析:小球被釋放后,先做自由落體運動直到輕繩繃緊,設輕繩繃緊時小球的速度為v,則解得v=因為輕繩繃緊的瞬間,小球沿繩方向的分速度v2=vsin30°突變為0,而小球在垂直于繩方向上的分速度v1=vcos30°不變,所以小球在拉緊輕繩繼續下擺到最低點的過程中機械能守恒,則小球在最低點做圓周運動所需的向心力為聯立以上各式解得F=3.5mg。

點評:有些同學在求解本題時,容易忽視小球在過渡處的速度變化和機械能損失,直接對整個過程運用機械能守恒定律,這是由于對隱含信息產生了認識上的錯誤所致。

三、功能關系

1.功能關系的普遍意義:做功的過程就是能量轉化的過程,功是能量轉化的量度,做了多少功就有多少某種形式的能轉化為其他形式的能。

2.重要的功能關系:(1)重力(彈簧的彈力或靜電力)做功對應重力勢能(彈性勢能或電勢能)的改變,即W重=-ΔEp=Ep1-Ep2;(2)合外力對物體做的功等于物體動能的改變,W合=ΔEk=Ek2-Ek1,即動能定理;(3)除重力、彈力以外的其他力做的功W其他與物體機械能的增量相對應,即W其他=ΔE機=E2-E1;(4)系統克服滑動摩擦力做功等于系統中產生的內能,即W滑=fs=E內;(5)安培力做功對應電能的改變,即W安=-ΔE電。

3.應用功能關系需要注意的問題:(1)分清力對“誰”做功,對“誰”做功就對應“誰”的位移,引起“誰”的能量變化;(2)注意功和能之間的一一對應關系,不同的力做功對應不同形式的能的變化。

例3如圖3所示,有一傾角θ=37°的硬桿,其上套一底端固定且勁度系數k=120N/m的輕彈簧,彈簧與硬桿間無摩擦。一個質量m=1kg的小球套在此硬桿上,從P點由靜止開始下滑。已知小球與硬桿間的動摩擦因數μ=0.5,P點與彈簧自由端Q間的距離L=1m,彈簧的彈性勢能與其形變量x的關系為取g=10m/s2。求小球在運動過程中達到的最大速度vmax。

圖3

解析:設彈簧被壓縮至x處時小球有最大速度vmax,則mgsinθ-μmgcosθ=kx,解得由動能定理得mgsinθ·(L+由功能關系得解得vmax=2m/s。

點評:小球在運動過程中,由小球和彈簧組成的系統的機械能并不守恒,但總的能量是守恒的。

四、能量守恒定律

1.內容:能量既不會消滅,也不會創生,它只會從一種形式轉化為其他形式,或者從一個物體轉移到另一個物體,而在轉化或轉移的過程中,能量的總量保持不變。

2.應用能量守恒定律解決實際問題的兩條思路:(1)某種形式的能量減少,一定存在另外形式的能量增加,且減少量和增加量相等;(2)某個物體的能量減少,一定存在別的物體的能量增加,且減少量和增加量相等。

例4(2016年高考全國Ⅱ卷)輕質彈簧原長為2l,將彈簧豎直放置在地面上,在其頂端將一質量為5m的物體由靜止釋放,當彈簧被壓縮到最短時,彈簧長度為l。現將該彈簧水平放置,一端固定在A點,另一端與物塊P接觸但不拴結。AB是長度為5l的水平軌道,B端與半徑為l的光滑半圓形軌道BCD相切,半圓形軌道的直徑BD豎直,如圖4所示。物塊P與軌道AB間的動摩擦因數μ=0.5。用外力推動物塊P,將彈簧壓縮至長度為l,然后釋放,物塊P開始沿軌道運動,重力加速度大小為g。

圖4

(1)若物塊P的質量為m,求物塊P到達B點時速度的大小,以及離開半圓形軌道落回到軌道AB上的位置與B點間的距離。

(2)若物塊P能夠滑上半圓形軌道,且仍能沿其滑下,求物塊P質量的取值范圍。

解析:(1)將彈簧豎直放置在地面上時,在物體從靜止釋放到彈簧被壓縮到最短(彈簧長度為l)的過程中,物體的動能不變,物體的重力勢能轉化為彈簧的彈性勢能,即彈簧的彈性勢能Ep=5mgl。將該彈簧水平放置,并將彈簧壓縮至長度為l時,彈簧的彈性勢能等于5mgl。物塊P從被釋放到通過B點,由能量守恒定律得5mgl=μmg·4l+在物塊P從B點運動到D點的過程中,由機械能守恒定律得,解得vD=2gl。因為vD＞v,所以物塊P運動到D點后將以水平初速度vD做平拋運動。設物塊P落回到軌道AB上所需時間為t,與B點間的距離為s,則,解得

(2)假設物塊P的質量為m1,則在物塊P從被釋放到運動至B點的過程中,由能量守恒定律得若物塊P能夠滑上半圓形軌道,則vB1≥0,解得若物塊P滑上半圓形軌道后還能沿其滑下,則最高不能超過半圓形軌道的中點C,假設物塊P恰好到達C點,則在物塊P由A點運動到C點的過程中,由能量守恒定律得5mgl=μm1g·4l+m1gl,解得故若使物塊P不超過C點,則需綜上所述,物塊P質量的取值范圍為

點評:因為教材中沒有給出彈性勢能的計算公式,所以一般需要利用能量守恒定律間接求出。若同一根彈簧的形變量(在彈性限度內)相同,則彈簧的彈性勢能相同。

(責任編輯 張 巧)